Zahlentheorie - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Prof. Dr. Alexander Prestel
Sven Wagner
Sommersemester 2007
Übungsblatt 12
06.07.2007
Zahlentheorie
Definition:
Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Ein Gruppenhomomorphismus χ : G → C× wird
b
Charakter von G genannt. Die Menge der Charaktere von G bezeichnen wir mit G.
Aufgabe 12.1:
Seien G und H endliche abelsche Gruppen. Zeigen Sie:
b
a) Die Multiplikation in C induziert eine Gruppenverknüpfung auf G.
b ebenfalls zyklisch und von der selben Ordnung wie G.
b) Ist G zyklisch, so ist G
b × H.
b
c) Es gilt G\
×H ∼
=G
b
d) Es gilt G ∼
= G.
b gilt: P χ(a) =
e) Für jeden Charakter χ ∈ G
a∈G
f) Für jedes Element a ∈ G gilt:
P
χ(a) =
b
χ∈G
|G|, falls χ = 1,
0 sonst.
|G|, falls a = 1G ,
0 sonst.
g) Ist H Untergruppe von G, so besitzt jeder Charakter von H genau |G/H| Fortsetzungen auf G.
Definition:
Sei m ∈ N mit m ≥ 2. Eine Abbildung χ : Z → C heißt Zahlcharakter modulo m (oder
auch modularer Charakter), falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
(i) χ(a) = χ(b) für alle a, b ∈ Z mit a ≡ b mod m,
(ii) χ(a · b) = χ(a) · χ(b) für alle a, b ∈ Z,
(iii) χ(1) = 1 und χ(p) = 0 für alle Primteiler p von m.
Aufgabe 12.2:
Sei m ∈ N mit m ≥ 2. Zeigen Sie:
a) Ist χ : Z → C ein Zahlcharakter modulo m und ist a ∈ Z, so ist genau dann χ(a) 6= 0,
wenn (a, m) = 1 ist.
b) Die Zahlcharaktere modulo m stehen in Bijektion zu den Gruppencharakteren von
(Z/mZ)× .
c) Für jede Primzahl p ∈ Z definiert das Legendre-Symbol p· einen Zahlcharakter
modulo p.
Bitte wenden.
Aufgabe 12.3:
Sei m ∈ N mit m ≥ 2. Sei G := (Z/mZ)× , dann ist |G| = ϕ(m) =: d. Sei p ∈ Z eine
Primzahl mit p - m. Ist f die Ordnung der Restklasse p von p in G, so setze r := fd ∈ N.
Zeigen Sie, daß im Polynomring C[X] die folgende Gleichung gilt:
Y
(1 − χ(p)X) = (1 − X f )r .
b
χ∈G
(Hinweis: Vergleichen Sie die Nullstellen der beiden Polynome. Betrachten Sie dafür die
b
Zahlen χ0 (p) mit χ0 ∈ H,wobei
H = pZ < G ist.)
Abgabe bis Freitag, den 13. Juli, 10 Uhr in Briefkasten 13.