Analysis auf Mannigfaltigkeiten

Vorlesungsskript Analysis IV
Analysis auf Mannigfaltigkeit
Prof. Dr. Bernd Ammann
Sommersemester 2015
Universität Regensburg
Version: 25. November 2015
Inhaltsverzeichnis
0
Motivation und Wiederholung
1
0.1
Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
0.2
Wiederholung Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
0.2.1 Definition und Charakterisierung von Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . .
3
0.2.2 Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
7
1.1
Glatte Abbildungen und Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Die Ableitung von Funktionen zwischen Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . 12
1.3
Längenmessung und Integration auf Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4
Ableitung von Funktionen und Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5
Hyperflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6
Theorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7
Variationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
Mannigfaltigkeiten
2.1
C k -Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2
Kompakte Ausschöpfung und Partition der Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3
Der Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4
Derivationen in einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5
Vektorfelder und Lie-Klammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6
Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3
Differentialformen und der Satz von Stokes
3.1
Alternierende Tensoren auf Vektoren
3.2
Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3
Das äußere Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4
DeRham-Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5
Zwei Einschübe: Produkte und Formen auf Mannigfaltigkeiten mit Rand . . . . . . . . 82
49
70
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.1 Produkte von Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.5.2 Formen auf Mannigfaltigkeiten auf Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.6
Poincaré-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.7
Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.8
Integration von Formen und Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.9
Elektrodynamik in der Sprache der Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.10 Einige Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Stichwortverzeichnis
I
Liste der Sätze
VI
Symbolverzeichnis
IX
Literaturverzeichnis
Übungen
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X
XIII
Seite iii
0.
Motivation und Wiederholung
0 Motivation und Wiederholung
0.1 Motivation
14.4.
Ziele
Ziele des Vorlesungsteils „Geometrie von Untermannigfaltigkeiten“ ist das Verständnis von Kurven
in der Ebene und im Raum, sowie der Ebenen im Raum. Dafür interessant ist das Studium der
Krümmung von ebenen Kurven, der Krümmung und Torsion von Raumkurven und die intrinsische,
sowie extrinsische Krümmung von Ebenen im Raum. Allgemein also die Krümmung von Untermannigfaltigkeiten im Rn .
Darstellungsarten von Untermannigfaltigkeiten
Die Parabelkurve
(x, x2 )t ∈ R2 x ∈ R ⊆ R2 kann gegeben werden durch:
• Als Graph der Funktion R −→ R,
x 7−→ x2 .
• Durch eine Parametrisierung
R −→ R2 ,
 
t
t 7−→  
t2
oder eine alternative Parametrisierung wie
2
R −→ R ,
 
t3
t 7−→   .
t6
• Implizit als Lösungsmenge der Gleichung y = x2 .
Zentral für den Übergang zwischen den verschiedenen Möglichkeiten ist der Satz über implizite Funktionen. Dieser funktioniert dort gut, wo die Fläche glatt und die Parametrisierung nicht
singulär ist.
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0.
Motivation und Wiederholung
Singularitäten
Problematischer sind Situationen in denen Singularitäten vorhanden sind. Betrachte zum Beispiel
R −→ R,
 
t5
t 7−→   .
t2
Diese Parametrisierung hat eine Singularität in t = 0. Eine Skizze dazu:
In- und Extrinsische Krümmung
Es gibt zwei verschiedene Typen von Krümmungen einer Ebene: Die intrinsische Krümmung ist eine
Größe der inneren Geometrie; sie misst Distanzen in der Untermannigfaltigkeit. Die extrinsische
Krümmung beschreibt, wie sie die Ebene im umgebenden Raum krümmt.
Als Beispiel ist ein Zylinder intrinisch flach, aber extrinsisch gekrümmt.
Vergisst man nun den umgebenden Raum, so bleibt nur die innere Geometrie sichtbar. Dafür
studiert man keine Untermannigfaltigkeiten mehr, sondern geht über zu Mannigfaltigkeiten.
Physikalische Anwendungen
Anwendungen dieser Theorie in der Physik sind z.B.:
• Differentialformen beschreiben Elektrodynamik.
• Klassische Integralsätze der Physik: Satz von Stokes, Divergenzsatz von Gauß, . . . .
• Klassische Mechanik: Hamilton- und Lagrange-Formalismus.
• Allgemeine Relativitätstheorie: Schwarze Löcher, „Urknall“, dunkle Energie.
• Beschreibung von Symmetrien mithilfe von Lie-Gruppen.
• Spektralberechnung von Differentialoperatoren führen zum Orbitalmodell eines Atoms.
Mathematische Anwendungen
Aber es gibt auch mathematische Anwendungen:
Seite 2
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
0.2
Wiederholung Untermannigfaltigkeiten
• Viele Aussagen über Flächen.
• Visualisierungen von Kurven und Flächen.
• Hohe Mathematik: Poincaré-Vermutung.
• Weniger hohe Mathematik: Straßenplanung usw.
Poincaré-Vermutung
Henri Poincaré vermutete 1904:
Ist M eine kompakte einfach-zusammenhängende 3-dimensionale (Unter-)Mannigfaltigkeit,
dann gibt es eine glatte bijektive Abbildung
∼
M −→ S3
mit glatter Umkehrabbildung.
Diese Vermutung wurde 2002 von Grigori Perelman gelöst. Es handelte sich um eines der sieben
Milleniumprobleme. Die Lösung basiert auf gutem Verständnis von der Krümmung von Mannigfaltigkeiten.
0.2 Wiederholung Untermannigfaltigkeiten
0.2.1 Definition und Charakterisierung von Untermannigfaltigkeiten
Definition 2.1. (vgl. Analysis II, Kap. 8, Definition 6.1) Sei U ⊂ Rn offen und F : U −→ Rm
sei `-mal stetig differenzierbar (mit ` ≥ 1). Dann heißt y ∈ Rm ein regulärer Wert, falls gilt
∀p ∈ F −1 (y) :
F 0 (p) hat Rang m.
(Das heißt F 0 (p) beschreibt eine surjektive lineare Abbildung.)
Ist y kein regulärer Wert, so nennt man y einen singulären Wert.
Definition 2.2. (vgl. Analysis II, Kap. 8, Definition 6.4) Sei ` ≥ 1 und k ≥ n. Sei M eine
Teilmenge von Rk .
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0.
Motivation und Wiederholung
Dann heißt M eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rk mit
`
Regularität C , falls für jedes p ∈ M eine offene Umgebung U ⊂ R
p
U
F
k
von p und ein F ∈ C ` (U, Rk−n ) existiert, so dass 0 ein regulärer Wert
p̃
von F ist und F −1 ({0}) = U ∩ M .
Ũ
F̃
R
R
Definition 2.3. (vgl. Analysis II, Kap. 8, Definition 6.8) Sei M ⊂ Rk . Eine n-dimensionale
(lokale) Parametrisierung von M ist eine Abbildung f : W −→ Rk mit:
(i) W ⊂ Rn ist offen,
(ii) f 0 (p̃) ∈ Rk×n hat Rang n für alle p̃ ∈ W .
(Das heißt f 0 (p̃) ist injektiv.)
(iii) f (W ) = U ∩ M für eine offene Teilmenge U ⊂ Rn .
(iv) f : W −→ f (W ) ist ein Homöomorphismus.
Lemma 2.4. Ist M eine Teilmenge von Rk . Dann sind äquivalent:
(i) M ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rk mit Regularität C ` ,
(ii) Zu jedem p ∈ M gibt es offene Mengen U, V ⊂ Rk mit p ∈ U und einen C ` -Diffeomorphismus
Φ : U −→ V , so dass Φ(U ∩ M ) = V ∩ (Rn × {0}).
(iii) Für alle p ∈ M existiert eine n-dimensionale (lokale) Parametrisierung (vgl. Definition 0.2.3)
von M der Regularität C ` , deren Bild p enthält.
(iv) M ist „lokal Graph einer C ` -Funktion“
Hierbei bedeutet Aussage ((iv)) das folgende: Für jedes p ∈ M existiert eine Permutation α ∈
Perm{1, 2, . . . , k}, offene Mengen U ⊂ Rn , V ⊂ Rn−k und eine C ` -Funktion f : U −→ V gibt so
dass δiα(j) i,j · M ∩ (U × V ) = Graph(f ) und δiα(j) i,j · p ∈ U × V .
Dabei ist δiα(j) i,j die Matrix der linearen Abbildung, die ej auf eα(j) abbildet, das heißt sie
permutiert die Komponenten des Rk .
2
Beweis: Vgl. Analysis II, Kap. 8, Satz 5.2 und Prop. 6.6
U
Zu (ii):
x2
Φ
M
R
k−n
α = id
V
Rn
Zu (iv):
α(j) = 3 − j
x1
Definition 2.5. In der Situation des obigen Lemmas heißt die Abbildung Φ in (ii) eine Untermannigfaltigkeits-Karte.
Seite 4
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
0.2
Wiederholung Untermannigfaltigkeiten
Beispiel 2.6. Betrachte die Abbildung
f : R −→ R2 ,
 
t2
t 7−→   .
t6
Wegen f 0 (0) = 0 ist f keine Parametrisierung. Hingegen ist f R∗
eine Parametrisierung von f (R∗ ).
Die Abbildung
f2 : R −→ R2 ,
 
t
t 7−→  
t2
ist eine Parametrisierung von f2 (R) = f (R).
0.2.2 Der Tangentialraum
Definition 2.7. (vgl. Analysis II, Kap. 8, Def. 6.11) Sei M ⊂ Rk eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit und p ∈ M ein Punkt. Der Tangentialraum an M im Punkt p ist gegeben
durch
Tp M := v ∈ Rk ∃ ε > 0
c(0) = p
und c : (−ε, ε) −→ Rk ist C 1 -Kurve mit c((−ε, ε)) ⊂ M,
und c0 (0) = v ⊂ Rk .
Proposition 2.8. Sei M ⊂ Rk eine Untermannigfaltigkeit und p ∈ M ein Punkt.
(i) Sei Φ : U −→ V eine Untermannigfaltigkeits-Karte von M um p.
Dann gilt Tp M = Φ0 (p)−1 Rn × {0} .
(ii) Sei U ⊂ Rk eine offene Umgebung von p und F ∈ C ` (U, Rk−n )) mit 0 als regulärem Wert und
F −1 ({0}) = U ∩ M . Dann gilt Tp M = ker (F 0 (p)).
(iii) Sei f : W −→ Rk eine n-dimensionale (lokale) Parametrisierung von M um p. Sei x :=
f −1 (p) ∈ W . Dann gilt Tp M = f 0 (x)(Rn ).
Insbesondere ist Tp M ein n-dimensionaler Untervektorraum von Rk .
Beweis: vgl. Analysis II, Kap. 8, Prop. 6.12.
2
Bemerkung 2.9 (Triviale Untermannigfaltigkeiten). Sei U ⊂ Rk .
(i) Dann ist U ⊂ Rk eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rk genau dann, wenn U ⊂
Rk offen ist.
(ii) Dann ist U ⊂ Rk eine 0-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Rk genau dann, wenn U
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0.
Motivation und Wiederholung
diskret ist.
Seite 6
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
1 Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
1.1 Glatte Abbildungen und Vektorfelder
17.4.
Notation 1.1. Seien N n ⊂ Rk und M m ⊂ R` Untermannigfaltigkeiten (der Regularität C r ). In
diesem Fall bedeutet der der Exponent n (bzw. m), dass n = dim(N ) (bzw. m = dim(M )).
Für eine offene Teilmenge U eines topologischen Raums X schreibe U ⊂◦ X.
Eine Inklusion von X in Y bezeichnet man mit X ,−→ Y .
◦ W −→ N eine C r -Parametrisierung von N und p ∈ β(W ). Dann gibt
Lemma 1.2. Sei β : Rn ⊃
es eine Untermannigfaltigkeits-Karte Φ : U −→ Rn × Rk−n mit Φ ∈ C r , p ∈ U ⊂◦ Rk und
Φ ◦ β
 
x
(x) =  
β−1(U ∩N )
0
∀x ∈ β −1 (U ∩ N ) ⊂ W.
Außerdem gilt U ∩ N ⊂ β(W ).
Beweis: Die in Analysis II, Kap. 8, Proposition 6.9 konstruierte Funktion Φ erfüllt die gewünsch2
ten Eigenschaften.
Bemerkung 1.3. Ist β : W −→ N eine C r -Parametrisierung (mit r ≥ 1), so ist β(W ) ⊂ N eine
offene Teilmenge von N .
◦ V −→ N und β : Rn ⊃
◦ W −→ N zwei C r -Parametrisierungen von
Lemma 1.4. Seien α : Rn ⊃
N mit r ∈ N ∪ {∞}. Dann ist
β −1 ◦ α
: α−1 (α(V )∩β(W )) −→ β −1 (α(V )∩β(W ))
α−1 α(V )∩β(W )
ein C r -Diffeomorphismus.
Beweis: Die Bijektivität ist klar, da α : V −→ α(V ) und β : W −→ β(W ) Bijektionen sind.
Sei nun y ∈ α−1 α(V ) ∩ β(W ) . Dann ist zu zeigen, dass β −1 ◦ α auf einer Umgebung von y in
C r ist. (Dass die Umkehrabbildung auch C r ist, folgt durch Vertauschen von α und β):
Wende Lemma 1.1.2 mit p := α(y) an. Definiere Ṽ := α−1 α(V ) ∩ β(W ) . Für ỹ ∈ Ṽ ⊂◦ Rn gilt

