14. Übungsblatt

Aufgaben zur Einführung in die Geometrie und Topologie
Prof. Dr. C.-F. Bödigheimer, M. Sc. Felix Boes
Sommersemester 2016
Aufgaben zur Klausurvorbereitung
ohne Abgabe
Aufgabe 1 (Definitionen)
Geben Sie die Definitionen folgender Begriffe wieder:
1. topologischer Raum;
2. erstes und zweites Abzählbarkeitsaxiom;
3. kompakter Raum;
4. zusammenhängender Raum;
5. topologische Mannigfaltigkeit;
6. lokalkompakter Raum;
7. normaler Raum;
8. Hausdorff-Raum.
Aufgabe 2 (Sätze)
Formulieren Sie die beiden folgenden Sätze:
1. den Zwischenwertsatz der Topologie,
2. den Satz über kompakte Bilder,
3. das Lemma von Urysohn,
4. den Erweiterungssatz von Tietze,
5. den Satz von Tychonoff.
Aufgabe 3 (Quotienten)
Es sei X ein Raum und ∼ eine Äquivalenzrelation auf X. Was ist X/ ∼ als Menge ? Wie ist die Quotiententopologie
definiert ? Wie lautet die universelle Eigenschaft von X/ ∼ ?
Aufgabe 4 (Nicht-Zusammenhang von O(n))
Warum ist die orthogonale Gruppe O(n) nicht zusammenhängend ?
Aufgabe 5 (Kompaktheit)
Man zeige, dass eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes abgeschlossen ist.
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Aufgabe 6 (Folgen in Produkten)
Q
Es sei X = I Xi ein Produkt von Räumen Xi mit i ∈ I und x0 , x1 , x2 , . . . eine Folge von Punkten xn = (xnI ) in
X. Zeigen Sie: Die Folge xn konvergiert genau dann gegen a = aI , wenn für jedes feste i ∈ I die Folge xni in Xi
gegen ai konvergiert.
Aufgabe 7 (Lemma von Urysohn für metrische Räume)
Man beweise das Lemma von Urysohn für metrische Räume.
Aufgabe 8 (Der reell-projektive Raum ist eine Mannigfaltigkeit)
Man beweise, dass RP n eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.
Aufgabe 9 (Untermannigfaltikeiten)
Es sei M eine m-Mannigfaltigkeit und A ⊂ M sei abgeschlossen. Man zeige, dass M 0 = M \ A wieder eine mMannigfaltigkeit ist.
Aufgabe 10 (Produktmannigfaltigkeiten)
Das Produkt zweier Mannigfaltigkeiten ist wieder eine Mannigfaltigkeit.
Aufgabe 11 (Der Tangentialraum)
Definieren Sie den Tangentialraum Tx (M ) eines Punktes x einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M und beweisen
Sie, daß er ein reeller Vektorrraum der Dimension m = dim M ist.
Aufgabe 12 (Differential einer Abbildung)
Ist die Abbildung f : S2 → S2 der Sphäre S2 = C ∪ {∞}, definiert durch f (z) = z 2 für z 6= ∞ und f (∞) = ∞,
differenzierbar und was ist die Ableitung ?
Aufgabe 13 (Homotopieäquivalenzen)
Ist die Komposition g ◦ f zweier Homotopieäqivalenzen f : X → Y und g : Y → Z wieder eine Homotopieäquvalenz?
Aufgabe 14 (Fundamentalgruppe)
Man zeige, dass die Verknüpfung in der Fundamentalgruppe π1 (X, x) assoziativ ist.
Aufgabe 15 (Fundamentalgruppe)
Es sei X := S2 − {N, S} die 2-Sphäre ohne den Nordpol N und ohne den Südpol S. Man berechne π1 (X, x0 ) für
irgendeinen Grundpunkt x0 ∈ X.
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