5.1 a) Mit kxk k ≤ M gilt |fk (xk ) − f (x)| ≤ |fk (xk ) − f (xk )| + |f (xk ) − f (x)| ≤ kfk − f kM + |f (xk − x)| → 0. b) Mit kfk k ≤ M gilt |fk (xk ) − f (x)| ≤ |fk (xk ) − fk (x)| + |fk (x) − f (x)| ≤ M kxk − xk + |fk (x) − f (x)| → 0. ∗ c) In l2 sei xk = ek und fk (x) = x(k). Dann gilt fk (xk ) = 1, aber fk ⇁ 0 und xk ⇁ 0. 5.2 Aus der starken Konvergenz folgt die schwache Konvergenz. Sei xk ⇁ 0 in l1 . Wir müssen zeigen, daß dann auch kxk kl1 → 0 . Angenommen, dies ist nicht der Fall. Dann gibt es eine Teilfolge, die wir wieder mit (xk ) bezeichnen, mit ∞ X |xk (i)| ≥ ε > 0 . Zu jedem k ∈ N sei k i=1 ′ der größte Index mit X ε |xk (i)| ≤ 8 i≤k′ und k ′′ der kleinste Index mit X |xk (i)| ≤ i≥k′′ ε . 8 Wie in der vorigen Aufgabe zeigt man, daß aus xk ⇁ 0 die punktweise Konvergenz folgt, die für endliche Abschnitte auch gleichmäßig ist. Aus diesem Grund gilt k ′ → ′ ∞ und wir können eine Teilfolge kl auswählen mit kl′ < kl′′ < kl+1 , also X |xkl (i)| ≤ i∈(k / l′ ,kl′′ ) ε . 4 Setze nun f = (f (1), f (2), . . .) mit f (i) = sign(xkl (i)) für i ∈ (kl′ , kl′′ ) , f (i) = 0 sonst . Damit ist f ∈ l∞ = l1 ′ , kf kl∞ = 1 , und kl′′ −1 f (xkl ) ≥ X |xkl (i)| − i=kl′ +1 3 ε ε ε ≥ ε− = . 4 4 4 2 Dies ist ein Widerspruch zu xk ⇁ 0 . 5.3 Wie im Hinweis angegeben setzen wir, x k1 = x 1 , |(xk1 + . . . + xkl−1 , xkl )| ≤ 1 Wegen (y, xk ) → 0 für alle y ∈ X lässt sich immer ein solches xkl finden. Diese Teilfolge bezeichnen wir wieder mit (xk ). Wegen der schwachen Konvergenz gilt kxk k ≤ K. Es gilt n n i−1 n 1 X 2 X X 1 X 2 kxi k + 2Re (xi , xj ) xi ≤ 2 n i=1 n i=1 i=2 j=1 ≤ 1 (nK + 2(n − 1)) → 0. n2 5.4 Da P die Mengen Ωk meßbar und positiv sind, folgt aus der σ-Additivität, daß µ(Ω) = ∞ k=0 µ(Ωk ) > 0, also auch µ(Ωk ) > 0 für ein k. 5.5 Nach Konstruktion gibt es cantorähnliche Teilmengen Ca von [0, 1] mit beliebigem Maß µ(Ca ) ∈ [0, 1). Sei C = ∪∞ k=2 C1−1/k . C ist meßbar und nach dem Satz von Lebesgue gilt µ(C) = 1. Weiter ist jedes Ca nirgends dicht, sodaß C mager ist. Ein eleganterer Beweis geht so: Sei {q1 , q2 , . . .} die Menge der rationalen Zahlen im Intervall [0, 1]. Setze für n ∈ Mn = [0, 1] \ ∪i B2−n−i (qi ) . N Aus der abgeschlossenen Menge wird eine offene Menge entfernt, also ist Mn abgeschlossen. Mn enthält keine inneren Punkte, denn jedes offene Intervall enthält eine rationale Zahl. Es gilt µ ∪i B2−n−k (qi ) ≤ ∞ X 2−n−i = 2−n , i=1 also µ(Mn ) ≥ 1 − 2−n . Damit ist M = ∪n Mn als Vereinigung nirgends dichter Mengen mager und besitzt Lebesgue-Maß 1.