Φ ◦ α(ỹ) = 
(β−1 ◦ α)(ỹ)
Das heißt Φ ◦ α ∈ C r , also β −1 ◦ α ∈ C r .
Ṽ
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0

 ∈ Rn × Rk−n .
2
Seite 7
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
M
α
β
β −1 ◦ α
V ⊂◦ Rn
W ⊂◦ Rn
Im Folgenden sind alle Untermannigfaltigkeiten von Regularität C ∞ , alle Parametrisierungen sind
glatt, ebenso alle Untermannigfaltigkeits-Karten.
Definition 1.5. Seien N n ⊂ Rk und M m ⊂ R` Untermannigfaltigkeiten. Eine Abbildung
f : N −→ M hat Regularität C r , falls es zu jedem p ∈ N eine in Rk offene Menge U und eine
Funktion F ∈ C r (U, R` ) gibt, so dass p ∈ U und das folgende Diagramm kommutiert:
N ∩ _ U
U
f |N ∩U
/ M
_
/ R`
F
Proposition 1.6. In der Notation von Definition 1.1.5 sind äquivalent:
(i) f : N −→ M hat Regularität C r ,
(ii) Es gibt ein U ⊂◦ Rk mit N ⊂ U und F ∈ C r (U, R` ) mit F = f,
N
(iii) Für jede Parametrisierung α : V −→ N ist die Komposition
α
f
V −→ N −→ M ,−→ R`
in C r ,
◦ V −→ N mit α(V ) 3 p so dass die
(iv) Zu jedem p ∈ M gibt es eine Parametrisierung α : Rn ⊃
Komposition
α
f
V −→ N −→ M −→ R`
in C r ist.
Beweis: ((ii) =⇒ (i))
((i) =⇒ (ii) )
Klar.
Wird nicht gezeigt und nicht verwendet.
Zu x ∈ V wähle p := α(x) und dann wähle U und F wie in Definition 1.1.5.
Setze Ṽ := α−1 (U ) ⊂◦ V ⊂◦ Rn . Dann gilt f ◦ α = F ◦ α ∈ C r (Ṽ , R` ) nach Kettenregel.
((i) =⇒ (iii))
Ṽ
Seite 8
Ṽ
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.1
((iii) =⇒ (iv))
((iv) =⇒ (i))
Glatte Abbildungen und Vektorfelder
Klar.
Zu p ∈ M wähle eine Untermannigfaltigkeits-Karte
Φ : U −→ Rk ,


Φ1 (y)
 ∈ Rn × Rk−n .
y 7−→ 
Φ2 (y)
wie in Lemma 1.1.2 mit β := α und p ∈ U . Setze F := f ◦ α ◦ Φ1 ∈ C r (U, R` ) (da f ◦ α ∈ C r
nach Vor und Φ1 ∈ C ∞ ).
2
Für q ∈ U ∩ N gilt (α ◦ Φ1 )(q) = q, also F (q) = f (q).
Definition 1.7. Schreibe
C r (N, M ) :=
o
n
f : N −→ M f hat Regularität C r
Eine Abbildung f : N −→ M heißt C r -Diffeomorphismus, falls f bijektiv ist und falls gilt: f ∈
C r (N, M ) und f −1 ∈ C r (M, N ).
Korollar 1.8. Ist α : V −→ N eine Parametrisierung von Regularität C r , r ∈ N ∪ {∞}, r ≥ 1,
so ist α−1 : α(V ) −→ V ein C r -Diffeomorphismus.
Beweis: Wende Proposition 1.1.6 (iv) mit f := α−1 , N := α(V ) ⊂ Rk , M := V ⊂◦ Rm an.
2
Erhalte f ∈ C r aus Proposition 1.1.6 (iv), denn f ◦ α = idV ∈ C ∞ ⊂ C r .
Im folgenden wird vor allem der Fall r = ∞ wichtig sein. Wenn also die Regularität nicht explizit
angeben ist, ist immer von Regularität C ∞ auszugehen.
Definition 1.9. Die Umkehrabbildung einer Parametrisierung α : V −→ N von N nennt man
eine Karte ϕ von N oder Koordinaten ϕ auf N . Dabei ist
ϕ := α−1 : U := α(V ) −→ V
mit U ⊂◦ N .
Ein Atlas ist eine Menge {ϕi : Ui −→ Vi }i∈I von Karten von N so dass
S
i∈I
Ui = N .
Korollar 1.10. Sei f : M m −→ N n und die Notation wie oben. Dann sind äquivalent:
(i) f ist in C r ,
(ii) ϕ ◦ f ist für alle Karten ϕ : U −→ V von N in C r ,
−1
f
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(U )
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I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
(iii) ϕ ◦ f f −1 (U )
für alle Karten ϕ : U −→ V aus einem Atlas von N in C r .
Beispiel. Sei N n ⊂ R` eine Untermannigfaltigkeit, dann bildet
A :=
o
n
ϕ : U −→ V ϕ : U −→ V ist eine C r -Karte von N
ein Atlas (der maximale Atlas von N ).
21.4.
Beispiel 1.11 (Kugelkoordinaten auf S2 ).
Sei M = S2 := (x, y, z)t ∈ R3 x2 + y 2 + z 2 = 1 . Betrachte
z
α : (0, 2π) × (0, π) −→ R3
  

x
cos(φ) sin(ϑ)
  

  

(φ, ϑ) 7−→  sin(φ) sin(ϑ)  = y  .
  

z
cos(ϑ)
p
ϑ
ϕ
y
x
Setze
 


x

 
 
2
U := im(α) = S \  0 

 


 z
|





x ≥ 0, z ∈ R ⊂◦ S2 .




{z
}
(φ=0)-Bogen
Man kann φ und ϑ auch als Funktionen U −→ R betrachten:



arccot(x/y)



φ(x, y, z) := π




π + arccot(x/y)
ϑ(x, y, z) := arccos(z),
für y > 0
für y = 0
für y < 0
Die Funktionen ϑ und φ sind glatte Funktionen auf U , φ lässt sich nicht auf S2 fortsetzen, aber ϑ
lässt sich stetig auf S2 fortsetzen, ist aber am Nord- und Südpol nicht mehr differenzierbar. Aber
cos(ϑ(x, y, z)) = z ist glatt auf S2 .
Definition 1.12. Sei M m ⊂ Rk eine Untermannigfaltigkeit. Ein (C r -)Vektorfeld auf M ist eine
C r -Abbildung
X
M −→ Rk ,
Seite 10
p 7−→ X p
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.1
Glatte Abbildungen und Vektorfelder
mit X p ∈ Tp M für alle p ∈ M .
Wird nichts zur Regularität eines Vektorfeldes gesagt, so meint man ein glattes Vektorfeld.
Die Menge aller (glatten) Vektorfelder auf M wird bezeichnet mit X(M ).
Beispiel 1.13. Ist α : V −→ M m ⊂ Rk eine Parametrisierung und ϕ := α−1 : U := α(V ) −→ V
eine Karte. Dann definiere für 1 ≤ i ≤ m die Vektorfelder
◦ U −→ Rk
Xiϕ : M ⊃
p 7−→ α0 ϕ(p) ·ei ∈ Tp M
| {z }
∈Rk×m
wobei e1 , . . . , em die Standardbasis auf Rm sind. Mit U ⊂ M offen ist U eine m-dimensionale
Untermannigfaltigkeit von Rk und es gilt Xiϕ ∈ X(U ).
ϕ
Die Matrix α0 ϕ(p) ∈ Rk×m hat Rang m, also ist X1ϕ p , . . . , Xm
eine Basis von Tp M = Tp U .
p
Man nennt Xiϕ das i-te Koordinatenvektorfeld. Wenn klar ist, welche Karte zu verwenden ist, wird
∂ oft auch einfach Xi geschrieben. Man schreibt auch oft ∂ϕ
an Stelle von Xiϕ p . Die Schreibweise
i
p
des Koordinatenvektorfelds als partielle Ableitung wird in Abschnitt 1.4 in den Erklärung nach
Gleichung (1.4.3) begründet. Hier wird zunächst die Notation Xiϕ p benutzt und dann später die
∂ Notation ∂ϕ
verwendet.
i
p
Beispiel 1.14 (Fortsetzung von Beispiel 1.1.11). Rechne

− sin(φ) sin(ϑ)


α0 (φ, ϑ) =  cos(φ) sin(ϑ)

0
cos(φ) cos(ϑ)



sin(φ) cos(ϑ) 

− sin(ϑ)
Dann zeigt
−1 X1α α(φ,ϑ)


− sin(φ) sin(ϑ)




=  cos(φ) sin(ϑ) 


0
nach Osten und

−1 X2α α(φ,ϑ)

cos(φ) cos(ϑ)




=  sin(φ) cos(ϑ) 


