1 Quantenpunktkontakt in adiabatischer Näherung
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Institut für Theoretische Physik Prof. Dr. Klaus Richter WS 2010 / 2011 Übungen zur Quantentheorie der kondensierten Materie II Blatt 10 Dr. Dmitry Ryndyk 1 (Raum 4.1.21, Tel. 943-2020) Quantenpunktkontakt in adiabatischer Näherung Ein Quantenpunktkontakt kann mit Hilfe der Schrödingergleichung − ~2 ∆ψ(x, y) = Eψ(x, y) 2m und der (ortsabhängigen) Randbedingung ψ(x, ±d(x)) = 0 beschrieben werden: Lösen Sie das Transportproblem im adiabatischen Grenzfall. Gehen Sie dabei wie folgt vor: • q Entwickeln ψ(x, y) in einer lokalen, transversalen Basis φn (x, y) = Sie die Wellenfunktion 1 nπ sin 2d(x) (y + d(x)) , die die Randbedingungen des Quantenpunktkontakts d(x) explizit erfüllt. Setzen Sie die Entwicklung ∞ X cn (x) φn (x, y) . n=1 in die Schrödingergleichung ein, und leiten Sie daraus ein Gleichungssystem für die Koeffizienten cn (x) her. Ist diese Entwicklung exakt oder eine Näherung? • Zeigen sie, dass für d′ (x)/d(x), d′′ (x)/d(x) ≪ 1 der Transport durch den Quantenpunktkontakt adiabatisch ist, d.h. keine Streuung zwischen transversalen Moden auftritt. • Nutzen Sie schließlich die Landauer-Formel, um den Leitwert des Quantenpunktkontakts zu berechnen. Die dazu nötige Transmissionswahrscheinlichkeit kann am einfachsten durch die WKB-Näherung abgeschätzt werden (WKB-Näherung – Quantenmechanik I). 2 Ohmsches Gesetz Man erhält aus der Landauer-Formel das Ohmsche Gesetz, wenn man eine sehr kleine Phasenkohärenzzeit annimmt. Vernachlässigen Sie daher in dieser Aufgabe alle PhasenEffekte und rechnen Sie mit klassischen Wahrscheinlichkeiten. a) Betrachten Sie zunächst einen Draht mit zwei Störstellen. Die Transmissionswahrscheinlichkeit des ersten Streuers sei T1 , die des zweiten T2 . Zeigen Sie, dass die Transmissionswahrscheinlichkeit T12 für beide Störstellen durch 1 − T12 1 − T1 1 − T2 = + T12 T1 T2 gegeben ist. b) Berechnen Sie daraus die Transmissionswahrscheinlichkeit T (N ) durch einen Draht mit N identischen Störstellen (je mit Transmissionswahrscheinlichkeit T ) c) Zeigen Sie, dass l , L+l wobei l = T /ν(1−T ). Dabei ist ν = N/L die Dichte der Störstellen pro Drahtlänge. Zeigen Sie weiter, dass l in etwa der mittleren freien Weglänge entspricht. T (L) = 3 Reihenschaltung von Quantenpunktkontakten Betrachten Sie den Fall, dass mehrere Quantenpunktkontakte in Reihe geschaltet sind: Wenn alle Quantenpunktkontakte gleich sind und die adiabatische Näherung verwenden werden kann, was ist dann der Leitwert des Systems? Gilt das Ohmsche Gesetz? Was passiert, wenn die Quantenpunkte nicht identisch sind? Was passiert, wenn die adiabatische Näherung nicht gilt?
