Theorie III –¨Ubungsblatt 13

Theorie III – Übungsblatt 13
Abgabe: 8. Feb. 2008 in der Vorl.
Prof. M. Neubert, M. Benzke
WS 07/08
1. Betrachten Sie einen eindimensionalen, unendlich hohen Kasten, dessen rechte Wand
sich mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Das Potential lautet somit
V (x, t) = 0 für 0 < x < a(t) und V (x, t) = ∞ ausserhalb, wobei a(t) = a0 + vt.
a) Bestimmen Sie die Eigenfunktionen ψn (x, t) und die zugehörigen Eigenwerte En (t)
des Hamiltonoperators H(t) in der Ortsdarstellung.
b) Berechnen Sie die dynamische und geometrische Phase
θn (t) = −
1
h̄
Z
0
t
dt′ En (t′ ) ,
γn (t) = i
Z
t
0
dt′ hψn (t)|ψ̇n (t)i .
Leiten Sie die allgemeinste Lösung der (zeitabhängigen) Schrödingergleichung in der
adiabatischen Näherung her. Geben Sie eine Bedingung an, unter der diese Näherung
gerechtfertigt ist.
c) Die Schrödingergleichung für dieses System kann exakt gelöst werden. Die allgemeine Lösung hat die Form
Ψ(x, t) =
∞
X
iθn (t)
cn e
n=1
s
2
imvx2
nπx
exp
sin
a(t)
a(t)
2h̄a(t)
!
!
mit zeitunabhängigen Koeffizienten cn . Überprüfen Sie, dass dieser Ausdruck mit den
Resultaten aus Teil b) verträglich ist.
(5 P.)
2. Der Hamiltonoperator für einen angetriebenen, eindimensionalen harmonischen Oszillator in der Ortsdarstellung hat die Form
H(t) = −
h̄2 ∂ 2
mω 2 x2
+
− mω 2 x f (t)
2m ∂x2
2
wobei F (t) = mω 2 f (t) die antreibende Kraft ist. Diese werde zur Zeit t = 0
eingeschaltet, so dass f (t) = 0 für t ≤ 0. Das System kann sowohl klassisch als
auch quantenmechanisch exakt gelöst werden.
a) Bestimmen Sie die exakte Lösung xkl (t) des klassischen Oszillators mit der Anfangsbedingung, dass das Teilchen zur Zeit t = 0 in Ruhe am Ursprung ist (d.h.
xkl (0) = 0 und ẋkl (0) = 0). Zeigen Sie, dass
Z
xkl (t) = ω
0
t
dt′ f (t′ ) sin[ω(t − t′ )] .
b) Überprüfen Sie, dass die Lösung zur (zeitabhängigen) Schrödingergleichung des
angetriebenen Oszillators mit der Anfangsbedingung, dass sich das Teilchen zur Zeit
t = 0 im n-ten Energieeigenzustand ψn (x) des freien Oszillators befindet, durch
Ψ(x, t) = ψn (x − xkl ) e
i
h̄
h
−(n+ 21 )h̄ωt+mẋkl (x−
1
xkl
2
)+ mω2
2
Rt
0
i
dt′ f (t′ ) xkl (t′ )
gegeben ist.
c) Zeigen Sie, dass die Eigenfunktionen und Eigenwerte von H(t) durch
ψn (x, t) = ψn (x − f (t)) ,
En (t) = n +
mω 2 2
1
h̄ω −
f (t)
2
2
gegeben sind.
d) Zeigen Sie, dass in adiabatischer Näherung xkl (t) ≈ f (t) für die klassische Auslenkung des Oszillators gilt. Geben Sie ein Kriterium für die Gültigkeit dieser Näherung
an, indemm Sie in der oigen Gleichung für xkl (t) partiell integrieren.
e) Überprüfen Sie das adiabatische Theorem der Quantenmechanik anhand dieses
Beispiels. Zeigen Sie dazu mit Hilfe der Resultate von Teil c) und d), dass die exakte
Lösung in adiabatischer Näherung in der Form
Ψ(x, t) ≈ ψn (x, t) eiθn (t) eiγn (t)
geschrieben werden kann, wobei die dynamische Phase θn (t) die gleiche Form wie in
Aufgabe 2 hat. Welchen Wert hat die geometrische Phase?
(10 P.)
3. Die Schrödingergleichung in der Ortsdarstellung für ein Teilchen der Ladung q in
einem elektromagnetischen Feld lautet

∂
1
ih̄ Ψ(r, t) = 
∂t
2m
h̄
∇ − qA(r, t)
i
!2

+ q ϕ(r, t) Ψ(r, t).
Dabei sind ϕ und A das skalare und das Vektorpotential. Die elektrischen und magnetischen Feldstärken sind durch
E = −∇ϕ −
∂A
,
∂t
B =∇×A
gegeben.
a) Zeigen Sie, dass die elektromagnetischen Feldstärken invariant unter der Eichtransformation
∂Λ
,
A → A′ = A + ∇Λ
ϕ → ϕ′ = ϕ −
∂t
sind, wobei Λ(r, t) eine beliebige Funktion ist.
b) Zeigen Sie, dass
Ψ′ = eiqΛ/h̄ Ψ
eine Lösung der Schrödingergleichung mit den eichtransformierten Potentialen ist.
Die Schrödingergleichung ist also invariant unter der gemeinsamen Transformation
ϕ → ϕ′ , A → A′ , Ψ → Ψ′ . Beachten Sie, dass sich die transformierte Wellenfunktion
von der ursprünglichen nur durch eine Phase unterscheidet.
(4 P.)
2