− sin(ϑ)
nach Süden.
−1 Beachte X1α = sin(ϑ) und X2α−1 = 1.
Proposition 1.15 (Kartenwechsel). Sei M m ⊂ Rk eine Untermannigfaltigkeit.
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Seite 11
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
◦ U −→ V ⊂
◦ Rn und ψ : M ⊃
◦ W −→ Z ⊂
◦ Rm Karten von M , so gilt für p ∈ U ∩ W :
Sind ϕ : M ⊃
m
X
∂(ψ ◦ ϕ−1 )j · Xjψ p .
Xiϕ p =
i
∂x
ϕ(p)
j=1
Beweis: Rechne (ψ ◦ ϕ−1 )0 (ϕ(p)) ·ei =
|
{z
}
Definiere
aji (p)
:=
∈Rm×m
∂(ψ◦ϕ−1 )j ∂xi
ϕ(p)
Pm
j=1
∂(ψ◦ϕ−1 )j ∂xi
ϕ(p)
· ej
und sei β := ψ −1 : V −→ U ⊂ M ⊂ Rk eine Parametrisierung.
Rechne:
Xiϕ p = (ϕ−1 )0 (ϕ(p)) = (ψ −1 ◦ ψ ◦ ϕ−1 )0 (ϕ(p)) = (ψ −1 )0 (ψ(p))(ψ ◦ ϕ−1 )0 (ϕ(p))ei
= (β)0 (ψ(p))(ψ ◦ ϕ−1 )0 (ϕ(p))ei =
m
X
aji (p) β 0 (ψ(p))ej
| {z }
j=1
X ψ
j
2
p
1.2 Die Ableitung von Funktionen zwischen Untermannigfaltigkeiten
Definition 2.1. Seien M m ⊂ Rk , N n ⊂ R` Untermannigfaltigkeiten, f ∈ C 1 (M, N ) und p ∈ N .
Dann definiere die Ableitung dp f : Tp M −→ Tf (p) N von f in p wie folgt:
Wähle W ⊂◦ Rk mit p ∈ W und F ∈ C 1 (W, R` ) mit F = f
. Dann definiere
W ∩M
W ∩M
( dp f )(X) := F 0 (p) · X.
Lemma 2.2. In Definition 1.2.1 gelten:
(i) Die Definition von dp f hängt nicht von der Wahl von W und F ab.
(ii) Es gilt im( dp f ) ⊂ Tf (p) N .
(iii) Ist c : (−ε, ε) −→ M eine C 1 -Kurve mit c(0) = p, so gilt ( dp f )(ċ(0)) =
d
dt (f ◦ c).
t=0
Aus (i) und (ii) folgt die Wohldefiniertheit von dp f .
Beweis: Sei c wie in (iii), W und F wie in Definition 1.2.1. Wähle δ ∈ (0, ε] mit c (−δ, δ) ⊂ U .
Nach Voraussetzung gilt f ◦ c = F ◦ c ∈ C 1 (−δ, δ) . Rechne
d (f ◦ c) = F 0 (p) · ċ(0).
dt t=0
Es ist die linke Seite unabhängig von F , also auch die rechte Seite. Da sich jeder Vektor in Tp M
Seite 12
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.3
Längenmessung und Integration auf Untermannigfaltigkeiten
als so eine Kurve ċ schreibt, folgt (i).
d
Außerdem gilt dt
(f ◦ c) = dp f (ċ(0)), woraus (iii) folgt.
t=0
Beachte weiter: f ◦ c : (−δ, δ) −→ N ist eine C 1 -Kurve in N mit (f ◦ c)(0) = f (p). Das heißt
d
(f ◦ c) ∈ Tf (p) N nach Definition von Tf (p) N und damit ist auch (ii) gezeigt.
2
dt t=0
1.3 Längenmessung und Integration auf Untermannigfaltigkeiten
24.4.
Sei M m ⊂ Rk eine Untermannigfaltigkeit, ϕ : U −→ V eine Karte von M , p ∈ M , α := ϕ−1 eine
Parametrisierung und Tp M ⊂ Rk der Tangentialraum.
Dann gilt Xiϕ p = α0 (ϕ(p)) · ei = ( dϕ(p) α)(ei ).
M
α
Xiϕ
U ⊂◦ M
ei
ϕ
Die Vektoren X1ϕ p , . . . , Xm
bilden eine Basis von Tp M .
p
V ⊂◦ Rn
Definition 3.1. Die Abbildung
g M (p) := h•, •i Tp M ×Tp M
: Tp M × Tp M −→ R
ist bilinear und symmetrisch. Das heißt es gilt
g M (p) ∈ T∗p M ⊗ T∗p M,
∗
wobei T∗p M := (Tp M ) der Kotangentialraum ist.
Die Abbildung
M −→
[
T∗p M ⊗ T∗p M,
p 7−→ g M (p) =: gpM
p∈M
heißt die 1. Fundamentalform (kurz: 1. FF). Sie ist ein Beispiel einer Riemannschen Metrik auf M
und misst die „innere Geometrie“.
Definiere weiter
D E
ϕ
gij
(x) := Xiϕ α(x) , Xjϕ α(x) = hα0 (x) · ei , α0 (x) · ej i
SS 2015
∀x ∈ V.
Seite 13
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
Dann gilt
ϕ
(gij
(x))i,j = (α0 (x))t α0 (x)
ϕ
und gij
∈ C ∞ (V, R) heißt die Koordinatendarstellung der 1. FF.
Definition 3.2. Seien (Ei , h•, •ii ) für i = 1, 2 euklidische Vektorräume und A : E1 −→ E2
linear. Dann heißt A isometrisch, falls gilt
hx, yi1 = hAx, Ayi2
∀x, y ∈ E1 .
Die Abbildung A heißt Isometrie, falls A isometrisch und bijektiv ist.
(Beachte, dass eine isometrische Abbildung automatisch injektiv ist!)
Definition 3.3. Seien M m ⊂ Rk , N n ⊂ R` Untermannigfaltigkeiten und f : M −→ N sei in
∼
C 1 . Dann heißt f ein lokaler Diffeomorphismus, wenn für alle p ∈ M die Abbildung dp f : Tp M −→
Tf (p) N ein Isomorphismus ist. Dies ist äquivalent zur Forderung, dass für alle p ∈ M eine offene
Umgebung p ∈ U ⊂ M existiert so dass f (U ) ⊂ N offen ist und f U : U −→ f (U ) ein Diffeomorphismus ist.
f heißt isometrisch, wenn für alle p ∈ M das Differential dp f isometrisch ist.
f heißt lokale Isometrie, wenn f isometrisch und lokal ein Diffeomorphismus ist.
f heißt Isometrie, falls f : M −→ N ein Diffeomorphismus und isometrisch ist. (Dies impliziert
n = m)
Bemerkung. Ist c : [a, b] −→ M eine Kurve, f : M −→ N isometrisch, dann ist die Länge von
c gegeben durch
L (c) =
Z
b
Z
kċ(t)k dt =
a
a
b
q
M (ċ(t), ċ(t)) dt
gc(t)
b
Z
=
a
s
gfN(c(t))
d
d
(f ◦ c)(t), (f ◦ c)(t) dt
dt
dt
= L (f ◦ c).
Sei f : M −→ N ein lokaler Diffeomorphismus. Wähle U ⊂◦ M so dass f U injektiv ist und
−1
ϕ : U −→ V eine Karte ist. Dann ist f U : U −→ f (U ) ein Diffeomorphismus und ϕ
e := ϕ ◦ f U
ist eine Karte von N .
Man sieht
e−1 (ei ) = dϕ(p) (f ◦ ϕ−1 )(ei )
Xiϕef (p) = dϕ(p) ϕ
Seite 14
Kettenr.
=
( dp f )( dϕ(p) ϕ−1 )(ei ) = dp f Xiϕ p .
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.3
Längenmessung und Integration auf Untermannigfaltigkeiten
Lemma 3.4. In obiger Notation gilt, dass dp f genau dann isometrisch ist, wenn
ϕ
ϕ
e (f (p))
gij
(p) = gij
∀p ∈ M.
ϕ
ϕ
e ◦ f.
= gij
Das heißt f U ist genau dann eine Isometrie, wenn gij
Beweis: (⇒)
Rechne
D
E D
E D E
ϕ
e (f (p)) = X ϕe
ϕ
e
ϕ
gij
dp f Xiϕ p , dp f Xiϕ p
= Xiϕ p , Xjϕ p = gij
(p).
i f (p) , Xj f (p) =
(⇐)
Schreibe y, z ∈ Tp M als y =
h dfp (y), dfp (z)i =
Pm
m X
m
X
j=1
yj zr
Pm
y j Xjϕ p und z = r=1 z r Xrϕ p . Dann rechne
D
E X
ϕ
e (f (p))y j z r
=
gjr
dfp Xjϕ p , dp f Xiϕ p
j=1 r=1
=
X
j,r
ϕ
gjr
(p)y j z r = hy, zi .
j,r
2
Also ist dp f isometrisch.
Beispiel (zu Lemma 1.3.4). Sei k ≥ 2 und M := R2 × {0} ⊂ Rk eine Untermannigfaltigkeit.
Betrachte die Abbildung
f : M −→ f (M ) =: N ⊂ R3


 
cos(x)
x
 




 
y  7−→  sin(x) 
 


0
y
Dann ist N ein Zylinder. Sei weiter
α1 : R2 −→ R3 ,
α−1
 
 
x
 
x

  7−→ y 

 
y
0
α−1
α−1
eine Parametrisierung von M . Dann gilt X1 1 = e1 und X2 1 = e2 , das heißt es gilt gij1 = δij ,
wobei δij das Kronecker-Symbol bezeichnet.
SS 2015
Seite 15
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
Sei nun αx̃ := f ◦ α1 eine Parametrisierung von N . Rechne
(x̃,x̃+2π)×R


− sin(x) 0




αx̃ (x, y) =  cos(x) 0 .


0
1
α−1
Das heißt gijx̃ = δij und damit ist f eine lokale Isometrie.
Beispiel 3.5 (Längen von Kurven in Koordinaten). Sei ϕ : U −→ V eine Karte von einer
Untermannigfaltigkeit M m und γ : [a, b] −→ U eine C 1 -Kurve. Definiere

c1 (t)


 . 
ϕ ◦ γ(t) =: c(t) =  ..  .


cm (t)

