¨Ubungen zur Höheren Quantenmechanik (WS 2013/14) 13. ¨Ubung

H.-W. Hammer
Institut für Kernphysik
Übungen zur Höheren Quantenmechanik (WS 2013/14)
13. Übung
1
04.02.2014
Quicky-Fragen
1. Welcher Operator ist die Erzeugende Tx der Translationen in x-Richtung?
Berechnen Sie e−iaTx ex .
2. Geben Sie die effektive Reichweiten“-Entwicklung von k cot δ0 (k) an, wobei δ0 die
”
s-Wellen-Streuphase ist, und benennen Sie die Koeffizienten bis einschließlich O(k 2 ).
3. Wie lautet das optische Theorem und aus welchem physikalischen Prinzip folgt es?
4. Geben Sie die Dirac-Gleichung mit elektromagnetischem Vierer-Potential Aµ in
relativistischer Schreibweise an.
2
Axialvektorstrom
Sei ψ(x) eine Lösung der Dirac-Gleichung im Ortsraum. Der Axialvektorstrom j5µ ist wie
folgt definiert:
j5µ (x) ≡ ψ̄(x)γ5 γ µ ψ(x) .
1. Überprüfen Sie, ob j5µ ein erhaltener Strom ist, indem Sie ∂µ j5µ berechnen.
2. Zeigen Sie, dass j5µ hermitesch ist.
Der Operator der Ladungskonjugation führt die Lösung ψ der Dirac-Gleichung für eine
negative Ladung in die Lösung ψC für eine positive Ladung über. Es gilt:
ψC = C −1 ψ ∗
3. Bestimmen Sie C −1 .
mit C = γ 2 .
4. Zeigen Sie, dass für den Axialvektorstrom gilt:
ψ̄C γ5 γ µ ψC = −ψ̄γ5 γ µ ψ .
Hinweis:
Verwenden Sie
3
(γ µ )∗ = γ 2 γ µ γ 2 .
Vielteilchenphysik
1. Betrachten Sie einen Zustand dreier Spin- 12 Fermionen |ψi = |↑↓↑i. Berechnen Sie
die vollständig symmetrisierten/antisymmetrisierten Zustände S± |↑↓↑i.
2. Betrachten Sie ein Vielteilchensystem aus identischen Bosonen in der Besetzungszahldarstellung. Für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren gilt
√
a†i |. . . , ni , . . .i = ni + 1 |. . . , ni + 1, . . .i ,
√
ai |. . . , ni , . . .i = ni |. . . , ni − 1, . . .i .
Folgern Sie daraus die Bose-Vertauschungsrelationen.
4
Elektron-Kern Streuung
Ein Elektron der Masse m und Ladung −e (e > 0) werde an dem abgeschirmten CoulombPotential
Qe −r/R
V (~x) = −
e
mit r = |~x| und R = const.
r
eines Atomkerns mit Ladung Q gestreut. Vor der Streuung habe das Elektron den Impuls
~k, danach den Impuls ~k 0 .
1. Berechnen Sie in erster Bornscher Näherung die Streuamplitude f (1) (θ) und den
dσ (1)
differentiellen Wirkungsquerschnitt
.
dΩ
2. Wie sieht der Grenzfall des reinen Coulomb-Potentials aus? Geben Sie für diesen
Grenzfall wiederum die Streuamplitude und den differentiellen Wirkungsquerschnitt
in erster Bornscher Näherung an.
Ab einem gewissen Impulsübertrag ~q ≡ ~k − k~0 wird die innere Struktur des Atomkerns
wichtig. Das (abgeschirmte) Coulomb-Potential für eine punktförmige Ladung muss
dann durch das Potential für eine (abgeschirmte) Ladungsverteilung ersetzt werden:
Z
h(r0 ) −|~x−~x0 |/R
e
mit r0 = |~x0 | ,
V (~x) = −Qe d3 x0
|~x − ~x0 |
wobei h(r0 ) die Ladungsverteilung im Kern beschreibt und wie folgt normiert ist:
Z
d3 x0 h(r0 ) = 1 .
3. Zeigen Sie, dass die Streuamplitude in erster Bornscher Näherung nun durch
Z
2m
0
(1)
f (~q) = Qe 2 g(~q)
mit g(~q) = d3 x0 ei~q·~x h(r0 )
~q
gegeben ist, wenn man am Ende der Rechnung – wie in Teil (b) – zum Grenzfall
des reinen Coulomb-Potentials (der Ladungsverteilung) übergeht.
Hinweis:
Verwenden Sie eine geeignete Substitution, so dass die beiden auftretenden
Integrale faktorisieren.
4. Bestimmen Sie den differentiellen Wirkungsquerschnitt in erster Bornscher Näherung für die ausgedehnte Ladungsverteilung und vergleichen Sie mit dem differentiellen Wirkungsquerschnitt aus Teil (b).
5. Entwickeln Sie g(~q) für kleine q = |~q|, indem Sie den Integranden bis zur Ordnung q 2
entwickeln und die Winkelintegration bis zu dieser Ordnung ausführen. RDrücken Sie
das Ergebnis durch den mittleren quadratischen Ladungsradius hr2 i = d3 x r2 h(r)
aus.