¨Ubungen zur Algebra II

Übungen zur Algebra II
Sommersemester 2014
Prof. Dr. K. Wingberg
Dr. J. Gärtner
Blatt 1
Abgabe: Donnerstag, 24.04.2014 vor der Vorlesung
Aufgabe 1. (6 Punkte) Etwas Wiederholung:
(a) Sei L|K eine separable Körpererweiterung vom Grad n = [L : K] und L0 eine
normale Hülle von L|K. Zeigen Sie, dass [L0 : L] ein Teiler von (n − 1)! ist.
√
√
(b) Es sei α := 2 + i 2, wobei i wie gewöhnlich eine Nullstelle von X 2 + 1
bezeichnet. Bestimmen Sie das Minimalpolynom von α über Q und den Grad
[Q(α) : Q].
(c) Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die Erweiterung Q(α)|Q normal ist.
Aufgabe 2. (6 Punkte) Etwas Wiederholung:
Gegeben seien die Polynome
f (X) = X 4 + 1,
g(X) = X 4 − 10X 2 + 5
und
h(X) = X 4 − 3X 2 + 3 ∈ Q[X].
(a) Zeigen Sie, dass f, g und h irreduzibel über Q sind.
(b) Bestimmen Sie den Grad der Zerfällungskörper von f, g und h über Q. Zeigen
Sie, dass die zugehörigen Galoisgruppen paarweise nicht isomorph sind.
√
√
Hinweis: Man zeige zunächst
die Zerlegungen g(X)
= (X 2 −5−2√ 5)(X 2 −5+2 5)
√
√
sowie h(X) = (X 2 − (3 + −3)/2)(X 2 − (3 − −3)/2), wobei −3 wie üblich eine Nullstelle von X 2 + 3 bezeichnet. Aufgabe 2 auf dem Übungsblatt zur Klausurvorbereitung der Algebra 1 (s. www.mathi.uni-heidelberg.de/∼gaertner/alg1) kann
hilfreich sein.
Aufgabe 3. (6 Punkte)
(a) Es sei X ein endlicher Hausdorffscher topologischer Raum. Zeigen Sie: X ist
diskret.
(b) Zeigen Sie: Ein diskreter topologischer Raum X ist genau dann kompakt,
wenn er endlich ist.
(c) Gegeben sei die mit der diskreten Topologie versehene Gruppe G = Z/2Z und
das unendliche Produkt
Y
H :=
G,
N
versehen mit der Produkttopologie. Geben Sie Untergruppen U1 , U2 ( H
an, so dass U1 offen und U2 abgeschlossen aber nicht offen in H ist (mit
Begründung).
Aufgabe 4. (6 Punkte)
Es sei I eine partiell geordnete, gerichtete Menge und (Gi )i∈I eine Familie Hausdorffscher topologischer Gruppen. (Gi , fij ) sei ein projektives System bezüglich I,
die Homomorphismen fij seien stetig. Zeigen Sie:
Q
Der projektive Limes lim
G ist eine abgeschlossene Untergruppe von i Gi .
←− i
i
1