Dann rechne
L (γ) =
Z
b
a
v
uX
Z
u m
t
gij (c(t)) ċi (t)ċj (t) dt =
i,j=1
b
rD
E
˙ γ(t)
˙ dt.
γ(t),
a
Erinnerung (Aus Analysis III). Rm ist ein topologischer Raum. Darauf existieren die BorelAlgebra BRm mit Borel-messbaren Mengen als Elementen. Vervollständigt man diese bzgl. des
Lebesguemaßes LλRm
m , so heißen die Elemente der entstehenden σ-Algebra die Lebesgue-messbaren
Mengen. Sie unterscheiden sich von den Borel-messbaren Mengen nur um eine Nullmenge.
Ab jetzt bezeichnet „messbar“ die Messbarkeit im Sinne von „Lebesgue-messbar“.
◦ U −→ V ⊂
◦ Rm ein Diffeomorphismus, dann ist A ⊂ U in Rm genau dann messbar,
Ist ϕ : Rm ⊃
wenn ϕ(A) ⊂ V messbar ist.
Definition 3.6. Sei M m eine Untermannigfaltigkeit und {ϕi : Ui −→ Vi } ein Atlas. Es heißt
A ⊂ M messbar, wenn eine der äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
(i) Für alle Karten ϕ : U −→ V gilt ϕ(U ∩ A) ∈ LλRm
m.
(ii) Für alle i ∈ I gilt ϕi (Ui ∩ A) ∈ LλRm
m.
Beweis: ((ii) =⇒ (i))
Klar.
Sei ϕ : U −→ V eine Karte. Es ist zu zeigen, dass ϕ(A ∩ U ) ∈ LλRm
m.
S
Wähle zu jedem q ∈ V ∩ Qm ein iq ∈ I gibt mit ϕ−1 ⊂ Uiq mit q∈V ∩Qm ϕ(U ∩ Uiq ) = V .
((i) =⇒ (ii))
Seite 16
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.3
Längenmessung und Integration auf Untermannigfaltigkeiten
Dann ist J := iq q ∈ V ∩ Qm abzählbar und es gilt
!
A∩U =A∩U ∩
[
Ui
=
i∈J
[
(A ∩ U ∩ Ui ).
i∈J
Nun gilt
ϕ(A ∩ U ) =
[
ϕ ◦ ϕ−1
ϕi (A ∩ Ui ) ∩
i
ϕi (U ∩Ui )
{z
} | {z }
i∈J |
messbar, (ii)
Diffeo.
ϕi (U )
| {z }
messbar, offen
2
Also ist die Menge messbar.
Proposition 3.7. Sei ϕa : Ua −→ Va (für a = 1, 2) Karten von M . Sei A ⊂ U1 ∩ U2 messbar.
Dann gilt
Z
q
ϕ1
(•)
det gij
ϕ1 (A)
Z
dλm =
ij
q
ϕ2 (A)
ϕ2
(•) ij dλm .
det gij
Beweis: Man kann annehmen, dass U1 = U2 gilt, denn sonst schränke ϕ1 und ϕ2 auf U1 ∩ U2
ein und fahre mit U1 ∩ U2 an Stelle von U1 und U2 fort.
ϕ1
ϕ1
Aus der Symmetrie des Skalarprodukts auf Rk folgt gij
(x) = gji
(x), also ist die Matrix
ϕ1
gij (x) ij für alle x ∈ V1 symmetrisch. Die positive Definitheit des Skalarprodukts impliziert,
ϕ1
dass diese Matrix auch positiv definit ist. Also ist det(gij
(•)) > 0 und damit der Ausdruck
ϕ2
wohldefiniert. Analog gilt det(gij
(•)) > 0.
Nach Proposition 1.1.15 gilt für p ∈ U1 = U2 :
m
`
X
∂(ϕ1 ◦ ϕ−1
2 ) Xiϕ2 p =
X`ϕ1 p
∂xi
ϕ2 (p)
`=1
und damit
m
D
D
`
r
X
E
E
∂(ϕ1 ◦ ϕ−1
∂(ϕ1 ◦ ϕ−1
ϕ2
ϕ1 ϕ1 2 ) 2 ) gij
(ϕ2 (p)) = Xiϕ2 p , Xjϕ2 p =
X
,
X
.
r
`
p
p
∂xi
∂xj
ϕ2 (p)
ϕ2 (p)
{z
}
|
`,r=1
ϕ
=g`r1 (ϕ1 (p))
Schreibt man dies als Matrizen umschreiben, so erhält man
ϕ2
gij
(ϕ2 (p))
ij
t ϕ1
−1
= Jϕ2 (p) (ϕ1 ◦ ϕ−1
2 ) (g`r (ϕ1 (p)))`r Jϕ2 (p) (ϕ1 ◦ ϕ2 ),
wobei Jy f die Jacobi-Matrix von f an der Stelle y bezeichnet. Also gilt
ϕ2
det((gij
(ϕ2 (p)))i,j ) = det Jϕ2 (p) (ϕ1 ◦ ϕ−1
2 )
SS 2015
2
det
ϕ1
gij
(ϕ1 (p))
i,j
.
Seite 17
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
Und nun liefert die Transformationsformel
Z
Z
−1 f ◦ (ϕ1 ◦ ϕ−1
dλm .
2 ) · det J (ϕ1 ◦ ϕ2 )
f dλm =
ϕ1 (A)
ϕ2 (A)
r
Und daraus folgt mit f (x) :=
det
ϕ1
(x) i,j dass
gij
Z
Z
q
q
ϕ1
ϕ1
−1
) dλm =
◦ (ϕ1 ◦ ϕ−1
det(gij
det gij
2 ) | det(J (ϕ1 ◦ ϕ2 ))| dλm
ϕ1 (A)
ϕ (A)
Z 2 q
ϕ2
=
)i,j ) dλm .
det((gij
2
ϕ2 (A)
28.4.
Einschub: Abzählbare Basis der Topologie
Erinnerung E.1. Sei (X, OX ) ein topologischer Raum, das heißt OX ist eine Topologie auf
X. Eine Basis der Topologie ist eine Menge B ⊂ OX so dass für alle U ∈ OX ein A ⊂ B existiert
S
mit U = V ∈A V .
Beispiel E.2. Eine Basis der Standardtopologie ORn auf Rn ist gegeben durch
B :=
n
o
Br (x) x ∈ Rn , r ∈ R+ .
BQ =
n
o
Br (x) x ∈ Qn , r ∈ Q+
Aber auch das System
ist eine Basis von ORn .
Dabei hat B die Mächtigkeit von R (das heißt es existiert eine Bijektion B −→ R), aber BQ ist
abzählbar. Das heißt Rn mit der Standardtopologie besitzt eine abzählbare Basis.
Bemerkung E.3. Ist B eine Basis eines topologischen Raumes (X, OX ) und Y ⊂ X habe die
Teilraumtopologie OY , dann ist BY := V ∩ Y V ∈ B eine Basis von OY .
Lemma 3.8. Ist M m ⊂ Rk eine Untermannigfaltigkeit, so besitzt M eine abzählbare Basis der
Topologie.
Beweis: Aus den obigen Überlegungen folgt, dass jeder topologische Unterraum von Rk (dh. jede
Teilmenge von Rk mit der von Rk induzierten Topologie) eine abzählbare Basis der Topologie
besitzt. Somit auch alle Untermannigfaltigkeiten.
2
Korollar 3.9. Sei {ϕi : Ui −→ Vi }i∈I ein Atlas einer Untermannigfaltigkeit M , dann gibt es
Seite 18
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.3
Längenmessung und Integration auf Untermannigfaltigkeiten
eine abzählbare Teilmenge J ⊂ I so dass M =
S
j∈J
Uj .
Insbesondere ist {ϕj : Uj −→ Vj }j∈J ein anzählbarer (Teil-)Atlas von M .
Beweis: Sei B eine abzählbare Basis der Topologie von M . Dann setze
B 0 :=
o
n
U ∈ B ∃i ∈ I : U ⊂ Ui .
Nun ist B 0 auch eine Basis der Topologie auf M .
Beweis:
Für jedes U ⊂◦ M und jedes i ∈ I gilt
U ∩ Ui =
| {z }
offen in M
[
V
für ein Ai ⊂ B.
V ∈Ai
Dann ist Ai ⊂ B 0 . Weiter gilt
U=
[
(U ∩ Ui ) =
S
i∈I
V =
i∈I V ∈Ai
i∈I
mit A :=
[ [
[
V
V ∈A
Ai ⊂ B 0 .
Wähle zu jedem U ∈ B 0 ein iU ∈ I mit U ⊂ UiU und setze J := iU U ∈ B 0 . Beachte, dass
mit B auch J ⊂ I abzählbar ist und wegen
M⊃
[
j∈J
folgt M =
S
j∈J
Uj =
[
U ∈B0
[
UiU ⊃
U =M
U ∈B0
2
Uj und damit die Behauptung.
Korollar 3.10. Sei M m eine Untermannigfaltigkeit und A ⊂ M messbar. Sei weiter A :=
{ϕi : Ui −→ Vi } ein Atlas. Dann gibt es eine abzählbare Teilmenge J ⊂ I und messbare Teilmengen
◦
S
Aj ⊂ Uj (mit j ∈ J) mit A =
Ai .
j∈J
ϕj
Beweis: Wähle einen abzählbaren Teilatlas A 0 = {Uj −→ Vj }j∈J von A . Es gelte Œ J = N
oder J = {1, . . . , `} ⊂ N. Definiere
A1 := A ∩ U1 ,
A2 := (A ∩ U2 ) \ A1 ,
Aq :=


(A ∩ Uq ) \ Sq−1 Ai
falls q ≤ `

∅
sonst.
i=1
Man sieht leicht, dass alle Ai messbar sind und das Gewünschte erfüllen.
SS 2015
2
Seite 19
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
Definition 3.11. In der Notation von Korollar 1.3.10 setze
µϕj (Aj ) :=
Z
q
ϕj (Aj )
ϕ
det grsj (•) rs dλm ∈ [0, ∞].
Dann ist
µM (A) :=
X
µϕj (Aj ) ∈ [0, ∞]
j∈J
das m-dimensionale Volumen von A ⊂ M .
Lemma 3.12. Sei M eine Untermannigfaltigkeit und A ⊂ M messbar. Dann ist µM (A) unabhängig von der Wahl des Atlanten und der Zerlegung in Aj .
Beweis: Schreibe A =
◦
S
Aj mit J ⊂ I abzählbar, A = {ϕi : Ui −→ Vi }i∈I und Ai ⊂ Ui .
j∈J
Schreibe andererseits A =
◦
S
j∈J˜
Bi mit J˜ ⊂ I˜ abzählbar und A˜ = {ψi : Wi −→ Zi }i∈I˜ mit
Bi ⊂ Wi .
Für (i, j) ∈ J × J˜ gilt Ai ∩ Bj ⊂ Ui ∩ Wj , also gilt nach Proposition 1.3.7 dass µϕ (Ai ∩ Bj ) =
µψ (Ai ∩ Bj ).
Rechne also:

X
µϕi (Ai ) =
i∈J
X
µϕi 
=
(Ai ∩ Bj ) =
j∈J˜
i∈J
XX

[
XX
µϕj (Ai ∩ Bj )
i∈J j∈J˜
µψi (Ai ∩ Bj ) = . . . =
j∈J˜ i∈J
X
µψi (Bj )
2
j∈J˜
Eigenschaften 3.13. Sei M m ⊂ Rk eine Untermannigfaltigkeit und {ϕi : Ui −→ Vi }i∈I ein
Atlas von M . Wähle Ai ⊂ Ui messbar mit M =
◦
S
Ai und Ai 6= ∅ gilt für höchstens abzählbar
i∈I
viele i ∈ I.
(i) Sei M (M ) :=
A ∈ M A messbar . Dann ist M (M ) eine σ-Algebra auf M und µM ist
ein vollständiges Maß auf M (M ).
(ii) M (M ) ist die Vervollständigung von der Borel-Algebra BM von M bzgl. µM . Das heißt in
M
der Notation von Analysis III gilt M (M ) = LµM .
(iii) Sei A ⊂ M . Dann ist A genau dann eine µM -Nullmenge, wenn für alle i ∈ I die Menge
ϕi (A ∩ Ui ) ⊂ Rm eine Nullmenge ist.
(iv) Ist N n ⊂ Rk eine Untermannigfaltigkeit mit N n ⊂ M m und n < m. Dann ist N eine Nullmenge in M .
Beispiel:
Seite 20
Seien Untermannigfaltigkeiten N 1 ⊂ M 2 ⊂ R3 gegeben. Dann ist N eine Null-
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.3
Längenmessung und Integration auf Untermannigfaltigkeiten
menge in M und in R3 und M ist eine Nullmenge in R3 , aber M ist keine Nullmenge in
M.
(v) Eine messbare Funktion f : M −→ R ist Lebesgue-integrierbar, wenn
(a) Für alle i ∈ I gilt
Z
q
f ◦ ϕ−1 det g ϕi (•) dλm < ∞.
i
ij
si :=
ϕi (Ai )
(b)
P
i∈I
si < ∞.
Ist f Lebesgue-integrierbar, dann gilt
Z
f dµM =
M
XZ
i∈I
ϕi (Ai )
q
ϕi
(f ◦ ϕ−1
i ) det grs (•) rs dλm .
wobei die Reihe wegen (b) absolut konvergiert.
(vi) Ist N m ⊂ R` eine Untermannigfaltigkeit und h : N −→ M eine Isometrie. Dann ist f : M −→
R genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn f ◦ h : N −→ R Lebesgue-integrierbar ist. In
diesem Fall gilt
Z
f dµM =
Z
M
Beweis: (iv)
(v)
(f ◦ h) dµN .
N
Siehe Übungsblatt 4, Aufgabe 4.
Vergleiche mit der Konstruktion des Lebesgue-Integrals in der Analysis III.
(Rest)
2
Leichte Übung!
Beispiel 3.14. Sei c : (a, b) −→ Rm eine glatte Kurve und ċ(t) 6= 0 für alle t ∈ (a, b) (dh.
c ist regulär). Außerdem sei c ein Homöomorphismus auf M := im(c). Also ist c eine globale
Parametrisierung von M 1 .
2
Es gilt g11 (t) = hċ(t), ċ(t)i = kċ(t)k , also
M
Z
µ (M ) =
q
p
det(gij (t)) = kċ(t)k und damit rechne
Z
det(gij (•)) dλ1 =
b
kċ(t)k dt = L (c).
a
(a,b)
Beispiel 3.15 (Ebene Kurven). Sei c : (a, b) −→ R2 wie in Beispiel 1.3.14. Dann ist
T(t) :=
SS 2015
ċ(t)
kċ(t)k
Seite 21
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
der Tangentialvektor von c an der Stelle c(t) bzw. t. Dies liefert eine Abbildung
T : (a, b) −→ S1 ⊂ R2 .
Weiter ist

0
N(t) := 
1

−1
 T(t)
0
der Normalenvektor an der Stelle t und es gilt
d
hT(t), T(t)i = 2 Ṫ(t), T(t) .
{z
}
dt |
0=
=1
Also gibt es eine glatte Funktion κc : (a, b) −→ R so dass
Ṫ(t) = κc (t) kċ(t)k N(t)
κc > 0
κc < 0
gilt. Dabei heißt 
κc die Krümmung
von c.

cos(ρ(t))
 für eine glatte Funktion ρ : (a, b) −→ R
Schreibe T(t) = 
sin(ρ(t))
Es gelten dann


