¨Ubungen zur Algebraischen Geometrie II

Georg Hein
Sommersemester 2014
Übungen zur Algebraischen Geometrie II
Aufgabe 1.1. Beweisen Sie die folgende Äquivalenz:
X = Spec(A) ist reduziert ⇐⇒ Nil(A) = 0.
Aufgabe 1.2. Sei X = Spec(A) ein Hausdorff-Raum, das heißt X erfüllt das T2 -Trennungsaxiom.
Zeigen Sie, dass A die Dimension Null hat.
Aufgabe 1.3. Ein topologischer Raum X heißt T1 -Raum, falls für zwei Punkte x, y ∈ X
mit x 6= y zwei offene Mengen U und V existieren, die x ∈ U , y ∈ V , x 6∈ V und y 6∈ U
erfüllen.
Ein topologischer Raum X heißt T0 -Raum, falls für zwei Punkte x, y ∈ X mit x 6= y eine
offene Menge U existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält.
Zeigen Sie, dass X = Spec(A) stets ein T0 Raum, aber in der Regel kein T1 Raum ist.
Zeigen Sie, dass X = Specmax (A) stets ein T1 Raum, aber in der Regel kein T2 Raum ist.
Aufgabe 1.4. Ein Element e eines Ringes A heißt idempotent, wenn e2 = e gilt. Zeigen
Sie, dass mit e auch 1 − e idempotent ist. Zeigen Sie ferner die folgende Äquivalenz:
Spec(A) ist zusammenhängend ⇐⇒ A hat nur die idempotenten Elemente 0 und 1.