Symplektische Geometrie

Symplektische Geometrie
17. Jänner 2012
Ziel dieses Teil des Vortrags ist es, ein paar Grundlagen zu erläutern und in Zusammenhang mit der theoretischen Physik zu stellen. Die symplektische Geometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, dessen Zentralobjekt symplektische Mannigfaltigkeiten sind.
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Mannigfaltigkeiten
Eine Mannigfaltigkeit ist ein Raum der lokal dem euklidischem Raum Rn
gleicht, ihm aber im Ganzen nicht gleich sein muss.
Ein Beispiel dafür ist eine Sphäre, also eine Kugeloberfläche. Es ist möglich, jeden Bereich dieser Sphäre anhand einer Karte in einer Ebene darzustellen. Um
die ganze Mannigfaltigkeit zu beschreiben werden verschiedene Karten benötigt.
Es werden ausserdem Regeln benötigt, wie sich die Karten beim Kartenwechsel überlappen. Eine vollständige Sammlung dieser Karten bildet einen Atlas.
Sind die Kartenwechsel ausreichend glatt, ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit vorhanden. Zum Beispiel die Ableitung, wie aus der Analysis bekannt,
kann auf diese Art von Mannigfaltigkeit übertragen werden. Differenzierbare
Mannigfaltigkeiten können zur Repräsentation von Phasenräumen in der klassischen Mechanik verwendet werden. Geometrische Objekte, die lokal aussehen
wie der euklidische Raum sind ebenfalls differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
Hier werden Mannigfaltigkeiten ohne Rand betrachtet. Beispielsweise ist eine
Sphäre eine randlose Mannigfaltigkeit, eine Kugel hat hingegen einen Rand.
Der Rand ist in diesem Fall die Oberfläche der Kugel.
Homöomorphismus Eine bijektive, stetige Abbildung, dessen Umkehrabbildung auch stetig ist. Besteht ein Homöomorphismus zwischen zwei Objekten sind diese homömorph. Dehnung, Stauchung, Verbiegen, Verzerrung
können Anschauungen eines Homöomorphismus sein.
Hausdorff-Raum Ein (topologischer) Raum worin für alle paarweise verschiedenen Punkte Umgebungen besitzen die disjunkt sind, sie sich also nicht
überschneiden.
Eine (topologische) n-Mannigfaltigkeit ist ein solcher Hausdorff-Raum. Ausserdem besitzt in diesem Raum jeder Punkt eine offene Umgebung die homöomorph
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zu einer offenen Teilmenge vom euklidischen Raum Rn ist. Beispielsweise würde
eine 3-Mannigfaltigkeit dann dieselben Bedingungen erfüllen, lokal dann aber
nur dem R3 gleich sein.
Es sei M eine solche Mannigfaltigkeit ohne Rand. Die vorhin erwähnte Karte
ist eine offene Teilmenge von M auf der ein Homöomorphismus zu einer offenen
Menge von Rn definiert ist. Der Atlas ist dann eine Sammlung von Karten, die
gemeinsam die Mannigfaltigkeit M beschreiben. Der Homöomorphismus (eine
Abbildung) ist dann der Kartenwechsel (oder Koordinatenwechsel). Sind diese
Abbildungen k-mal differenzierbar, spricht man von einem C k -Atlas. Eine topologische Mannigfaltigkeit mit einem solchen Atlas ist eine C k -Mannigfaltigkeit.
Ist k = ∞, besteht also eine C ∞ -Mannigfaltigkeit, kann man von einer glatten
Mannigfaltigkeit sprechen.
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Die Symplektische Form
Die symplektische Form ist eine bestimmte Funktion, eine nichtausgeartete alternierende Bilinearform h−, −i : V × V → K. Das bedeutet, dass sie als Bilinearform zwei Vektoren einen Skalarwert zuordnet, in beiden Argumenten linear
ist und folgende Bedingungen erfüllt:
• Für jedes v ∈ V, v 6= 0 ∃ w ∈ V mit hv, wi 6= 0, sie ist also nicht
ausgeartet und
• hv, vi = 0 ∀ v ∈ V , sie ist alternierend (also auch schiefsymmetrisch, was
bedeutet dass ω (w, v) = −ω (v, w) ist).