− sin(ρ(t))
 = ρ̇(t) · N(t)
Ṫ(t) = ρ̇(t) 
cos(ρ(t))
ρ̇(t)
.
kċ(t)k
κc (t) =
Sei a < α < β < b dann gilt:
Z
M
κc dµ
Z
β
β
κc (t) kċ(t)k dt =
=
c([α,β])
Z
α
ρ̇(t) dt = ρ(β) − ρ(α).
α
Also ist das Integral über κc die Differenz der Winkel zur x-Achse modulo 2π.
1.4 Ableitung von Funktionen und Vektorfeldern
5.5.2015
Es sei C ∞ (M ) := C ∞ (M, R).
Definition 4.1. Die Abbildung
df : M −→
[
T∗p M
p∈M
p 7−→ dp f
Seite 22
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.4
Längenmessung und Integration auf Untermannigfaltigkeiten
heißt das Differential von f .
Schreibe ∂X f := ( dp f )(X) für die Ableitung von f in Richtung X ∈ Tp M .
Schreibweise:
Bemerkung. Ist c : (−ε, ε) −→ M mit c(0) = p ∈ M, ċ(0) = X dann gilt
d (f ◦ c) = dc(t) f (ċ(0)) = ∂ċ(0) f = ∂X f.
dt t=0
Ist Y ∈ X(M ) ein Vektorfeld auf M und f ∈ C ∞ (M ), dann ist
∂Y f : M −→ R,
p 7−→ ∂Yp f
eine glatte Funktion. Also ist ∂Y ∈ End C ∞ (M ) mit
∂f1 Y f2 = f1 ∂Y f2
∂Y (f1 · f2 ) = ∂Y f1 f2 + f1 (∂Y f2 )
(1.4.1)
(1.4.2)
für alle f1 , f2 ∈ C ∞ (M ), Y ∈ X(M ). Die Gleichung (1.4.2) heißt Produktregel.
t
Sei ϕ : U −→ V ⊂◦ Rm eine Karte von M . Schreibe ϕ = ϕ1 , . . . , ϕm . Dann gilt
∂Xiϕ (f ) (p) = ( dp f ) Xiϕ p = ( dp f ) dϕ(p) (ϕ−1 )(ei ) = dϕ(p) (f ◦ ϕ−1 )(ei )
∂(f ◦ ϕ−1 ) .
= (f ◦ ϕ−1 )0 (ϕ(p)) · ei =
∂xi
ϕ(p)
(1.4.3)
Anschaulich in Worten ausgedrückt: ∂Xiϕ ist — in Koordinaten ausgedrückt — gleich der partiellen
Ableitung in die i-te Richtung. Später (siehe Lemma 5.2 in Kapitel 2) wird gezeigt, dass die
Abbildung X(M ) → End(C ∞ (M )), X 7−→ ∂X injektiv ist, und man identifiziert dann X mit ∂X . Mit
dieser Identifikation ist also — in Koordinaten ϕ ausgedrückt — Xiϕ gleich der partiellen Ableitung
in die i-te Richtung, und dies erklärt die Schreibweise ∂ i für X ϕ , die in Beispiel 1.13 eingeführt
∂ϕ
p
i
p
i
wurde, denn ϕ ist ja die i-te Variable. Manche Bücher nutzen den Buchstaben x als Bezeichnung
für Karten an Stelle von ϕ, dann wird der Bezug zur partiellen Ableitung noch deutlicher.
Der Satz von Schwarz impliziert
∂ 2 (f ◦ ϕ−1) ϕ
ϕf
∂Xjϕ ∂Xiϕ f =
=
∂
∂
Xi
Xj
∂xj ∂xi
ϕ(p)
Warnung:
SS 2015
Im Allgemeinen gilt ∂X ∂Y 6= ∂Y ∂X .
Seite 23
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
Ist ϕ : U −→ V ⊂◦ Rm eine Karte mit ϕ = ϕ1 , . . . , ϕm
dp ϕi Xjϕ p = dp ϕi dϕ(p) (ϕ−1 )(ej )
Kette
=
t
mit ϕi ∈ C ∞ (U ). Dann gilt
(∗)
dϕ(p) (ϕi ◦ ϕ−1)(ej ) = π i (ej ) = δij .
Es gilt ϕi ◦ ϕ−1 x1 , . . . , xm )t = xi =: π i (x).
ϕ
bilden eine Basis von Tp M und die Differentiale dp ϕ1 , . . . , dp ϕm
Die Vektoren X1ϕ p , . . . , Xm
p
Zu (∗):
bilden die dazu duale Basis von T∗p M .
Erinnerung E.4. Ist V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum mit Basis b1 , . . . , bn . Dann
existiert im Dualraum V ∗ := HomR (V, R) eine dazu duale Basis b1∗ , . . . , bn∗ definiert durch bi∗ (bj ) :=
δij .
Lemma 4.2. Ist ϕ : U −→ V eine Karte von M m und Y ∈ X(M ). Dann ist
dϕi (Y ) : U −→ R
| {z }
=∂Y |U ϕi
q 7−→ dq ϕi Y q = ∂Y |q ϕi
glatt, also dϕi (Y ) ∈ C ∞ (U ).
Beweis: Nach möglicher Verkleinerung von U und V gibt es eine zu ϕ passende UntermannigfaltigkeitsKarte Φ : W −→ V̂ das heißt es gibt W ⊂◦ Rk , V̂ ⊂◦ Rk und einen Diffeomorphismus Φ : W −→ V̂
mit
• W ∩ M = U und V̂ ∩ Rm × {0} = V × {0},
• q∈U
⇐⇒
 
ϕ
• Φ U =   .
0
Φ(q) ∈ V × {0},
Rechne nun ( dp ϕi ) Y p = (Φi )0 (p) · Y p .
Die Abbildung
(id, Y ) : M −→ TM :=
[
{p} × Tp M ⊂ R2k
p∈M
q 7−→ q, Y q ∈ {q} × Tq M
ist glatt von M nach R2k . Damit ist auch die Funktion
(Φi )0 : W × Rk −→ R,
Seite 24
(q, X) 7−→ (Φi )0 (q) · X
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.4
Längenmessung und Integration auf Untermannigfaltigkeiten
glatt und damit auch die Komposition
U
(Φi )0
(id,Y )|U
−→ TU −→ R.
2
Korollar 4.3. Seien Y und ϕ wie in Lemma 1.4.2. Dann gilt
m
m
X
X
ϕ
i
Y U =
dϕ (Y ) Xi =
(∂Y ϕi )Xiϕ .
| {z } |{z}
i=1
i=1
∈C ∞ (U ) ∈X(U )
Pm
Beweis: Sei p ∈ U . Dann schreibe Y p = i=1 ai Xiϕ p für ai ∈ R. Dann gilt
m
X
dp ϕi Y p =
aj ( dp ϕi )(Xjϕ p ) = ai .
{z
}
|
j=1
2
=δij
Bemerkung 4.4. Sei M m eine Untermannigfaltigkeit des Rk . Dann ist
TM :=
[
({p} × Tp M ) ⊂ R2k
p∈M
das Tangentialbündel. Es ist eine 2m-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R2k . Eine Abbildung
f ∈ C r (M, N ) induziert eine Abbildung df ∈ C r−1 TM, TN .
Definition 4.5. Sei M m ⊂ Rk eine Untermannigfaltigkeit und Tp M der Tangentialraum von
M im Punkt p. Setze Np M := (Tp M )⊥ = X ∈ Rk X ⊥ Tp M als den Normalraum von M in
Rk im Punkt p.
Die Orthogonalprojektionen πpT : Rk −→ Tp M und πpN : Rk −→ Np M nennt man die Tangentialund Normalprojektionen.
Für X ∈ Rk gilt
X = πpT (X) + πpN (X)
mit πpT (X) ⊥ πpN (X).
Sei nun Y ∈ X(M ) und η ∈ Tp M für p ∈ M . Die (innere) Ableitung (auch kovariante Ableitung)
von Y in Richtung η ist definiert durch
∇η Y := πpT
dp Y (η) = πpT (∂η Y ).
Hierbei ist ∂η Y so zu verstehen, dass man in jeder Komponente von Y die obige Definition von ∂η
anwendet.
SS 2015
Seite 25
8.5.
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
Ist Z ∈ X(M ), dann ist die Abbildung
∇Z Y : M −→
[
Tp M
p∈M
p 7−→ ∇Z|p Y
glatt.
Für η ∈ Tp M ist ∇η Y ∈ Tp M , für Z ∈ X(M ) ist ∇Z Y ∈ X(M ).
Bemerkung 4.6 (Lokale Formeln). Sei ϕ : U −→ V eine Karte, Y, η, ∇ wie oben. Definiere
glatte Funktionen Γsij : V −→ R (die Christoffel-Symbole) durch
X(U ) 3 ∇Xiϕ Xjϕ =
m
X
Γsij ◦ ϕ Xsϕ
s=1
das heißt
Γsij :
V → R,
x 7−→
Γsij (x)
s
= dϕ−1 (x) ϕ
∇
Xiϕ
Xjϕ ϕ−1 (x)
ist in C ∞ (V ). Schreibe Y ∈ X(M ) als
m
X
Y p =
Y j (p) Xjϕ p
(1.4.3)
j=1
für alle p ∈ U . Dann ist wegen Korollar 4.3 Y j ∈ C ∞ (U ). Da es etwas aufwändig ist, in Gleichungen
wie (1.4.3) immer überall p hinzuzufügen, betrachtet man in Gleichung (1.4.3) Y j als Funktion
C ∞ (U ) und X(U ) als C ∞ (U )-Modul, dann hat man die einfachere Formel:
Y =
m
X
Y j Xjϕ ,
j=1
was dann eben konkret so zu lesen ist, dass überall wie oben p zu ergänzen ist, und es dann für
Pm
alle p ∈ U zu gelten hat. In derselben Art und Weise schreibt man dann X = i=1 X i Xiϕ mit
Seite 26
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.4
X i ∈ C ∞ (U ). Weiter sei η =
Pm
i=1
Längenmessung und Integration auf Untermannigfaltigkeiten
η i Xiϕ p ∈ Tp M . Dann gilt:


∇η Y = πpT (∂η Y ) = πpT ∂P
i
=
=
m
X
i,j=1
m
X
X
η i Xi |p
Y j Xjϕ 
j
m
(1.4.2) X
j
∂Xiϕ |p Xjϕ
η i πpT ∂Xiϕ |p (Y j Xjϕ )
=
η i πpT ∂Xiϕ |p Y j Xjϕ p + Y(p)
i,j=1
ηi
i,j=1
=∇X ϕ |p Xj =
i
=
m
X

m
X

`=1
η i (∂Xi |p Y ` ) +
i=1
m
X
πpT (∂Xiϕ |p Xjϕ )
|
{z
}
Pm k
ϕ
∂Xiϕ |p Y j Xjϕ p + Y j (p)
k=1
(Γij ◦ϕ)Xkϕ p

