6. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung Analysis III - Ruhr

6. Übungsblatt zur Vorlesung Analysis III
Prof. Dr. Angelika Rohde, Kamil Jurczak WiSe 2014/2015
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
n
Zeigen Sie, dass alle Normen auf dem R , n ≥ 1, äquivalent sind. Folgern Sie daraus, dass alle
Normen auf dem Rn die gleiche Topologie induzieren, d.h. für zwei Normen || · ||1 und || · ||2 ist
eine Teilmenge U ⊂ Rn genau dann offen in (Rn , || · ||1 ), wenn U offen in (Rn , || · ||2 ) ist.
Bemerkung: Zwei Normen ||·||1 und ||·||2 auf einem Raum V heißen äquivalent, wenn Konstanten
C, C 0 > 0 existieren, so dass C||x||1 ≤ ||x||2 ≤ C 0 ||x||1 für alle x ∈ V .
Hinweis: Sie können für den ersten Teil wie folgt vorgehen:
1) Zeigen Sie, dass der Begriff äquivalent“ eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Normen
”
auf V definiert.
2) Zeigen Sie für eine beliebige Norm || · ||, dass die Abbildung ϕ : Rn → R mit ϕ(x) = ||x||
stetig bzgl. der Maximumsnorm ist. (Es kann sogar Lipschitz-Stetigkeit gezeigt werden.)
3) Folgern Sie nun, dass ϕ Maximum und Minimum auf S := {(α1 , ..., αn ) : maxi |αi | = 1}
annimmt und leiten Sie daraus die Äquivalenz von || · || und der Maximumsnorm ab.
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
n
Seien a1 , ..., ad ∈ R . Zeigen Sie, dass ein Parallelotop
( d
)
X
P (a1 , ..., ad ) :=
ti ai : t1 , ..., td ∈ (0, 1)
i=1
genau dann eine d-dimensionale parametrisierbare Mannigfaltigkeit ist, wenn a1 , ..., ad linear unabhängig sind. Bestimmen Sie zudem das d-dimensionale Volumen von P (a1 , ..., ad ) und folgern
Sie, dass das d-dimensionale Volumen v auf der Menge der Parallelotope folgende wünschenswerten
Eigenschaften hat:
i) v(P (a1 , ..., λai , ..., ad )) = |λ|v(P (a1 , ..., ad )) für λ ∈ R \ {0},
ii) v(P (a1 , ..., ai + aj , ..., aj , ..., ad )) = v(P (a1 , ..., ad )) für i 6= j,
iii) v(a1 , ..., ad ) = 1 für ein Orthonormalsystem a1 , ..., ad ∈ Rn .
Aufgabe 3.
a) Zeigen Sie, dass die geschlitzte euklidische Sphäre im Rn
(4 Punkte)
S n−1 \ (S × Rn−2 ) := {x ∈ Rn : ||x|| = 1} \ (S × Rn−2 ), S = {(x1 , 0)|x1 ≤ 0} ⊂ R2 ,
eine n − 1-dimensionale parametrisierbare Mannigfaltigkeit ist und bestimmen Sie das Volumen. Ist die euklidische Sphäre S n−1 = {x ∈ Rn : ||x|| = 1} eine n − 1-dimensionale eingebettete Mannigfaltigkeit? Beweisen Sie Ihre Antwort.
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b) Sei X = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ (−1, 1) und y = |x|}. Zeigen Sie, dass ein stetig differenzierbarer
Homöomorphismus α : (0, 1) → X existiert. Ist X eine eindimensionale parametrisierbare
Mannigfaltigkeit? Beweisen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Zeigen Sie, dass das folgende Integral genau dann existiert, wenn α < 2 ist und den Wert
Z
d(x, y)
1
=
α
(x
+
y)
2
−
α
2
∆
annimmt.
Abgabetermin: Freitag, 21. November 2014, 8:15 Uhr, im Zettelkasten auf NA 02.
Hinweis: Die Zettel sind in Gruppen von bis zu drei Studierenden abzugeben. Bitte notieren Sie
auf Ihren Lösungen auch Ihre Übungsgruppe (Nummer und Leiter), dort erfolgt die Rückgabe
der korrigierten Aufgaben.
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