Übungsblatt 6 - Institut für Mathematik

Universität Würzburg
Mathematisches Institut
Prof. J. Steuding,
Dr. J. Jordan, M. Schröter
Wintersemester 2008
21.11.2008
6 . Übung zur Funktionentheorie I
Abgabe: Bis Freitag, 21.11.2008, 12:00 Uhr, Briefkästen an der Mathematik-Bibliothek.
Definitionen: Wir bezeichnen mit DR (z0 ) stets die offene Kreisscheibe um z0 mit Radius
R, also {z ∈ C | |z − z0 | < R}. Zu einer meromorphen Funktion f sei P (f ) die Menge
aller Polstellen von f .
6.1 (keine Punkte) Zeigen Sie:
a) Ist f ein Polynom vom Grad größer Null, so hat f ( z1 ) in z = 0 einen Pol.
b) Ist f ganz, periodisch und nicht konstant, so hat f ( z1 ) in z = 0 eine wesentliche
Singularität.
c) Ist f = pq eine rationale Funktionm mit gradp 6 grad q, so hat f ( z1 ) in z = 0
eine hebbare Definitionslücke.
6.2 (Parseval’sche Vollständigkeitsrelation)
a) Sei f holomorph auf DR (z0 ) mit Potenzreihenentwicklung
f (z) =
∞
X
an (z − z0 )n .
n=0
Zeigen Sie
∞
X
n=0
|an |2 r2n
1
=
2π
Zπ
|f (z0 + reiϕ )|2 dϕ,
−π
b) Folgern Sie aus a) den Satz von Liouville.
c) Folgern Sie aus a) das Maximumprinzip.
0 < r < R.
6.3 (Identitätsprinzip für meromorphe Funktionen)
a) Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen über zwei in einem Gebiet G
meromorphe Funktionen f, g:
i) f = g.
ii) Die Menge {w ∈ G \ (P (f ) ∪ P (g)) | f (w) = g(w)} hat einen Häufungspunkt in G \ (P (f ) ∪ P (g)).
iii) Es gibt einen Punkt c ∈ G \ (P (f ) ∪ P (g)), so daß gilt : f (n) (c) = g (n) (c)
für alle n ∈ N ∪ {0}.
b) Bleibt die Äquivalenz richtig, wenn in ii) die Menge G \ (P (f ) ∪ P (g)) durch G
ersetzt wird?
6.4 (Staatsexamensartiges)
a) Bestimmen Sie alle auf C \ {0} holomorphen Funktionen f mit der Eigenschaft
|f (z)| >
1
|z|
für alle z ∈ C \ {0} .
b) Sei f auf C \ {0} holomorph und nicht konstant. Zudem gelte
|f (z)| >
1
1 + |z|
Zeigen Sie, daß f die Form f (z) =
für alle z ∈ C \ {0} .
1
,
a+bz
a, b ∈ C hat.
c) Sei f auf C meromorph. Zudem gebe es Zahlen r > 0, M > 0, n ∈ N mit
|f (z)| 6 M |z|n für alle z ∈ C \ {Dr (0) ∪ P (f )}. Zeigen Sie, daß f eine rationale
Funktion ist.