η i Y j (p)(Γ`ij ◦ ϕ(p)) X`ϕ p
i,j=1
Also folgt:
∇x Y =
m
X


m
m
X
X

X i ∂Xi Y ` +
X i Y j (Γ`ij ◦ ϕ) X` .
`=1
i=1
i,j=1
Einsteinsche Summenkonvention
Taucht in einem Ausdruck derselbe Index oben und unten auf, so wird über diesen Index summiert.
Steht die Größe im Nenner, so invertiert sich die Stellung von „oben“ und „unten“. Abgekürzt wird
dies mit (ESK) abgekürzt.
Wie in Beispiel 1.13 bereits eingeführt wird ab jetzt zumeist die Notation
∂
∂ϕi
für Xiϕ – um Ver-
wechslungen mit X i zu vermeiden – verwendet. Schreibe zudem kurz ∂i für ∂Xiϕ = ∂
∂
∂ϕi
.
Damit lautet die obige Formel:
∇X i
∂
∂ϕi
Yj
∂
∂ϕi
= X i (∂i Y ` ) + X i Y j (Γ`ij ◦ ϕ)
∂
.
∂ϕ`
Sei nun α := ϕ−1 : V −→ U ⊂ M m ⊂ Rk eine Parametrisierung. Dann:
∂ Def ϕ ∂α =
X
=
(
d
α)e
=
i
ϕ(p)
i
p
∂ϕi p
∂xi ϕ(p)
und
∂i
SS 2015
∂ Def
∂
∂α
∂
∂α
=
∂
=
∂
◦
ϕ
=
◦ϕ
∂
∂
∂ϕi ∂ϕj
∂ϕi
∂ϕj
∂xj
∂xi ∂xj
2
2
∂ α
∂ α
∂
Schwarz
◦
ϕ
=
◦ ϕ = ∂j i
=
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
∂ϕ
Seite 27
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
Weiter:
∇
∂
∂ϕi
∂
∂
∂
∂
T
T
= πp ∂i j = πp ∂j i = ∇ ∂ j
∂ϕ ∂ϕi
∂ϕj
∂ϕ
∂ϕ
Und damit schließlich:
Γsij
◦ ϕ = dϕ ∇
s
∂
∂ϕi
∂
∂ϕj
= dϕ ∇
s
∂
∂ϕj
∂
∂ϕi
= Γsji ◦ ϕ
=⇒
Γsij = Γsji .
cm Untermannigfaltigkeiten des Rk und
Bemerke zudem, dass ∇ lokal ist, das heißt seien M m , M
b Yb ∈ X(M̂ ). Dann existiert ein W ⊂◦ Rk mit M ∩ W = M
c ∩ W und
X, Y ∈ X(M ), sowie X,
X
M ∩W
b ≡X
b ∩W
M
,
Y
M ∩W
≡ Yb b ∩W
M
.
Dann gilt
∇X Y M ∩W
b = ∇X
Y
b
b ∩W
M
.
Eigenschaften 4.7. Die innere Ableitung erfüllt für f ∈ C ∞ (M ), Y, Z ∈ X(M ), X, X1 ∈ Tp M
oder X, X1 ∈ X(M ), α ∈ R:
(i) ∇f X Y = f ∇X Y und ∇X+X1 Y = ∇X Y + ∇X1 Y .
(C ∞ (M )-Linearität im 1. Argument)
Das heißt X 7−→ ∇X Y ist ein C ∞ (M )-Modulhomomorphismus.
(ii) ∇X (Y + Z) = ∇X Y + ∇X Z.
(Additivität im 2. Argument)
Zusammen mit ∇X (αY ) = α∇X Y ergibt sich die R-Linearität im 2. Argument, das heißt
Y 7−→ ∇X Y ist eine R-lineare Abbildung.
(iii) ∇X (f Y ) = (∂X f )Y + f ∇X Y .
(iv) ∇
∂
∂ϕi
∂
∂ϕj
=∇
∂
∂ϕj
∂
∂ϕi
für alle i, j ∈ {1, 2, . . . , m} und alle Karten ϕ.
(v) ∂X hY, Zi = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi.
Beweis: ((i))
(Produktregel I)
(Torsionsfreiheit)
(Produktregel II)
Rechne
∇f (p)X|p Y = πpT ∂f (p)X|p Y = πpT f (p)∂X|p Y = f (p)πpT ∂X|p Y = f (p)∇X|p Y.
((ii))
Klar.
((iii))
∇X (f Y ) = π T (∂X (f Y )) = π T ((∂X f )Y + f ∂X Y ) = (∂X f )Y + f π T (∂X Y ) = (∂X f )Y + f ∇X Y.
Seite 28
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.4
((iv))
Längenmessung und Integration auf Untermannigfaltigkeiten
Oben gezeigt.
((v))
∂X hY, Zi = h∂X Y, Zi + hY, ∂X Zi = π T (∂X Y ), Z + Y, π T (∂X Z) = h∇X Y, Zi + hY, ∇X Zi .
Notation. Setze Γij` (y) :=
D
∂
∂ , ∇ ∂ i |p ∂ϕ
j
∂ϕ` p
∂ϕ
1
2
E
für p = ϕ−1 (y), genannt Christoffel-Symbole
mit gesenktem Index.
Lemma 4.8. Es gilt Γij` =
∂gj`
∂xi
+
∂gi`
∂xj
−
∂gij
∂x`
.
Beweis: Nach Eigenschaften 1.4.7 gilt Γij` = Γji` . Rechne nun:
∂
∂gj`
∂
∂
∂
∂
−1
−1
=
◦ϕ ,
◦ϕ
,
= ∂ ∂i
◦ ϕ−1
∂ϕ
∂xi
∂xi ∂ϕj
∂ϕ`
∂ϕj ∂ϕ`
∂
∂
∂
∂
4.7
−1
,
, ∇ ∂i
= ∇ ∂i
◦ϕ +
◦ ϕ−1 = Γij` + Γi`j
∂ϕ ∂ϕj
∂ϕ ∂ϕ`
∂ϕ`
∂ϕj
Und weiter
∂gi`
= Γji` + Γj`i = Γij` + Γj`i
∂xj
∂gij
= Γi`j + Γ`ji = Γi`j + Γj`i
∂x`
Also erhält man zusammen die Behauptung:
∂gj`
∂gi`
∂gij
+
−
= 2Γij` .
∂xi
∂xj
∂x`
2
Notation. Sei wieder ϕ : U −→ V eine Karte und gij = gijϕ . Es bezeichne (gij (x))ij die Matrix
ij
j`
(gij (x))−1
ij für x ∈ V . Also gilt g (x)gj` (x) = δi` und gij (x)g (x) = δi` .
Es ergibt sich also
Γij` ◦ ϕ =
∂
∂
, ∇ ∂i
`
∂ϕ ∂ϕj
∂ϕ
=
∂
∂
, (Γsij ◦ ϕ) s
`
∂ϕ
∂ϕ
= (Γsij ◦ ϕ)(g`s ◦ ϕ)
Dies ist äquivalent zu
Γij` = Γsij g`s
⇐⇒
Γrij = g `r Γij`
Und schließlich:
SS 2015
Seite 29
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
Korollar 4.9.
Γsij
1
= g s`
2
∂gj`
∂gij
∂gi`
+
−
∂xj
∂xi
∂x`
.
(1.4.4)
Bemerkung. Die rechte der Seite der Gleichung (1.4.4) ist intrinsisch definiert, das heißt sie
hängt nur von den Funktionen gij ab. Unter der inneren Geometrie einer Untermannigfaltigkeit
versteht man Strukturen und Eigenschaften, die unter Isometrien invariant sind. Mit dem unten
stehenden Korollar folgt also, dass die innere Ableitung zur inneren Geometrie gehört. Dies ist
erstaunlich, denn die Definition der inneren Ableitung nutzt auch extrinsiche Strukturen, d. h.
solche, die nicht durch gij ausdrückbar sind, nämlich die Ableitung ∂X Y im umgebenden Raum
oder die Orthogonalprojektion π T . Es ist gar nicht definierbar, was es heißen soll, dass ∂X Y und
π T unter Isometrien invariant sind. Es sind keine Objekte der inneren Geometrie.
12.5.
Korollar 4.10. Ist f : M m −→ M̂ m eine Isometrie und X, Y ∈ X(M ). Dann gilt
X̂ p = df −1 (p) f (X f −1 (p) ),
Ŷ p = df −1 (p) f (Y f −1 (p) )
für alle p ∈ M und
∇X̂ Ŷ p = df −1 (p) f ∇X Y f −1 (p)
∀p ∈ M.
Das heißt die kovariante (= innere) Ableitung bleibt unter Isometrien erhalten.
Bemerkung. Als Merkregel, wie im obigen Korollar und an vielen weiteren Stellen der Vorlesung X mit X̂ verbunden ist, schreibt man es als Diagramm wie folgt:
TM
O
„ df “
„X“
M
„X̂“
f
(p, v) / TM̂
O
/ M̂
/ f (p), dp f (v)
(p, X|p )
O
(id,X)
(p̂, X̂|p̂ )
O
_
p̂
_
p
p
f
(id,X̂)
/ f (p)
Wir schreiben hier „X“, da die Abbildung ja eigentlich gar nicht X sondern eine etwas andere
ist, nämlich die Abbildung (id, X) : x 7−→ (x, X(x)) bei der man noch ein zusätzliches x im Bild
bewahrt. In ähnlicher Form schleppen bei „ df “ und „X̂“ noch ein x mit. So erhält das linke
Diagramm eine einfachere Form. Auf abstrakten Mannigfaltigkeiten M (siehe Kapitel 2) sind Tp M
und Tq M disjunkt, falls p 6= q, somit erhält man dann zum Beispiel genau das linke (einfache)
Diagramm. Man sagt auch X ist f -verwandt mit X̂. Das Korollar 1.4.10 sagt also: Ist X mit X̂
Seite 30
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.5
Hyperflächen
f -verwandt, und Y mit Ŷ f -verwandt, dann ist auch ∇X Y f -verwandt mit ∇X̂ Ŷ .
Beweis (Korollar 1.4.10): Sei ϕ : U −→ V eine Karte von M . Dann ist ϕ̂ := ϕ◦f −1 : f (U ) −→ V
eine Karte von M̂ .
ϕ
ϕ̂
Da f eine Isometrie ist, gilt gij
= gij
und damit Γij` = Γ̂ij` also folgt Γkij = Γ̂kij .
2
1.5 Hyperflächen
Definition 5.1. Sei M m ⊂ Rk eine Untermannigfaltigkeit. Man nennt M eine Fläche, falls
m = 2. Gilt k = m + 1, so heißt M eine Hyperfläche.
Beispiel 5.2. Die m-Sphäre Sm ⊂ Rm+1 ist eine Hyperfläche.
In diesem Abschnitt gilt k = m + 1 und somit dim(Np M ) = 1, außer wenn explizit anders
angegeben.
Definition 5.3. Sei U ⊂◦ M . Ein (auf U definiertes) lokales Einheitsnormalenfeld (kurz: lokales
ENF) ist eine stetige Abbildung
ν : U −→ Sm ,
p 7−→ ν p ,
so dass ν p ∈ Np M für alle p ∈ U .
Ein Einheitsnormalenfeld (kurz: ENF) ist ein auf ganz M definiertes lokales Einheitsnormalenfeld.
Beispiel 5.4. Sei ϕ : U −→ V eine Karte von M , α := ϕ−1 : V −→ U ⊂◦ M ⊂ Rm+1 . Dann ist
∂ ∂ϕi α(x)
=
∂α ∂xi x
und somit ist
∂α ∂α ∂x1 x , . . . , ∂xm x
eine Basis von Tα(x) M .
Sei Y α(x) der Vektor mit
D E
∂α ∂α Y α(x) , v = det
,
.
.
.
,
,
v
∂x1 x
∂xm x
∀v ∈ Rm+1 .
Die Abbildung
det
∂α ∂α ,
.
.
.
,
,•
∂x1 x
∂xm x
: Rm+1 −→ R
ist linear. Sei β ∈ R1×(m+1) die zugehörige Matrix. Dann gilt
Y α(x) = β t ∈ Rm+1 .
SS 2015
Seite 31
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
Formel: Sei sgn(σ) das Signum von σ ∈ Sm+1 := Perm{1, . . . , m + 1}. Dann
∂ασ(1)
∂ασ(m)
·
·
·
eσ(m+1)
∂x1
∂xm
σ∈Sm+1


e1




e2 
 ∂α
∂α
m+1

.
= „ det “ 
,
.
.
.
,
,
..  ∈ R
 ∂x1
m
∂x


.


em+1
Y α(x) =
X
sgn(σ)
Hierbei bedeutet „ det “, dass die übliche polynomiale Formel für die Determinante einer (m + 1) ×
(m + 1)-Matrix auf den Ausdruck in der Klammer angewandt wird, obwohl der Ausdruck in der
gar keine (m + 1) × (m + 1)-Matrix ist, denn in der letzten Spalte stehen Vektoren an Stelle von
∂α Skalaren. Es gilt stets Y α(x) ⊥ ∂x
für alle 1 ≤ i ≤ m.
i
x
∂α Da die ∂x
linear
unabhängig
sind,
gilt
Y
=
6
0.
Außerdem
gilt
Y
∈ Nα(x) M .
i
x
α(x)
α(x)
Die Abbildung
x 7−→ Y α(x)
ist glatt.
Definiere nun ein lokales Einheitsnormalenfeld durch
m
ν : U −→ S ,
Y p
ν p := Y .
p
Dieses Einheitsnormalenfeld ist glatt.
Betrachte nun die Spezialfälle m ∈ {1, 2}:
Für m = 1 sei α : I −→ α(I) ⊂ R2 eine Kurve mit I = (a, b). Rechne

Y ◦ α = det 
α˙1
α˙2

 

