¨Ubungen zur Algebraischen Zahlentheorie

Georg Hein
Sommersemester 2015
Übungen zur Algebraischen Zahlentheorie
In √
dieser Serie wollen wir die Idealklassengruppe des Ringes OK für den Körper K =
Q[ −d] berechnen, wobei
d eine positive quadratfreie ganze Zahl mit d 6≡ 3 mod 4 ist.
√
Es gilt also OK = Z[ −d]. Wir fixieren eine Einbettung K → C.
Aufgabe 8.1. Gebrochene Ideale in K
(i) Sei a ⊂ K ein gebrochenes Ideal, so ist a, als Z-Modul isomorph zu Z⊕2 .
(ii) Der Z-Untermodul von K, der von den zwei Elementen
√ ω1 und ω2 aus K erzeugt
wird ist genau, dann ein gebrochenes Ideal, wenn −d · ωi = ai1 ω1 + ai2 ω2 gilt
mit vier ganzen Zahlen {aij }i,j∈{1,2,}
Aufgabe 8.2. Sei {ω1 , ω2 } eine Z-Basis des gebrochenen Ideals a. Wir nennen die Basis
{ω1 , ω2 } reduziert, wenn folgendes gilt:
(1) ω1 = 1
(2) kω2 k ≥ 1
< Re(ω2 ) ≤ 12 und Im(ω2 ) > 0.
(3) Für den Real- und Imaginärteil von ω2 gelten −1
2
Zeigen Sie, dass in jeder Äquivalenzklasse gebrochener Ideale genau eines mit einer reduzierten Basis liegt.
√
Aufgabe 8.3. Sei nun {1, a+bc −d } eine reduzierte Basis mit a, b, c ∈ Z und c > 0.
(i) Folgern Sie aus 8.1, dass b sowohl a als auch c teilt.
√
(ii) Wir können also b = 1 annehmen und erhalten die√ reduzierte Basis {1, a+ c −d }.
Nutzen Sie nochmals 8.1 um zu zeigen, dass {1, a+ c −d } die Basis eines gebrochen
Ideals ist, genau dann wenn c die Zahl (a2 + d) teilt.
(iii) Folgern Sie nun, aus 8.2, dass die Ungleichungen
(1) a2 + d ≥ c2
(2) und −c < 2a ≤ c gelten.
q
(iv) Folgern Sie aus den obigen Ungleichungen (1) und (2), dass c ≤
(v) Folgern Sie die Endlichkeit der Idealklassengruppe von OK .
4d
.
3
Aufgabe 8.4. Wir haben in der vorherigen Aufgabe gesehen, dass die Idealklassengruppe
von OK bijektiv zur Menge
Md = (a, c) ∈ Z | a2 + d ≥ c2 , −c < 2a ≤ c, c|(a2 + d)
ist.
(i)
Nutzen Sie dies um die Anzahl und die Struktur der Idealklassengruppe von
OZ[√−14] zu bestimmen.
(ii) Für welche quadratfreien d mit d ≡ 1 mod 4 ist OZ[√−d] ein Hauptidealring?
(iii) Für welche quadratfreien d mit d ≡ 2 mod 4 ist OZ[√−d] ein Hauptidealring?