Statistische Mechanik und Thermodynamik (4A) WS 2015/16, Blatt 2

Prof. U. Gerland
Theory of Complex Biosystems
Physik Department, TUM
Statistische Mechanik und Thermodynamik (4A)
WS 2015/16, Blatt 2
19. Oktober 2015
Aufgabe 1: 2-Niveau System
Man betrachte ein System von N nicht wechselwirkenden Teilchen wovon jedes die Energien
E1 = −ε und E2 = ε annehmen kann.
(a) Welche Energien kann das Gesamtsystem aus N Teilchen annehmen? Bestimmen Sie
deren Entartungsgrade (wie viele Mikrozustände hat ein Makrozustand mit Energie E).
(b) Benutzen Sie die Stirling-Näherung um die Entropie S(E) zu bestimmen. Nehmen Sie
für das Energie-Intervall ∆E < 2ε an. Skizzieren Sie S(p), wobei p = N2 /N die Besetzungswahrscheinlichkeit des oberen Zustandes ist.
Tipp: S ist extensiv; klammern Sie N aus.
(c) Nehmen Sie nun ∆E 2ε an (aber auch E ∆E). Vergleichen Sie die Entropie mit
Teil (b). Ist für ein festes N1 /N2 im Limes N → ∞ der Unterschied signifikant?
(d) Berechnen und Skizzieren Sie die Temperatur T (E). Wodurch sind negative Temperaturen charakteriesiert?
(e) Nehmen Sie an, ein solches System mit negativer Temperatur wird an eines mit T > 0
gekoppelt. Wird ersteres Energie verlieren oder aufnemen? In einem Laser wird durch
“Pumpen” eine Besetzungszahleninversion erzeugt. Ist auf ein solches System die Definition der Temperatur andwendbar?
Aufgabe 2: Festkörpermodell
Als Modell für einen Festkörper betrachten wir N quantenmechanische Oszillatoren. Jeder hat
das Spekturm En = h̄ω(n + 1/2). Wir schreiben ε = h̄ω. Die Gesamtenergie sei ε(M + N/2).
(a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Gesamtenergie zu realisieren?
Tipp: Visualisieren Sie die Konfigurationen als 1D-Anordnung von Energiequanten und
Trennwänden zwischen Oszillatoren.
(b) Benutzen Sie die Striling-Näherung um die Entropie zu berechnen.
(c) Berechnen Sie die Temperatur T und drücken Sie die Energie als E(T ) aus.
(d) Berechnen Sie die spezifische Wärmekapazität
∂U
∂T .
Bemerkung. Für hohe Temperaturen beschreibt dieses Einstein-Modell die Wärmekapazität
eines Festkörpers gut. Bei niedrigen T muss jedoch z.B. das Debye-Modell verwendet werden.
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Aufgabe 3: Ergodizität des 1D Harmonischen Oszillator
Ein System ist “ergodisch”, wenn für fast alle Anfangsbedingungen die Trajektorie jedes beliebig kleine Phasenraumelement auf der Hyperfläche gleicher Energie erreicht. Ob ein System
tatsächlich ergodisch ist, lässt sich in der Praxis jedoch oft nur schwer prüfen. Im folgenden
soll deshalb ein eindimensionaler Harmonischer Oszillator mit Hamiltonfunktion
H=
1
p2
+ mω 2 x2
2m 2
(1)
betrachtet werden, für den die Ergodizität explizit nachweisbar ist.
(a) Lösen sie die Bewegungsgleichung des eindimensionalen harmonischen Oszillators und
skizzieren die die Trajektoie im Phasenraum. Zeigen sie, dass das System ergodisch ist.
Warum gilt dies nicht für ein System aus zwei ungekoppelten Harmonischen Oszillatoren?
(b) Nehmen sie an, die Energie des Systems ist bekannt mit einer kleinen Energieunschärfe
∆E. Wie lautet der Flächeninhalt des dem Oszillator zugänglichen Phasenraumgebiets?
Welche Normierung ergibt sich damit für die zugehörige mikrokanonische Verteilung?
(c) Zeigen sie durch explizite Berrechnung, dass Ensemblemittel und Zeitmittel der kinetischen Energie gleich sind.
Aufgabe 4: Relativistische Teilchen
Wir betrachen N ununterscheidbare relativistische Teilchen in einer Dimension mit dem HaPN
miltonian H = n=1 c|pn |, eingeschränkt auf ein Gebiet [0, L], mit der Gesamtenergie E.
(a) Geben Sie den Beitrag der Ortskoordinaten zum Phasenraumvolumen Ω(N, E, L) an.
(b) Geben Sie den Beitrag der Impulse zum Phasenraumvolumen an, (i) für alle Zustände
bis zur Energie E, und (ii) für die Zustände in einer Energieschale um E mit der Breite
∆E.
Hinweis: Das Volumen einer d√dimensionalen Hyperpyramide mit Σdi xi ≤ A mit xi ≥ 0
ist Ad /d!, ihre Oberfläche ist dAd−1 /(d − 1)!.
(c) Berechnen Sie für beide Fälle die Entropie S = kB ln Ω in Stirling-Näherung. Ist der
Unterschied signifikant?
∂S
(d) Benutzen Sie Tp = ∂V
um den Druck zu berechnen.
E,N
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