¨Ubung zur Vorlesung T4, Anwesenheitsaufgaben 13

Übung zur Vorlesung T4, Anwesenheitsaufgaben 13
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25.01.2016
1. Korrektur des idealen Gasgesetzes
Betrachten Sie ein einatomiges Gas (N Teilchen) in einem Volumen V . Die
Teilchen wechselwirken paarweise, das zugehörige Potential ist
+∞ falls |~xi − ~xj | < a
V (|~xi − ~xj |) =
0 falls |~xi − ~xj | > a
a) Zeigen Sie (für ein allgemeines Wechselwirkungspotential), dass die kanonische Zustandssumme sich ausdrücken lässt als
Z Y
(1 + fij ) , fij = e−βV (|~xi −~xj |) − 1
ZK = ZT
i<j
wobei ZT nur von der Temperatur (nicht vom Volumen) abhängt. Begründen Sie letzteres, es ist jedoch nicht notwendig ZT explizit zu berechnen.
b) Entwickeln Sie nun in linearer Ordnung in fij . Rechtfertigen Sie diese Näherung für das vorliegende Potential. Zeigen Sie, dass in dieser
Näherung
4 3 N2 − N
N
ZK = V
1 − πa
ZT
3
2V
c) Zeigen Sie, dass sich folgende Zustandsgleichung ergibt
pV
4
N −1
= 1 + πa3
N kT
3
2V
Hinweis: Verwenden Sie folgende Näherung für kleine x: ln(1 + x) ∼ x.
d) Begründen Sie, dass mit dem vorliegenden Wechselwirkungspotential
die mittlere Energie dieselbe ist, wie für freie Teilchen, also E = 32 N kT .
e) Erläutern Sie kurz, welche physikalischen Effekte mit dem vorliegenden
Wechselwirkungspotential mitgenommen werden, indem Sie einerseits
mit dem idealen Gas, andererseits mit dem van der Waals Gas vergleichen.
2. Grosskanonische Gesamtheit
a) Zeigen Sie, dass in der grosskanonischen Gesamtheit
∂
hN i = z ln ZG .
∂z
b) Zeigen Sie, dass in der grosskanonischen Gesamtheit die Entropie gegeben ist durch
1
S = ln ZG + β(E − µN )
k
c) Bestimmen Sie die Entropie für das ideale Bose- und Fermigas.