Funktionale Ableitung A.9: Methode der stationär

H.-W. Hammer
Institut für Kernphysik
Übungen zur Höheren Quantenmechanik (WS 2013/14)
5. Übung
19.11.2013
A.8: Funktionale Ableitung
Für ein Funktional G einer Funktion f ist die funktionale Ableitung definiert als
1
δG[f (x)]
= lim G[f (x) + δ(x − y)] − G[f (x)]
→0 δf (y)
Berechnen Sie ausgehend von dieser Definition
δf (x)
,
1.
δf (y)
Z
δ
dx g f (x) .
2.
δf (y)
A.9: Methode der stationären Phase und semiklassische Näherung
Zunächst wollen wir die Methode der stationären Phase für Funktionen studieren. Betrachten Sie dazu das Integral
Z ∞
dx g(x) eiλf (x)
F (λ) =
−∞
mit reellen Funktionen f , g und einem reellen Parameter λ. Weiterhin sei g eine glatte,
langsam veränderliche Funktion. Für große Werte von λ stellt der Integrand eine schnell
oszillierende Funktion dar, deren Beiträge zum Integral sich größtenteils kompensieren.
Eine Ausnahme bilden die x-Werte in der Nähe eines stationären Punktes des Exponenten,
da sich dort die Phase in erster Ordnung nicht ändert und somit benachbarte Punkte
kohärente Beiträge zum Integral liefern.
1. Nehmen Sie an, die Funktion f habe eine Extremstelle bei x = x0 , d.h.
df =0,
dx x=x0
und entwickeln Sie f bis zur zweiten und g bis zur ersten Ordnung um x0 . Berechnen
Sie F (λ) in dieser Approximation.
2. Geben Sie die Näherungsformel für den konkreten Fall
f (x) = x2 − a2 ,
g(x) =
x2
1
+ b2
an. Vergleichen Sie die Näherung für a = 2, b = 1 und λ = 20 mit dem numerischen
Wert des kompletten Integrals
F (λ = 20) = −0.3028 + 0.2548 i .
In Analogie zur Integration von Funktionen benutzen wir die Methode der stationären
Phase, um die semiklassische Näherung des quantenmechanischen Pfadintegrals
R
iS[x]/~
Dx e
zu berechnen. Für makroskopische Systeme ist die Änderung der klassischen
Wirkung bei Variation des Weges groß im Vergleich zu ~,
δS ~ ,
d.h. der Integrand im Pfadintegral oszilliert schnell bei Variation des Pfades x(t). Der
Hauptbeitrag zum Pfadintegral kommt also von Trajektorien, die nahe an dem Pfad liegen,
für den die Wirkung extremal wird,
δS[x] =0;
δx x=xkl
dies ist natürlich die klassische Lösung xkl .
3. Entwickeln Sie das Funktional S[x] bis zur zweiten Ordnung um die klassische
Lösung xkl .
4. Berechnen Sie obige Näherung für die Wirkung
Z m 2
S[x] = dt
ẋ − V [x] .
2
5. Verwenden Sie das Ergebnis aus Teil (d) um die semiklassische Näherung des Pfadintegrals zu berechnen. Wie äußern sich die Quantenfluktuationen um den klassischen
Pfad?
Abgabe am 25.11.2013
H.5: Sphärischer Potentialtopf
Wir betrachten die stationären Lösungen mit E > 0 der Schrödinger-Gleichung für ein
Teilchen der Masse m in dem Zentralpotential
−V0 für r ≤ R
V (r) =
r := |~x| .
0 für r > R
In der
Vorlesung
wurde gezeigt, dass der Radialanteil A` (r) der vollen Streu-Wellenfunktion
(+)
h~x ψ
die Form
A` (r) = eiδ` (cos δ` j` (kr) − sin δ` n` (kr))
√
mit k = 2mE und einer reellen Streuphase δ` hat. Im Innenraum r < R ist die Lösung
gegeben durch
p
A` (r) = const. j` (qr) ,
q := 2m(E + V0 ) .
Die Neumann-Funktionen n` tragen hier nicht bei, da die Lösung am Ursprung r = 0
regulär sein muss.
1. Zeigen Sie, dass aus Stetigkeit und Differenzierbarkeit von A` (r) bei r = R folgt:
tan δ` (k) =
k j`0 (kR) j` (qR) − q j`0 (qR) j` (kR)
.
k n0` (kR) j` (qR) − q j`0 (qR) n` (kR)
Leiten Sie (mit Hilfe der Formeln aus A.6) die asymptotische Form für r → ∞ her,
1
`π
−iδ`
e A` (r) '
sin kr −
+ δ` (k) .
kr
2
Gegenüber der freien Kugelwelle (V0 = 0) stellt dies eine phasenverschobene Kugelwelle dar.
2. Berechnen Sie die Streuphase für den Fall ` = 0 explizit. Die Lösung ist:
k
δ0 (k) = arctan
tan (qR) − kR .
q
Diskutieren Sie das Vorzeichen der Phasenverschiebung δ(k) für V0 > 0 (Attraktion)
und V0 < 0 (Repulsion).
Hinweis:
j0 (x) =
sin x
,
x
n0 (x) = −
cos x
x