Blatt6

Übungen zur Theoretischen Physik V
Quantenmechanik II
WS 2004/2005
Prof. H. Büttner
Blatt 6
Abgabe: Donnerstag, den 25.11.2004, bis 14 Uhr
vor Zi. 01.504
Aufgabe 14: Drehung von Spin- 21 -Teilchen
Sei der Spinoperator S eines Spin- 21 -Teilchens ein Drehimpulsoperator im Sinne der Aufgabe 12.
Bezüglich der S z -Eigenbasis |+i, |−i des zugehörigen zweidimensionalen Hilbert-Raumes hat S die
Darstellung S = ~2 σ i ei mit den Pauli-Spinmatrizen σ i .
(a) Zeigen Sie, dass gilt
σ i σ j = δij E + iǫijk σ k
(E ist die 2 × 2 - Einheitsmatrix), insbesondere antikommutieren die σ i , also auch die Komponenten von S.
(b) Berechnen Sie US (n, φ), wie in Aufgabe 12 definiert. Was ist US (n, 2π)? Ist dieses Ergebnis
physikalisch sinnvoll?
Aufgabe 15: Allgemeiner Variationsansatz
Nehmen Sie an, dass der Grundzustand eines Systems mit Hamilton-Operator H durch eine LinearP
kombination |ψi = nk=1 ck |uk i approximiert werden kann. Dabei sind |u1 i, ..., |un i beliebige (nicht
notwendigerweise normalisierte oder orthogonale) Vektoren und c1 , ..., cn frei wählbare Parameter
(welche – ohne Einschränkung für das Folgende – als reell angenommen werden können).
Im Variationsverfahren wählt man diese Parameter ck so, dass
Ẽ =
hψ|H|ψi
hψ|ψi
minimal wird.
Zeigen Sie, dass diese Forderung auf die Gleichung
det Hkl − Skl Ẽ = 0,
mit Hkl = huk |H|ul i und Skl = huk |ul i
für die genäherte Grundzustandsenergie Ẽ führt.
Aufgabe 16: Ritzsches Variationsverfahren für Viel-Teilchen-System
Wir betrachten N Teilchen mit Kontaktwechselwirkung im Oszillatorpotential, beschrieben durch
den Hamilton-Operator
H=
N 2
X
p
mω 2 x2i
+
2m
2
i
i=1
N
1 X 4π~2 a
δ(xi − xj )
+
2 i,j=1 m
i6=j
Die Konstante a nennt man Streulänge, sie kann positiv und negativ sein.
Um mit Hilfe des Ritzschen Variationsverfahrens eine Abschätzung für die Grundzustandsenergie zu
finden, machen wir für die N-Teilchen-Wellenfunktion den total symmetrischen Ansatz (für welche
Teilchensorte ist das angemessen?)
ψ(x1 , ..., xN ) = φσ (x1 ) · ... · φσ (xN )
mit einer Einteilchen-Wellenfunktion
1
x2
φσ (x) =
exp − 2
4σ
(2πσ 2 )(3/4)
die von einem Parameter σ abhängt.
Bestimmen Sie den Erwartungswert der Energie in diesem Zustand, und diskutieren Sie das Verhalten bei Änderung von σ. Was läßt sich – im Rahmen dieser Abschätzung – über den Grundzustand
des Systems sagen, für a > 0 bzw. a < 0 ?