11.2 Reelle Potenzreihen

11.2 Reelle Potenzreihen
Eine Funktion
8
Definition
an . ( x - x0 )
f ( x) =
n
mit reellen Zahlen an und x0 heißt
Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x0 .
n=0
Zum Definitionsbereich einer solchen Potenzreihe gehören alle Zahlen x ε R ,
für die die gegebene Reihe in R konvergiert.
Der jeweils zugehörige Funktionswert ist der Grenzwert der entsprechenden Reihe
( der aber i.a. schwer zu bestimmen ist ) .
Die reellen Zahlen an heißen Koeffizienten der Potenzreihe.
Bemerkungen
Potenzreihen sind formal Polynome vom Grad
2.)
Alle MacLaurin - und Taylor - Reihen sind Potenzreihen.
3.)
Zum Definitionsbereich einer Potenzreihe gehört offenbar stets der Entwick-
8
1.)
.
lungspunkt x0 mit f ( x0 ) = a0 . Genauer gilt:
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Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 11.2
Folie 1
8
Satz 1
an . ( x - x0 )
f ( x) =
n
gibt es eine Zahl
r ε
0;
8
Zu jeder Potenzreihe
n=0
mit folgenden Eigenschaften:
1.)
Die Potenzreihe konvergiert für alle reellen Zahlen x mit
x0 - r < x < x0 + r .
2.)
Die Potenzreihe divergiert für alle reellen Zahlen x < x0 - r und x > x0 + r .
3.)
Das Konvergenzverhalten der Potenzreihe in den Randpunkten x = x0 - r
und
x = x0 + r kann nicht allgemein angegeben werden und muss daher im Einzelfall
( außer für r = 0 und r =
Reihe divergiert
?
8
untersucht werden
) .
Reihe konvergiert ?
x0 - r
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r
x0
r
Reihe divergiert
x0 + r
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Analysis 11.2
x
Folie 2
Satz 1
4.)
Die Zahl r heißt Konvergenzradius der Potenzreihe und kann mit den folgenden
Formeln berechnet werden ( falls die jeweiligen Grenzwerte existieren ) :
bzw.
8
an + 1
r =
8
lim
n
n
1
( mit
=0,
| an |
1
=
0
8
lim
n
1
8
r =
an
) .
Beweis
Untersuchung einer Potenzreihe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz:
=
.
an ( x - x0 )
n+1
n
=
an + 1
.
an
| x - x0 |
lim
n
| x - x0 |
<
=
>
n
an + 1
an
8
an
an + 1 . ( x - x0 )
8
an + 1
.
Daher gilt:
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lim
n
8
Die Potenzreihe konvergiert
Die Konvergenz ist unklar
Die Potenzreihe divergiert
an + 1
an
.
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1
Analysis 11.2
Folie 3
| x - x0 |
Beweis
Untersuchung einer Potenzreihe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz:
=
.
an ( x - x0 )
n+1
n
=
an + 1
.
an
| x - x0 |
lim
n
| x - x0 |
<
=
>
n
an + 1
.
an
8
an
an + 1 . ( x - x0 )
8
an + 1
| x - x0 |
Daher gilt:
zwischen a und b
an + 1
an
| x - x0 |
<
=
>
.
lim
n
8
| a - b | = Abstand
lim
n
8
Die Potenzreihe konvergiert
Die Konvergenz ist unklar
Die Potenzreihe divergiert
1
an
an + 1
=
r
x0 - r < x < x0 + r
x = x0 + r
x = x0 - r
x < x0 - r
x > x0 + r
Die zweite Formel zur Berechnung des Konvergenzradius r erhält man durch die
Konvergenzuntersuchung einer Potenzreihe mit Hilfe des Wurzelkriteriums.
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Analysis 11.2
Folie 4
1.)
8
Beispiele
-1
f ( x) =
2
.
(x-1)
n+1
n
Entwicklungspunkt x0
n=0
1
r =
n
2
n
.
n
8
lim
n
-1
lim
n
n
8
=
| an |
2
=
2
lim
n
n
2
n+1
8
n
8
lim
n
1
=
n+1
Konvergenzradius r
=
2
Die Potenzreihe konvergiert also für alle x ε 1 - 2 ; 1 + 2
=
-1;3 .
Untersuchung der Randpunkte:
x = -1 :
2
n+1
.
(-1-1)
n=0
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n
8
8
8
-1
n
n
-1 . (-1) . 2
=
2
n+1
=
-1
(-1)
2
n=0
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.
n=0
Analysis 11.2
Folie 5
n
Beispiele
Untersuchung der Randpunkte:
x = -1 :
2
n+1
.
