Analytische Zahlentheorie – Blatt 8

Prof. Dr. Benjamin Klopsch
Sommersemester 2015
Analytische Zahlentheorie – Blatt 8
Abgabe der Lösungen zu den ersten beiden Aufgaben am 15.06.2015 in der Vorlesung
Weitere Informationen zur Vorlesung und den Übungen finden Sie unter
http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/AnaZaTh_SS15/.
Aufgabe 8.1
(8 Punkte)
(a) Beweisen Sie per Induktion:
k
k
52 = (1 + 4)2 ≡2k+3 1 + 2k+2
für alle k ∈ N0 .
(b) Folgern Sie für m ∈ N≥2 , daß die Ordnung von 5 = 5 + 2m Z in der multiplikativen
Gruppe (Z/2m Z)∗ gleich 2m−2 ist.
(c) Sei p ∈ P mit p > 2. Zeigen Sie per Induktion:
k
(1 + p)p ≡pk+2 1 + pk+1
fur alle k ∈ N0 .
(d) Sei p ∈ P mit p > 2. Folgern Sie für m ∈ N, daß die Ordnung von 1 + p = (1 + p) + pm Z
in der multiplikativen Gruppe (Z/pm Z)∗ gleich pm−1 ist.
(e) Sei K ein beliebiger Körper und G eine endliche Untergruppe der multiplikativen
Gruppe K ∗ . Zeigen Sie: G ist zyklisch, d. h. erzeugt von einem Element der Ordnung ∣G∣.
(Hinweis: Benutzen Sie die Tatsache, daß jede endliche abelsche Gruppe ein direktes
Produkt von zyklischen Gruppen ist, sowie, daß für jedes n ∈ N das Polynom X n − 1
höchstens n Nullstellen in K hat.)
(f) Sei p ∈ P. Folgern Sie, daß die multiplikative Gruppe F∗p des Primkörpers Fp = Z/pZ
zyklisch der Ordnung p − 1 ist.
Aufgabe 8.2
Für n ∈ N bezeichne Cn eine zyklische Gruppe der Ordnung n.
(8 Punkte)
(a) Sei m ∈ N≥2 . Zeigen Sie:
(Z/2m Z)∗ = ⟨−1⟩ × ⟨5⟩ ≅ C2 × C2m−2 .
(Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Ordnung von (Z/2m Z)∗ , und verwenden Sie dann
Ergebnisse aus Aufgabe 8.1.)
(b) Sei p ∈ P mit p > 2, und sei m ∈ N. Zeigen Sie: Es gibt ein a ∈ (Z/pm Z)∗ , so daß
(Z/pm Z)∗ = ⟨a⟩ × ⟨1 + p⟩ ≅ Cp−1 × Cpm−1 .
(Hinweis: Bestimmen Sie zunächst die Ordnung von (Z/pm Z)∗ . Verwenden Sie dann
Ergebnisse aus Aufgabe 8.1, um die Existenz eines Elementes a der Ordnung p − 1 nachzuweisen und zu zeigen, daß 1 + p die Ordnung pm−1 hat.)
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Analytische Zahlentheorie – Blatt 8
S. 2/2
Aufgabe 8.3
(a) Beweisen Sie den folgenden Satz von Wilson:
Sei n ∈ N≥2 . Dann ist n eine Primzahl genau dann, wenn (n − 1)! ≡n −1 ist.
(Hinweis: Ist n = p ∈ P, so läßt sich die Restklasse von (n − 1)! modulo n als das Produkt
aller von 0 verschiedenen Elemente in dem Primkörper Fp deuten.)
(b) Folgern Sie für p ∈ P mit p > 2: Die Kongruenz x2 ≡p −1 hat eine ganzzahlige Lösung,
d. h. −1 ist ein Quadrat modulo p, genau dann, wenn p ≡4 1 ist.
(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß die multiplikative Gruppe des Primkörpers Fp für
p ≡4 3 kein Element der Ordnung 4 enthalten kann. Verwenden Sie anschließend (a), um
für p ≡4 1 eine ‘Formel’ für eine Quadratwurzel von −1 in Fp anzugeben.)