Zusammen mit einem Vektorraum bildet sie einen symplektischen Raum. Eine
glatte Mannigfaltigkeit M , zusammen mit einer solchem symplektischen Form
ist eine symplektische Mannigfaltigkeit.
In der Hamilton’schen Mechanik ist die symplektische Mannigfaltigkeit mit der
symplektischen, geschlossenen Form ω der Phasenraum.
X
ω=
dqi ∧ dpi , dω = 0
i
∧ ist das Dachprodukt (auch als äußeres Produkt oder Grassmann-Produkt
bekannt). Es ist wie folgt definiert:
Dachprodukt Es seien zwei Linearformen f, g ∈ L (K n , K) . Das Dachprodukt
ist eine Bilinearform auf K n : (f ∧ g) (v, w) := f (v) · g (w) − g (v) · f (w)
und ist alternierend
[2]. Es ist dem Vektorprodukt ähnlich, teilweise wird
P
auch ω = dqi dpi verwendet.
i
dω = 0 gilt, weil die Mannigfaltigkeit geschlossen ist. Das bedeutet, dass sie keinen Rand hat, und kompakt1 ist. Beispiele für geschlossene Mannigfaltigkeiten
wären der Torus und die Klein’sche Flasche.
1 Sie
ist also abgeschlossen oder beschränkt.
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Es ist nun erkennbar, dass die kanonischen Gleichungen, also die Hamilton’schen
Bewegungsgleichungen in ω wiederzufinden sind:
dqi = q˙i =
∂H
∂pi
dpi = p˙i = −
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∂H
∂qi
Dimension symplektischer n-Mannigfaltigkeiten
Ein symplektischer Raum hat eine symplektische Basis {u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn }
. Die Dimension von einem solchen Raum ist somit immer 2n. Symplektische
Mannigfaltigkeiten haben daher auch immer eine geradzahlige Dimension.
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Auslassen: Symplektomorphismen etc.
Es seien zwei symplektische Vektorräume (V, β) und W, β̃ über einem Körper
K und eine lineare Abbildung L : V → W . Falls β̃ (Lv, Lw) = β (v, w) , ∀v, w ∈
V heißt die Abbildung symplektisch. Ist L außerdem ein Isomorphismus (eine strukturerhaltende bijektive Abbildung), wird es Symplektomorphismus
genannt [1].
Symplektische_Abbildung Es seien (P, ω) und(Q, ρ) symplektische Mannigfaltigkeiten mit derselben Dimension, also dim (P ) = dim (Q). Eine
Abbildung F für die gilt
F ∈ C 1 (P, Q) mit F ∗ ρ = ω
ist eine symplektische Abbildung, auch kanonische Transformation genannt.
Diffeomorphismus Eine bijektive Abbildung f dessen Umkehrfunktion auch
f −1 stetig differenzierbar ist
Ein symplektischer Diffeomorphismus ist ein Symplektomorphismus.
Definition von „abgeschlossen“: Angenommen U ⊂ Rn , also eine offene Teilmenge des euklidischen Raums, ist es abgeschlossen wenn folgende Anforderung erfüllt wird: ∀x ∈ Rn ,
außerhalb von U ∃ε > 0, sodass jeder Punkt y ∈ Rn mit kx − yk < ε auch außerhalb von U
liegt.
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Literatur
[1] Prof. Dr. Bruinier, J.H., et al. "Lineare Algebra II." . Technische Universität Darmstadt, 2008. Web. 9 Jan 2012. <https://www3.mathematik.tudarmstadt.de/evs/e/32.html?evsver=734&evsdir=573&evsfile=10.+Loesungshinweise.pdf>.
[2] Fritzsche, Klaus. "Kapitel 7." Multilineare Algebra. Universität Wuppertal, n.d. Web. 9 Jan 2012. <http://www2.math.uniwuppertal.de/~fritzsch/metkap7.pdf>.
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