Prof. Dr. S. Sauter Institut für Mathematik Universität Zürich Numerik I – Klausur1 04.09.2012 Aufgabe 1. 1 a) Die Funktion f : [0, 2] → R, f (x) := (x+1) 4 soll durch ein quadratisches Polynom approximiert werden. Berechnen Sie das quadratische Interpolationspolynom p2,int mit äquidistanten Stützstellen in der Newton’schen Darstellung. b) Berechnen Sie die Kleinste-Quadrate-Approximation p2,opt im Raum der quadratischen Polynome. Vergleichen Sie die Fehler p2,int − f und p2,opt − f im Punkt 12 . c) Wenden Sie die Interpolationsfehlerabschätzung an, um den Fehler kf − p2,int kmax möglichst explizit abzuschätzen. d) Leiten Sie her, dass die Folge pn,opt der Kleinste-Quadrate-Approximationen mit Polynomen vom Grad n konvergiert. Diskutieren Sie die Frage der Konvergenz auch für die Folge pn,int der Interpolation vom Grad n für äquidistante Stützstellen. Aufgabe 2. R1 a) Die Integration I (f ) := −1 f (x) dx wird durch die Quadraturformel Q (f ) = 2f 12 approximiert. Leiten Sie eine Abschätzung für den Quadraturfehler unter geeigneten Annahmen an f her unter Verwendung der Begriffe Stabilitätskonstante und Exaktheitsgrad. b) Geben Sie die summierte Version Qn (f ) dieser Quadraturformel zur Approximation von I (f ) an, die auf einer Zerlegung von [−1, 1] in n äquidistante Teilintervalle basiert. Leiten Sie die entsprechende Fehlerabschätzung her. Aufgabe 3. Ziel ist es, die positive Nullstelle von f (x) = x3 − 2 zu bestimmen. a) Geben Sie das Newtonverfahren zur Berechnung an. b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Konvergenzsatzes ein Intervall Iδ , so dass das NewtonVerfahren für jeden Startwert x0 ∈ Iδ konvergiert. Verwende, dass f (1.25) < 0 < f (1.26) gilt. Hinweis: Bestimme ein δ > 0, so dass die Bedingung aus Satz 7.9 für das Intervall Iδ := [1.25 − δ, 1.26 + δ] erfüllt ist. 1 Einige Integrale zur Vereinfachung der Berechnungen: R 2 2 1 4 8 x 1+x dx = 81 0 R2 0 1 1+x 4 dx = 26 , 81 R 2 1 4 x 1+x dx = 0 10 , 81 Aufgabe 4. a b Sei M := für a, b, c, d ∈ R. c d a) Beschreiben Sie den Parameterbereich für a, b, c, d, so dass M symmetrisch, positiv definit ist, und geben Sie den Spektralradius von M für diesen Parameterbereich an. b) Betrachten Sie den Spezialfall a = d in diesem Parameterbereich. Leiten Sie eine Bedingung her, so dass das ungedämpfte Jacobi-Verfahren angewendet auf das LGS Mx = r konvergiert.