(-1-1)
n
8
8
8
-1
n
n
-1 . (-1) . 2
=
2
n=0
n+1
=
-1
.
(-1)
2
n=0
n=0
Diese Reihe divergiert, also gehört der linke Randpunkt x = - 1 nicht zu Df .
x=3:
2
n+1
.
(3-1)
n
8
8
8
-1
-2
=
2
n=0
n
n+1
n=0
=
1
2
n=0
Auch diese Reihe divergiert, also gehört der rechte Randpunkt x = 3 ebenfalls
nicht zu Df .
Ergebnis:
Df
=
-1;3
.
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Analysis 11.2
Folie 6
n
2.)
8
Beispiele
1
f ( x) =
.
x
n
n!
n=0
1
=
=
l i m (n+1) =
n
, also Df = R .
8
1
8
8
an + 1
n!
lim
n
8
an
r = lim
n
(n+1)!
8
3.)
n
n
n . (x+2)
f ( x) =
n=0
1
lim
n
n
n
n
=
lim n
n
8
| an |
8
8
lim
n
n
=
1
=
1
8
r =
1
=
0
Der Definitionsbereich enthält für r = 0 nur den Entwicklungspunkt: Df =
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Analysis 11.2
Folie 7
-2
8
4.)
8
Beispiele
n
2n
(-4) . (x+2)
f ( x) =
an . ( x - x0 )
f ( x) =
n=0
n
n=0
Auch diese Funktion ist eine Potenzreihe, und zwar mit den Koeffizienten
0
für n ungerade
an =
(-4)
Die Formeln
n
2
r =
für n gerade
8
lim
n
an
an + 1
bzw.
1
r =
8
lim
n
n
können
| an |
können jedoch nicht benutzt werden, da die beiden Grenzwerte nicht existieren.
Daher untersucht man diese Reihe wie eine „normale“ Reihe auf Konvergenz,
z.B. mit dem Quotientenkriterium:
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Analysis 11.2
Folie 8
8
4.)
8
Beispiele
n
2n
(-4) . (x+2)
f ( x) =
an . ( x - x0 )
f ( x) =
n=0
n
n=0
Quotientenkriterium:
an + 1
=
n+1
.
(x+2)
2.(n+1)
n
2n
(-4) . (x+2)
Reihe ist also konvergent, falls
= 4. (x+2)
4. (x+2)
(x+2)
2
2
n
4. (x+2)
2
< 1
1
4
<
1
2
|x+2| <
x ε -2 -
2
8
an
(-4)
1
1
; -2 +
2
2
=
- 2,5 ; - 1,5
( r = 0,5 )
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Analysis 11.2
Folie 9
.
Beispiele
Untersuchung der Randpunkte:
n
2n
( - 4 ) . ( - 0,5 )
=
n=0
8
8
8
n
2n
( - 4 ) . ( - 2,5 + 2 )
x = - 2,5 :
=
n=0
(-1)
n
n=0
Diese Reihe divergiert, also gehört der linke Randpunkt x = - 2,5 nicht zu Df .
n=0
8
8
8
n
2n
( - 4 ) . ( - 1,5 + 2 )
x = - 1,5 :
n
2n
( - 4 ) . ( 0,5 )
=
=
n=0
(-1)
n
n=0
Auch diese Reihe divergiert, also gehört der rechte Randpunkt x = - 1,5 ebenfalls
nicht zu Df .
Ergebnis:
Df
=
- 2,5 ; - 1,5
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.
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Analysis 11.2
Folie 10
Satz 2 ( Eigenschaften von Potenzreihen )
8
Für jede Potenzreihe
an . ( x - x0 )
f ( x) =
n
mit Konvergenzradius r > 0 gilt:
n=0
1.)
Im Inneren des Definitionsbereichs von f ( x ) darf summandenweise differenziert
und integriert werden, d.h. es gilt für alle
xε
x0 - r ; x0 + r :
8
8
an . n . ( x - x0 )
f ‘( x) =
n-1
n=1
an .
f ( x) d x =
1
.(x-x )
0
n+1
n+1
+ c
n=0
Ableitung und Stammfunktion sind dann ebenfalls Potenzreihen mit gleichem
Entwicklungspunkt und Konvergenzradius wie bei f ( x ) .
2.)
Potenzreihen sind im Inneren ihres Definitionsbereichs absolut konvergent.
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Analysis 11.2
Folie 11
Darstellung einer expliziten Funktion als Potenzreihe und umgekehrt
Funktionen wurden bisher in der Regel durch explizite Rechenformeln angegeben.
Potenzreihen sind nun eine andere Möglichkeit, Funktionen anzugeben.