−α˙2
0 −1
 = α˙1 e2 − α˙2 e1 = 
=
 α̇.
e2
α˙1
1 0
e1

Also gilt
Y α(t) = kα̇(t)k ,
α̇(t)
Tα (t) =
,
kα̇(t)k

0
Nα (t) = 
1

−1
 Tα (t).
0
Das heißt ν α(t) = Nα (t).
Seite 32
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.5
Hyperflächen
◦ V −→ U ⊂ R3 . Dann rechne
Für m = 2 sei α : R2 ⊃

e1

 ∂α ∂α

∂α
∂α


Y ◦ α = det  1 , 2 , e2  =
×
.
∂x2
 ∂x ∂x
 ∂x1
e3
Damit ist ein lokales Einheitsnormalenfeld gegeben durch
∂α
1 ×
ν = ∂x
∂α1 ×
∂x
∂α
∂x2 .
∂α ∂x2
Sind ν : U −→ Sm und ν̂ : Û −→ Sm zwei lokale Einheitsnormalenfelder von M . Dann definiere
D E
ε : U ∩ Û −→ R mit ε(p) = ν p , ν̂ p . Dann gilt ε(p) ∈ {±1}, denn aus ν p , ν̂ p ∈ Np M folgt
ν p = ±ν̂ p . Also ist ε lokal konstant (da ε stetig). Insbesondere ist ε glatt. Es gilt übrigens ν̂ = εν.
Proposition 5.5. Jedes (stetige) lokale Einheitsnormalenfeld ist glatt.
Beweis: . Sei ν̂ ein auf Û definiertes lokales Einheitsnormalenfeld.
Zeige Glattheit von ν̂ auf einer Umgebung von p ∈ Û . Sei ϕ : U −→ V eine Karte von M mit
p ∈ U . Konstruiere ein lokales Einheitsnormalenfeld ν wie in Beispiel 1.5.4. Dann ist ν : U −→
Sm glatt und ν̂ = ε · ν
.
2
U ∩Û
U ∩Û
Bemerkung 5.6. Nicht jede Hyperfläche besitzt ein (auf ganz M definiertes) Einheitsnormalenfeld. Betrachte zum Beispiel das Möbiusband:
Später wird der Begriff einer Orientierung von M definiert. Dann wird man sehen, dass eine
Hyperfläche M genau dann orientierbar ist, wenn M ein (auf ganz M definiertes) Einheitsnormalenfeld besitzt.
Im restlichen Teil dieses Abschnitts wird angenommen, dass M ein Einheitsnormalenfeld ν besitzt
(außer explizit anders angegeben).
Definition 5.7. Sei M m ⊂ Rm+1 eine Hyperfläche. Dann ist die Weingarten-Abbildung von
SS 2015
Seite 33
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
(M, ν) in p ∈ M definiert als
Wp (X) = −∂X ν ∈ Rm+1
∀X ∈ Tp M.
Lemma 5.8. Es gilt Wp (X) ∈ Tp M . Also gilt Wp ∈ End(Tp M )=T
ˆ ∗p M ⊗ Tp M .
Beweis: Differenziere 1 = hν, νi ∈ C ∞ (M ) und erhalte
0 = ∂X hν, νi = h∂X ν, νi + hν, ∂X νi = 2 h∂X ν, νi .
2
Also gilt ∂X ν ⊥ ν.
Definition 5.9. Sei M m ⊂ Rm+1 eine Hyperfläche und ν ein Einheitsnormalenfeld auf M .
Dann ist die 2. Fundamentalform (2. FF) die Abbildung
(X, Y ) 7−→ ν, ∂X Ỹ
IIp : Tp M × Tp M −→ R,
wobei Ye ein auf einer Umgebung von p definiertes Vektorfeld mit Ye p = Y gilt.
Dabei ist IIp bilinear, also IIp ∈ T∗p M ⊗ T∗p M .
Proposition 5.10. IIp (X, Y ) hängt nicht von der Wahl von Ye ab und es gilt
IIp (X, Y ) = IIp (Y, X) = hWp (X), Y i = hX, Wp (Y )i .
Das heißt Wp ist selbstadjungiert und symmetrisch.
∂
Beweis (mit ESK): Sei ϕ : U −→ V eine Karte, α := ϕ−1 und x := ϕ(p). Schreibe Ye = Ye j ∂ϕ
j
mit Ye j ∈ C ∞ (U ).
Dann gilt
Y = Ye j (p)
∂ ,
∂ϕj p
X = Xi
∂ .
∂ϕi p
Rechne damit
∂X Ye = X i ∂
∂ i
∂ϕ
p
∂
Ye j j
∂ϕ
= Xi
∂
Dann πpN (∂X Ye ) = X i Ye j (p)πpN ∂i ∂ϕ
und mit
j
∂
∂i j =
∂ϕ
Seite 34
∂
∂xi
∂
∂ϕj
∂i Ye j
=
∂
e j ∂i ∂
+
Y
.
∂ϕj
∂ϕj p
∂α
∂xj
◦ ϕ schließlich
∂α
∂2α
−1
◦
ϕ
◦
ϕ
◦
ϕ
=
◦ ϕ.
∂xj
∂xi ∂xj
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.5
Hyperflächen
Damit
πpN (∂X Ye )
i e j
=X Y
πN
p p
∂ 2 α ∂xi ∂xj x
D
E
Also ist IIp (X, Y ) = ν, πpN (∂X Ye ) unabhängig von der Wahl von Ye .
Der Satz von Schwarz liefert
πpN
∂2α
∂xi ∂xj
=
πpN
∂2α
∂xj ∂xi
IIp (X, Y ) = IIp (Y, X).
=⇒
Definiere noch die Koordinatendarstellung der 2. Fundamentalform als
hij (x) := IIp
∂ ∂ ,
i
p
∂ϕ
∂ϕj p
=
∂ 2 α .
,
ν
∂xi ∂xj x p
e ) (mit U
e ⊂◦ M ) gilt
Für X ∈ Tp M und Ye ∈ X(U
D
E D
E
D E
E D 0 = ∂X Ye , ν = ∂X Ye , ν p + Ye p , ∂X ν = IIp (X, Y ) − Ye p , Wp (X) .
| {z }
=0
2
Also gilt hY, Wp (X)i = IIp (X, Y ).
Bemerkung 5.11. Schreibe W
hij = II
∂
∂
,
∂ϕi ∂ϕj
∂
∂ϕi
=
j
∂
∞
= Wij ∂ϕ
(V ) und
j , Wi ∈ C
∂
,W
∂ϕi
∂
∂ϕj
=
∂
∂
, Wj` `
∂ϕi
∂ϕ
= Wj` gi` .
Also gilt Wj` = g `s hsj .
Notation 5.12. Ist ϕ : U → V eine Karte. Wird in Zukunft eine Gleichung wie
(∗)
W
∂
∂ϕi
= Wij
∂
∂ϕj
geschrieben, die etwas in Koordinaten beschreibt, so sind die Funktionen und Vektorfelder in p
oder in x = ϕ(p) auszuwerten, je nachdem es auf U oder V definiert ist.
Zum Beispiel sind gij , hij und Wij auf V definiert, hingegen sind
∂
∂ϕi
und W auf U definiert. Das
∂ ∂ heißt mit der Gleichung (∗) ist genau genommen das folgende gemeint: Wp ( ∂ϕ
) = Wij (x) ∂ϕ
i
j
p
p
mit x = ϕ(p).
Die Notation hat zwei Vorteile: Zum einen ist sie kürzer und Informationen, die für einen erfahreneren Mathematiker redundant sind, werden unterdrückt. Zum anderen gibt es so manche Objekte,
die in einem Teil der Literatur auf U definiert sind und in anderen Quellen auf V . Durch obige
Notation sind die Formeln unabhängig von der gewählten Konvention.
SS 2015
Seite 35
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
15.5.
Bemerkung 5.13. Sei M m ⊂ Rk mit k ≥ m beliebig und X, Y ∈ Tp M . Dann ist die vektorwertige 2. Fundamentalform definiert als
~IIp (X, Y ) = π N (∂X Ỹ )
p
wobei Ỹ eine Erweiterung von Y zu einem lokal definierten Vektorfeld ist.
Analog zu oben zeigt man, dass ~IIp (X, Y ) unabhängig von Ỹ ist und dass ~IIp (X, Y ) = ~IIp (Y, X).
Falls k = m + 1 gilt und ν ein Einheitsnormalenfeld auf M ist, so gilt
~IIp (X, Y ) = IIp (X, Y ) · ν.
Vorteil: ~IIp ist für alle Untermannigfaltigkeiten definiert.
Es gilt
IIp : Tp M × Tp M −→ R,
~IIp : Tp M × Tp M −→ Np M,
IIp ∈ T∗p M ⊗ T∗p M
~IIp ∈ T∗ M ⊗ T∗ M ⊗ Np M.
p
p
Wegen Wp∗ = Wp (also da Wp selbstadjungiert ist), folgt aus Linearer Algebra, dass Wp diagonalisierbar ist.
Definition 5.14. Sei M m ⊂ Rk .
(i) Gilt k = m + 1 und existiere ein Einheitsnormalenfeld ν.
(a) Die Eigenvektoren von Wp nennt man die Hauptkrümmungsrichtungen von M (in Rm+1 )
im Punkt p. Die Eigenwerte heißen Hauptkrümmungen.
(b) Die Abbildung p 7−→
1
m
Tr(Wp ) =: Hp nennt man die mittlere Krümmung.
Das heißt es gilt mHp = Tr(Wp ) = g ij hij und damit H ∈ C ∞ (M ).
(ii) Gilt k = 3 und m = 2 und sei ν ein lokales Einheitsnormalenfeld. Dann heißt die Abbildung
p 7−→ Kp := det(Wp ) die Gauß-Krümmung. Es ist eine glatte Funktion.
Seien ν : U −→ S2 und ν̂ : Û −→ S2 lokale Einheitsnormalenfelder. Dann gilt für p ∈ U ∩
Û dass ν U ∩Û = ±ν̂ U ∩Û und damit Wpν = ±Wpν̂ , also det(Wpν ) = det(Wpν̂ ). Die GaußKrümmung hängt also gar nicht davon ab, welches lokale Einheitsnormalenfeld benutzt wird,
um sie zu definieren. Da jeder Punkt in M im Definitionsbereich einer Karte liegt, gibt es ein
um ihn definiertes Einheitsnormalenfeld. Somit ist die Gauß-Krümmung auf M definiert.
Seite 36
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.5
Hyperflächen
Es gilt dabei:
Kp = det(g i` h`j )ij = det(g i` )i` det(h`j )`j =
det(hij )ij
.
det(gij )ij
(iii) Sei k ≥ m beliebig und sei e1 , . . . , en eine Orthonormalbasis von Tp M . Dann setze
m
X
~IIp (ei , ei )
~ p := 1
H
m i=1
als das mittlere Krümmungsnormalenfeld.
Dabei gilt
~ p = 1 g ij πpN
H
m
∂2α
∂xi ∂xj
.
Beispiel 5.15. Betrachte den Zylinder



 cos(t)





M =  sin(t) 





z





z, t ∈ R .




