Aufgaben zur Vorlesung Topologie

Aufgaben zur Vorlesung Topologie
Prof. Dr. Jörg Jahnel
Blatt 9
Sommersemester 2017
1. Es sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen:
i) X ist Hausdorffsch.
ii) Die Diagonale ∆ := {(x, x) | x ∈ X} ist abgeschlossen in X × X.
2. Es sei X ein kompakter topologischer Raum.
Zeigen Sie: Ist X metrisierbar, so erfüllt X das zweite Abzählbarkeitsaxiom.
Hinweis: Betrachten Sie Kugeln vom Radius 1/n für jedes n ∈ .
N
R
3. Es sei X := ( , T ), wobei
T := {O \ A | O, A ⊆
R, O euklidisch offen, A abzählbar}.
Zeigen Sie, daß X ein Hausdorffscher topologischer Raum ist, aber nicht regulär.
R
4. a) Zeigen Sie, daß n normal ist.
Hinweis: Für eine abgeschlossene Menge A ⊆ n und x 6∈ A definiert man den Abstand von
x zu A als inf d(x, a). Nutzen Sie diesen Abstandsbegriff.
a∈A
b) Ist allgemeiner sogar jeder metrisierbare topologische Raum normal?
R
Abgabetermin: Donnerstag, 22. Juni 2017, vor der Vorlesung