In diesem Zusammenhang sollen nun die beiden folgenden Fragen untersucht werden:
1.)
Lässt sich jede explizite Funktion auch durch eine Potenzreihe ausdrücken,
und falls ja, wie bestimmt man diese ?
2.)
Lässt sich jede Potenzreihe auch als explizite Funktion ausdrücken,
und falls ja, wie bestimmt man ihre Rechenformel ?
8
Explizite Funktion  Potenzreihe
Falls sich eine explizite Funktion f ( x ) durch eine Potenzreihe
an . ( x - x0 )
n
n=0
mit Entwicklungspunkt x0 ausdrücken lässt, so gilt nach Satz 2 für ihre Ableitungen:
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Analysis 11.2
Folie 12
8
8
an . ( x - x0 )
f ( x) =
n
an . n . ( x - x0 )
f ‘( x) =
n=0
n-1
n=1
8
an . n . ( n - 1 ) . ( x - x0 )
f ‘‘ ( x ) =
n-2
n=2
8
an . n . ( n - 1 ) . ( n - 2 ) . ( x - x0 )
f ‘‘‘ ( x ) =
n-3
n=3
8
f
(k)
an . n . ( n - 1 ) . ( n - 2 ) . ... . ( n - k + 1 ) . ( x - x0 )
( x) =
n-k
n=k
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Analysis 11.2
Folie 13
8
f
(k)
an . n . ( n - 1 ) . ( n - 2 ) . ... . ( n - k + 1 ) . ( x - x0 )
( x) =
n-k
n=k
Daraus ergibt sich:
f
(k)
( x0 )
=
ak . k . ( k - 1 ) . ( k - 2 ) . ... . ( k - k + 1 ) . ( x0 - x0 )
ak
=
f
(k)
k-k
ak . k !
=
( x0 )
k!
8
8
ak . ( x - x0 )
f ( x) =
k
k=0
f
=
(k)
( x0 )
k!
.
( x - x0 )
k
k=0
Falls sich also eine explizite Funktion f ( x ) durch eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x0 ausdrücken lässt, so handelt es sich dabei um die Taylor - Reihe von f ( x )
im Entwicklungspunkt x0 .
Dabei gilt :
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Analysis 11.2
Folie 14
Satz 3
1.) Alle Funktionen aus §2 sowie alle Funktionen, die sich aus diesen durch Summe,
Differenz, Produkt, Quotient und / oder Verkettung bilden lassen, können an jeder
Stelle x0 ihres Definitionsbereichs, an der sie unendlich oft diff ‘ bar sind, durch
ihre Taylor - Reihe im Entwicklungspunkt x0 ausgedrückt werden.
2.) Diese Taylor - Reihen haben alle einen Konvergenzradius r > 0 und stimmen an
jeder Stelle ihres Konvergenzbereichs mit der gegebenen Funktion überein ( vgl.
Faustregel ).
Die Bestimmung dieser Taylor - Reihen kann auf 2 Arten erfolgen:
a.) Die gegebene Funktion wird zunächst einige Male differenziert, bis man eine allgemeine Rechenformel für die k - te Ableitung f
Damit berechnet man f
(k)
(k)
( x ) bestimmen kann.
( x0 ) und setzt diese Werte in die allgemeine Formel
( siehe z.B. die MacLaurin - Reihe zu
im Entwicklungspunkt x0 = 1 ) .
der unendlichen Taylor - Reihe ein
und die Taylor - Reihe zu ln ( x )
sin ( x )
b.) durch die Benutzung schon bekannter Reihen
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Analysis 11.2
Folie 15
8
Beispiele zur Methode b)
an . ( x - x0 )
f ( x) =
( x2 )
(
x
)
=
e
f
1.)
n=0
8
Für alle x ε R gilt
1
ex =
n!
n!
n
. ( x2 )
1
=
n!
n=0
MacLaurin - Reihe zur
2n
.x
( 2)
Funktion f ( x ) = e x
n=0
8
8
1
2.) f ( x ) = e 2x + 4 =
Ebenfalls für alle x ε R gilt daher
.
8
1
=
.xn
n=0
8
f ( x) = e
( x2 )
n
n!
. ( 2x + 4 )
n=0
n
1
=
n!
.2
n
.(x+2)
n
n=0
8
n
n
2 .
(x+2)
n!
=
n=0
Taylor - Reihe von f ( x ) im
Entwicklungspunkt x0 = - 2 ;
stimmt für alle x ε R mit f ( x ) überein
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Analysis 11.2
Folie 16
8
8
1
2.) f ( x ) = e 2x + 4 =
n!
. ( 2x + 4 )
n
1
=
n=0
n!
