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Klausur FS2012 Kopie

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Prof. Dr. S. Sauter
Institut für Mathematik
Universität Zürich
Numerik I – Klausur1
04.09.2012
Aufgabe 1.
1
a) Die Funktion f : [0, 2] → R, f (x) := (x+1)
4 soll durch ein quadratisches Polynom
approximiert werden. Berechnen Sie das quadratische Interpolationspolynom p2,int mit
äquidistanten Stützstellen in der Newton’schen Darstellung.
b) Berechnen Sie die Kleinste-Quadrate-Approximation p2,opt im Raum der quadratischen
Polynome. Vergleichen Sie die Fehler p2,int − f und p2,opt − f im Punkt 12 .
c) Wenden Sie die Interpolationsfehlerabschätzung an, um den Fehler kf − p2,int kmax möglichst
explizit abzuschätzen.
d) Leiten Sie her, dass die Folge pn,opt der Kleinste-Quadrate-Approximationen mit Polynomen vom Grad n konvergiert. Diskutieren Sie die Frage der Konvergenz auch für die
Folge pn,int der Interpolation vom Grad n für äquidistante Stützstellen.
Aufgabe 2.
R1
a) Die Integration I (f ) := −1 f (x) dx wird durch die Quadraturformel Q (f ) = 2f 12
approximiert. Leiten Sie eine Abschätzung für den Quadraturfehler unter geeigneten
Annahmen an f her unter Verwendung der Begriffe Stabilitätskonstante und Exaktheitsgrad.
b) Geben Sie die summierte Version Qn (f ) dieser Quadraturformel zur Approximation
von I (f ) an, die auf einer Zerlegung von [−1, 1] in n äquidistante Teilintervalle basiert.
Leiten Sie die entsprechende Fehlerabschätzung her.
Aufgabe 3.
Ziel ist es, die positive Nullstelle von f (x) = x3 − 2 zu bestimmen.
a) Geben Sie das Newtonverfahren zur Berechnung an.
b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Konvergenzsatzes ein Intervall Iδ , so dass das NewtonVerfahren für jeden Startwert x0 ∈ Iδ konvergiert. Verwende, dass f (1.25) < 0 <
f (1.26) gilt.
Hinweis: Bestimme ein δ > 0, so dass die Bedingung aus Satz 7.9 für das Intervall
Iδ := [1.25 − δ, 1.26 + δ] erfüllt ist.
1
Einige Integrale zur Vereinfachung der Berechnungen:
R 2 2 1 4
8
x 1+x dx = 81
0
R2
0
1
1+x
4
dx =
26
,
81
R 2 1 4
x 1+x dx =
0
10
,
81
Aufgabe 4.
a b
Sei M :=
für a, b, c, d ∈ R.
c d
a) Beschreiben Sie den Parameterbereich für a, b, c, d, so dass M symmetrisch, positiv
definit ist, und geben Sie den Spektralradius von M für diesen Parameterbereich an.
b) Betrachten Sie den Spezialfall a = d in diesem Parameterbereich. Leiten Sie eine Bedingung her, so dass das ungedämpfte Jacobi-Verfahren angewendet auf das LGS Mx = r
konvergiert.
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