Multiplikative Zahlentheorie

Prof. Dr. Valentin Blomer
Georg-August Universität Göttingen
Multiplikative Zahlentheorie
Übungsblatt 6
Abgabe am 8. Juni 2009
6.1. a) Sei A ∈ N, x > 0. Zeigen Sie
1
1 Z
x−A+ 2
s Γ(s)x ds ;
2πi (−A+ 1 )
(A − 1)!
2
hierbei darf die implizite Konstante nicht von A oder x abhängen. Tip: Ziehen
Sie die Absolutbeträge in das Integral und benutzen Sie die Funktionalgleichung
der Gammafunktion, um |Γ(−A + 21 + it)| ≤ |Γ( 12 + it)|/(A − 1)! zu schließen.
b) Zeigen Sie die Mellin-Inversionsformel
Z
1
e−x =
Γ(s)x−s dx
2πi (1)
durch Verschieben des Integrationsweges nach links und Abschätzung des Restintegrals mittels Teil a).
6.2. Sei χ ein primitiver Dirichlet-Charakter modulo q.
a) Schreiben Sie die approximate functional equation für L(s, χ) am Punkt
s = 1/2 + it auf.
b) Zeigen Sie L(1/2 + it, χ) (q(1 + |t|))1/4 . Die implizite Konstante darf
nicht von q oder t abhängen.
c) Sei χ1 ein Dirichlet-Charakter modulo q1 , der von einem primitiven Charakter χ modulo q induziert wird. Zeigen Sie
Y
L(s, χ1 ) = L(s, χ)
(1 − χ(p)p−s ).
p|
q1
q
Folgern Sie, dass die Abschätzung aus Teil b) auch für nicht-primitive Charaktere gültig bleibt.
6.3. Sei c ∈ C, b ∈ N. Sei λ eine multiplikative arithmetische Funktion mit
λ(p) = c, |λ(pj )| ≤ τb (pj ) = (j + 1)b . (Zur Erinnerung: τb = 1 ∗ . . . ∗ 1). Zeigen
Sie
∞
X
λ(n)
= ζ(s)c G(s)
s
n
n=1
1
wobei G eine Dirichlet-Reihe mit einem Euler-Produkt ist, das in <s > 1/2 absolut konvergiert. (Die komplexe Potenz ζ(s)c ist wie üblich über den Hauptzweig
definiert.) Gehen Sie wie folgt vor:
a) Zeigen Sie, dass für <s > 1 die Funktion ζ(s)c durch eine absolut konvergente Dirichlet-Reihe gegeben ist, deren Koeffizienten a(n) multiplikativ sind
(und durch a(pj ) = (−1)j −c
gegeben sind). Folgern Sie, dass G(s) ein in
j
<s > 1 konvergentes Euler-Produkt besitzt.
Tip: Da ist fast nichts zu zeigen: Schreiben Sie das Euler-Produkt für ζ(s)
hin, nehmen Sie die c-te Potenz, entwickeln Sie die binomische Reihe und multiplizieren Sie das entstehende Euler-Produkt – im Geist! – wieder aus.
b) Sei cj , j = 0, 1, . . ., eine
P Folge komplexer Zahlen mit c0 = 1, c1 = c,
|cj | ≤ (j + 1)b . Sei f (z) := j cj z j und g(z) = z −2 (f (z)(1 − z)c − 1). Zeigen
Sie, dass f Konvergenzradius mindestens 1 hat, dass g holomorph in der offenen
Scheibe |z| < 1 ist, dass es eine Konstante A = A(c, b) gibt mit |g(z)| ≤ A für
|z| = 2−1/2 und dass deshalb aufgrund des Maximumprinzips gilt
f (z) = (1 − z)−c 1 + Oc,β (|z|2 ) , |z| ≤ 2−1/2 .
c) Wenden Sie den vorherigen Teil mit z = p−s und cj = λ(pj ) and folgern
Sie, dass das Euler-Produkt von G(s) auch noch in <s > 1/2 absolut konvergiert.
2