.2
n
.(x+2)
n
n=0
8
n
n
2 .
(x+2)
n!
=
n=0
Taylor - Reihe von f ( x ) im
Entwicklungspunkt x0 = - 2 ;
stimmt für alle x ε R mit f ( x ) überein
Bestimmung der Taylor - Reihe von f ( x ) im Entwicklungspunkt x0 = 1 :
8
8
1
f ( x ) = e 2x + 4 = e 6 . e 2x - 2 = e 6 .
n!
. ( 2x - 2 )
n
e6. 2
=
n=0
n!
n
.(x-1)
n=0
Bestimmung der MacLaurin - Reihe von f ( x ) :
8
8
1
f ( x ) = e 2x + 4 = e 4 . e 2x = e 4 .
n!
. ( 2x )
n
=
n=0
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e4. 2
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n
n!
.x
n
n=0
Analysis 11.2
Folie 17
n
3.)
f ( x)
=
( 2)
e x - 1
2
x .e
( 2)
1 - e -x
=
( x2 )
x
2
8
8
1
1 -
n!
n
. ( - x2 )
1 -
n=0
=
x
1
0!
0
. ( - x2 )
1
+
n!
n
n
. ( x2 )
n=1
=
2
.(-1)
x
2
8
1 -
(-1)
1 +
n
8
n!
2n
.x
n=1
=
x
=
2
(-1)
-
n!
n
2n - 2
.x
n=1
8
8
=
k = n-1
(-1)
-
k+1
(k + 1)!
2k
.x
(-1)
=
k=0
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k
(k + 1)!
k=0
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2k
.x
MacLaurin - Reihe von
f ( x ) ; stimmt für alle
x ε R mit f ( x ) überein
( auch für x = 0 ! )
Analysis 11.2
Folie 18
4.)
f ( x) =
8
8
1
1
2
=
1+x
2
1 - (-x )
( - x2 )
| - x2 | < 1
n=0
n
n
2n
( - 1) . x
=
n=0
MacLaurin - Reihe von f ( x )
| - x2 | < 1 , also für - 1 < x < 1 ,
Die MacLaurin - Reihe von f ( x ) konvergiert für
und stimmt für diese reellen Zahlen mit f ( x ) überein.
1
f ‘( x) =
2
8
f ( x ) = arctan ( x )
8
5.)
( - 1)
n
2n
( - 1) . x
=
f ( x) =
2n + 1
1+x
n=0
n
.x
1
2n +
+ c
n=0
8
( - 1)
f ( 0 ) = arctan ( 0 ) = 0
n
2n + 1
.0
1
2n +
+ c = 0
8
n=0
( - 1)
Die MacLaurin - Reihe von f ( x ) = arctan ( x ) lautet also
und sie stimmt für - 1 < x < 1 mit arctan ( x ) überein.
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c = 0
n
2n + 1
.
2n + 1
x
n=0
Analysis 11.2
Folie 19
,
Potenzreihe  Explizite Funktion
Will man zu einer Potenzreihe eine explizite Darstellung finden, so muss man den
Da dies aber bekanntlich schwierig ist, wird
Grenzwert dieser Reihe bestimmen.
es in der Regel nur gelingen, wenn man die gegebene Potenzreihe in eine bekannte
Reihe umformen kann.
Beispiele
f ( x) =
8
8
1.)
(x-1)
3n
1
n
(x-1)3
(
=
)
|(x-1)3| < 1
n=0
n=0
1 - (x-1)3
|x-1| < 1
x ε
0;2
Die gegebene Potenzreihe hat also die explizite Form
f ( x) =
1
- x3 +
3x2 -
mit
3x + 2
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Df =
0;2
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Analysis 11.2
Folie 20
8
2.)
(-1)n
f ( x) =
.
(x-1)
2n
( 2n + 1 ) !
n=0
8
Es gilt
(-1)k
sin ( x ) =
.x
2k + 1
für alle x ε R
, also auch
( 2k + 1 ) !
k=0
8
8
(-1)k
sin ( x - 1 ) =
.(x-1)
2k + 1
=
(-1)k
(x-1) .
( 2k + 1 ) !
.(x-1)
( 2k + 1 ) !
k=0
k=0
Die gegebene Potenzreihe hat also die explizite Form
f ( x) =
sin ( x - 1 )
x-1
mit
Df = R
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( einschließlich x0 = 1 )
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Analysis 11.2
Folie 21
2k
f ( x) =
8
8
3.)
(x+1)
n
=
n=2
(x+1)
n
- (x+1)
0
- (x+1)
1
n=0
1
- 1 - (x+1)
1
- x- 2
, Df = -2;0
x
explizite Form der Potenzreihe
-
=
1 - (x+1)
|x+1| < 1
x ε -2;0
8
4.)
1 . n
x
n
f ( x) =
n=1
f ‘( x) =
x
n=1
f ( 0) = 0
8
8
n-1
k
=
k = n-1
x
1
f ( x ) = - ln (| 1 - x |) + c
=
| x | < 11 - x
k=0
- ln (| 1 - 0 |) + c = 0
c = 0
Die explizite Form lautet also f ( x ) = - ln ( 1 - x ) mit D f = - 1 ; 1 .
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Analysis 11.2
Folie 22
8
8
5.)
n
1 .
(x-1)
n+2
f ( x) =
1
=
(x-1)
2
n+2
1 .
(x-1)
n+2
.
n=0
n=0
= g ( x)
8
8
g ‘( x) =
(x-1)
n+1
= (x-1)
n=0
=
x-1
2-x
g ( 1) = 0
.
(x-1)
n
=
(x-1)
|x-1| < 1
1
.
1 - (x-1)
n=0
=
1
-1-
g ( x ) = - x - ln (| x - 2 |) + c
x-2
- 1 - ln (| 1 - 2 |) + c = 0
c = 1
g ( x ) = - x - ln (| x - 2 |) + 1
f ( x) =
- x - ln (| x - 2 |) + 1
(x-1)
Institut für Automatisierungstechnik
2
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mit
Df =
0;2
Analysis 11.2
Folie 23
8
8
6.)
n .(x-3)
f ( x) =
n
(x- 3) .
=
n=1
n . (x- 3)
n-1
n=1
= g ( x)
g ( x) d x
8
8
b
=
(x-3)
a
n
+ c
=
(x-3)
n=1
=
|x-3| < 1
-
(x-3)
0
n=0
1
- 1 + c
1
=
1 - (x-3)
- 1+c
4-x
1
g ( x) =
n
4-x
- 1+c
‘
1
=
(4 - x)
2
x- 3
f ( x) =
(4 - x)
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2
mit
Df =
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2;4
Analysis 11.2
Folie 24
+ c
Satz 4 ( geometrische Bedeutung des Konvergenzradius )
8
an . ( x - x0 )
Der Konvergenzradius einer Potenzreihe f ( x ) =
n
ist der Abstand
n=0
zwischen ihrem Entwicklungspunkt x0 und der nächstgelegenen Stelle, an der f ( x )
nicht beliebig oft diff ‘ bar ist.
Beispiele ( s.o. )
8
1.)
f ( x) =
(x-1)
3n
1
=
- x3 +
3x2 -
1
=
3x + 2
n=0
Df =
0;2
- ( x - 2 ) . ( x2 - x + 1 )
unzerlegbar
, also x0 = 1 und r = 1
Polstelle bei x = 2
Die ( einzige ) Polstelle der gegebenen Funktion liegt somit an der Stelle x = 2 ,
also im Abstand r ( = 1 ) vom Entwicklungspunkt x0 ( = 1 ) .
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Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 11.2
Folie 25
Beispiele ( s.o. )
8
1
f ( x) =
n!
.xn
ex
=
für alle x ε R = D f , also
r =
8
2.)
.
n=0
Auch dies stimmt mit Satz 4 überein, da die e - Funktion auf ganz R beliebig oft
diff ‘ bar ist.
8
3.)
f ( x) =
n
.(x-3)
n
x- 3
=
(4 - x)
2
mit
Df =
2;4
, also x0 = 3
und
n=1
r=1 .
Die ( einzige ) Polstelle der gegebenen Funktion liegt somit an der Stelle x = 4 ,
also im Abstand r ( = 1 ) vom Entwicklungspunkt x0 ( = 3 ) .
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Beispiele ( s.o. )
8
4.)
f ( x) =
( - 1)
n
.
2n
x
1
=
2
1+x
mit
Df =
-1;1
, also x0 = 0
und
n=0
r=1 .
Dies scheint Satz 4 zu widersprechen, da die gegebene Funktion auf ganz R
beliebig oft diff ‘ bar ist.
Betrachtet man die gegebene Funktion f ( z ) jedoch über der Grundmenge C ,
so hat sie Polstellen an den Stellen z0 = j und z0 = - j . Diese haben gemäß
Satz 4 den Abstand r ( = 1 ) vom Entwicklungspunkt z0 ( = 0 ) .
Die Aussage von Satz 4 gilt also nur dann, wenn man die gegebenen Potenzreihen
über der Grundmenge C betrachtet, also auch komplexe Polstellen berücksichtigt.
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Folie 27