∂
∂z
∂
∂t
∈
/ im(ϕ−1 )
ˆ ∈ (0, 2π) und ϕ2 =z
ˆ ∈ R also ist
Dann ist ϕ1 =t


− sin(t)


∂
∂


=
=


cos(t)
∂ϕ1
∂t 

0
das 1. Koordinatenvektorfeld und das 2. Koordinatenvektorfeld ist gegeben durch
 
0
 
∂
∂
 
=
= 0 .
∂ϕ2
∂z  
1
SS 2015
Seite 37
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten

cos(t)




=  sin(t) . Also


0

Damit ergibt sich gij = δij . Es ist ν :=
∂
∂t
×
∂
∂z

 

− sin(t)
cos(t)

 
∂
d 

 

=  cos(t)  =
∂∂ ν =


sin(t)
∂t
dt 
 ∂t
 
0
0


cos(t)

d 


∂∂ν=
=0

sin(t)
∂z
dz 

0
Also ergibt sich
Wp
Damit folgt, dass
∂
∂t
und
∂
∂z
∂
∂t
=−
∂
,
∂t
Wp
∂
∂z
= 0.
die Hauptkrümmungsrichtungen sind, dass die Hauptkrümmungen −1
und 0 sind und dass damit H = − 12 und K = 0 gilt.
Beispiel 5.16 (zu Bemerkung 1.5.13). Sei m = 1, k ≥ m und c : (a, b) −→ M eine Parametrisierung mit ċ(t) 6= 0.
Angenommen c((a, b)) = M , dann ist Tc (t) =
ċ(t)
kċ(t)k
eine Basis von Tc(t) M . Dann ist ċ◦c−1 ∈ X(M )
eine Erweiterung von ċ(t0 ) ∈ Tc(t0 ) M . Dann rechne
−1
N
~IIc(t ) ċ(t0 ), ċ(t0 ) = π N
) = πc(t
c(t0 ) ∂ċ(t0 ) (ċ ◦ c
0
0)
d −1
N
(ċ ◦ c ◦ c = πc(t
(c̈(t0 ))
0)
dt t=t0
Falls kċ(t)k = const, dann gilt
0=
d
2
kċ(t)k = 2 hc̈(t), ċ(t)i .
dt
Also ~IIc(t) (ċ(t), ċ(t)) = c̈(t).
Bemerkung 5.17 (Bedeutung der mittleren Krümmung).
nem Flächeninhalt area(M ) = µM (M ) =
R
M
(i) Sei M 2 ⊂ R3 mit ei-
1 dµM ∈ [0, ∞].
Dann ist H ≡ 0 genau dann, wenn M lokal den Flächeninhalt minimiert.
(ii) Sei c : (a, b) −→ M m ⊂ Rk glatt mit kċk ≡ 1. Dann sind äquivalent:
(a) Für alle t ∈ (a, b) existiert ein ε > 0,fe so dass c(t−,t+) die kürzeste Kurve in M von
c(t − ε) nach c(t + ) ist.
(b) c̈(t) ⊥ Tc(t) M für alle t ∈ I. Das heißt c ist eine Geodätische (vgl. Übungsblatt 5,
Seite 38
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.6
Theorema egregium
Aufgabe 4).
~
Dabei ist c̈(t) = ~II(ċ, ċ) = H
1.6 Theorema egregium
In diesem Abschnitt sei M 2 ⊂ R3 eine Untermannigfaltigkeit.
Definition 6.1. Sei X, Y, Z ∈ X(M ). Dann ist
R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇∇X Y Z + ∇∇Y X Z
der Riemannsche Krümmungstensor.
Dabei ist R lokal im folgenden Sinne: Sei O ⊂◦ R3 so dass M ∩ O = M̂ ∩ O. Seien X̂, Ŷ , Ẑ ∈ X(M̂ )
so dass X M ∩O = X̂ M̂ ∩O (ebenso für Y und Z). Dann gilt auch ∇X Y M ∩O = ∇X̂ Ŷ M̂ ∩O und
somit R(X, Y )Z M ∩O = R(X̂, Ŷ )Ẑ M̂ ∩O . In einer Karte ϕ : U −→ V schreibe
R
∂
∂
,
∂ϕi ∂ϕj
∂
∂
= Rijk ` ` ∈ X(U ).
∂ϕk
∂ϕ
Dann gilt Rijk ` ∈ C ∞ (V ).
Übungsblatt 6, Aufgabe 2 besagt für X, Y, Z ∈ X(M ) und f ∈ C ∞ (M ):
R(f X, Y )Z = f R(X, Y )Z = R(X, f Y )Z = R(X, Y )(f Z).
∂
Da R zudem offensichtlich in allen drei Argumenten R-linear ist, ergibt sich für X = X i ∂ϕ
i, Y =
∂
k ∂
Y j ∂ϕ
j , Z = Z ∂ϕk auf U , dass
R(X, Y )Z = X i Y j Z k Rijk `
∂
.
∂ϕ`
(1.6.1)
19.5.
Korollar 6.2. Sei M m
⊂ Rr gegeben und p ∈ M . Dann hängt (R(X, Y )Z)p nur von X p , Y p
und Z p ab. Man erhält eine trilineare Abbildung
Rp : Tp M × Tp M × Tp M −→ Tp M,
(v, w, η) 7−→ (R(X, Y )Z)p
Wobei X, Y, Z ∈ X(U ) Fortsetzungen von v, w, η sind und p ∈ U ⊂◦ M .
Also gilt Rp ∈ T∗p M ⊗T∗p M ⊗T∗p M ⊗Tp M . Es heißt R bzw. Rp der Riemannsche Krümmungstensor.
Definition 6.3. Sei f : M −→ M̂ und X ∈ X(M ), X̂ ∈ X(M̂ ). Dann heißt X f -verwandt mit
SS 2015
Seite 39
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
X̂, falls für alle p ∈ M gilt, dass X̂ f (p) = ( dp f ) X p .
TM
O
„X“
M
„ df “
/ TM̂
O
„X̂“
/ M̂
f
Falls f ein Diffeomorphismus ist, dann ist X mit X̂ genau dann f -verwandt, wenn X̂ mit X f −1 verwandt ist. Sei X ∈ X(M ). Dann setze X̂ f (p) := ( dp f ) X p und erhalte ein zu X f -verwandtes
X̂ ∈ X(M̂ ).
Lemma 6.4. Sei f : M −→ M̂ eine (lokale) Isometrie und X, Y, Z ∈ X(M ) seien f -verwandt
mit X̂, Ŷ , Ẑ ∈ X(M̂ ). Dann ist R(X, Y )Z f -verwandt mit R̂(X̂, Ŷ )Ẑ. Das heißt
dp f (R(X, Y )Z) = (R̂(X̂, Ŷ )Ẑ)f (p)
∀p ∈ M.
Satz 6.5 (Gauß-Gleichung). Sei M 2 ⊂ R3 eine Untermannigfaltigkeit, p ∈ M und X, Y, Z ∈
X(M ). Dann gilt
R(X, Y )Z = II(Y, Z)W (X) − II(X, Z)W (Y ).
(1.6.2)
Schreibe lokal in Koordinaten:
Rijk ` = hjk Wi` − hik Wj` .
(1.6.3)
Bemerkung. Es sind äquivalent:
(i) Es gilt (1.6.2) für alle X, Y, Z ∈ X(M ),
(ii) Es gilt (1.6.2) für alle p ∈ M und für alle X, Y, Z ∈ X(M ),
(iii) Es gilt (1.6.3) für alle Karten eines Atlanten.
Beweis (Satz 1.6.5): Zeige zunächst (1.6.3) in einer Karte ϕ : U −→ V . Sei α := ϕ−1 und
x = ϕ(p), also p = α(x). Dann
∂ 2 α =
∂xi ∂xj x
∂
∂
∂ϕi
∂
∂ϕj
∂
∂
.
= πpT ∂ ∂ i |p j + πpN ∂ ∂ i |p j
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
p
|
{z
}
|
{z
}
∂
∂
∂
=∇
Seite 40
∂
∂ϕj
∂ϕi
=IIp
∂ϕi
|p ,
∂ϕj
|p ·ν|p
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.6
Theorema egregium
Erneutes Ableiten liefert dann
∂
∂3α
=
i
∂x ∂xj ∂xk
∂xi
=∇
∂
∂ϕi
∇
∇
∂
∂ϕj
∂
∂ϕj
∂
∂
+
h
·
ν
=
∂
+
h
·
ν
∇
∂
∂
jk
jk
∂ϕi
∂ϕj ∂ϕk
∂ϕk
∂hjk
∂
∂
+ πN ∂ ∂ i ∇ ∂ j
+
· ν + hjk ∂ ∂ i ν.
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ ∂ϕk
∂ϕk
∂xi
Das heißt
π
T
∂3α
∂xi ∂xj ∂xk
=∇
∂
∂ϕi
∇
∂
∂ϕj
∂
− hjk W
∂ϕk
∂
∂ϕi
Aber nach dem Satz von Schwarz gilt:
π
T
∂3α
∂xi ∂xj ∂xk
=π
T
∂3α
∂xj ∂xi ∂xk
Zusammen mit Eigenschaften 1.4.7 (iv), also ∇
=∇
∂
∂ϕi
∂
∂ϕj
∂
∂ϕj
∇
∂
∂ϕi
= ∇
∂
− hik W
∂ϕk
∂
∂ϕj
∂
∂ϕi
und W
∂
∂ϕj
∂
∂ϕi
∂
= Wi` ∂ϕ
`
erhält man:
Rijk `
∂
∂
∂
∂
∂
= ∇ ∂ i ∇ ∂j
− ∇ ∂j ∇ ∂ i
− ∇ℵ k = (hjk Wi` − hik Wj` ) ` .
`
k
k
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂
∂
Mit ℵ = ∇ ∂ i
− ∇ ∂j
.
∂ϕ ∂ϕj
∂ϕ ∂ϕi
{z
}
|
2
=0
Bemerkung 6.6. Satz 1.6.5 gilt mit dem selbem Beweis für alle Hyperflächen M m ⊂ Rm+1
mit Einheitsnormalenfeld.
Es gibt auch eine Version des Satzes für beliebige Untermannigfaltigkeiten M m ⊂ Rk (mit oder
ohne Einheitsnormalenfeld), nämlich:
E D
E
D
R(X, Y )Z, Z̃ = ~II(Y, Z), ~II(X, Z̃) − ~II(X, Z), ~II(Y, Z̃) .
Theorem 6.7 (Theorema egregium). Sei M 2 ⊂ R3 eine Untermannigfaltigkeit und E1 , E2
eine Orthonormalbasis von Tp M . Dann gilt
Kp = hR(E1 , E2 )E2 , E1 i .
Beweis: Schreibe W (Eα ) = Wαβ Eβ , also Wαβ = hW (Eα ), Eβ i = II(Eα , Eβ ). Dann rechne
hR(E1 , E2 )E2 , E1 i = II(E2 , E2 ) hW (E1 ), E1 i − II(E1 , E2 ) hW (E2 ), E1 i


1
1
W
W
1
2
 = det(W ) = K.
= W22 W11 − W12 W21 = det 
W12 W22
SS 2015
2
Seite 41
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
Korollar 6.8. Seien M, M̂ Untermannigfaltigkeiten des R3 mit Gaußkrümmungen K ∈ C ∞ (M )
und K̂ ∈ C ∞ (M̂ ). Ist f : M −→ M̂ eine lokale Isometrie, so gilt K̂ ◦ f ≡ K.
Beispiel 6.9.
(i) Die Abbildung
f : R2 × {0} −→ Z,


 
cos(t)
t


 


 
s 7−→  sin(t) 


 
s
0
2
für den Zylinder Z := im(f
 ) ist eine lokale Isometrie. Ein Einheitsnormalenfeld auf R × {0}
0
 
2
 
ist gegeben durch ν = 0. Also gilt W ≡ 0 und damit II ≡ 0, also auch K R ×{0} ≡ 0.
 
1
Aus Korollar 1.6.8 folgt, dass die Gaußkrümmung von Z konstant verschwindet.
(ii) Für M = S2 ist ν p := p ein Einheitsnormalenfeld. Das heißt W (X) = −∂X ν = −X und
damit II = −I also II(X, Y ) = − hX, Y i. Damit rechne
R(X, Y )Z = −II(Y, Z)X + II(X, Z)Y = hY, Zi X − hX, Zi Y.
Erhalte
2
K = hR(E1 , E2 )E2 , E1 i = hE2 , E2 i hE1 , E1 i − hE1 , E2 i = 1.
Zu jeder offenen Menge U ⊂ S2 gibt es keine Isometrie U −→ V ⊂◦ R2 × {0}.
1.7 Variationsformel
22.5.
Ziel dieses Abschnitts ist die folgenden Aussagen zu präzisieren und beweisen:
(i) Sei M 2 ⊂ R3 eine Fläche, die lokal den Flächeninhalt minimiert. Dann gilt H ≡ 0.
(ii) Sei γ : [a, b] −→ M m ⊂ Rr die kürzeste aller Kurven γ̃ : [a, b] −→ M mit γ̃(a) = γ(a),
γ̃(b) = γ(b) und kγ̇(t)k = const. Dann ist γ eine Geodätische in M , dh γ̈(t) ∈ Nγ(t) M .
Umkehrungen dieser Aussagen sind lokal ebenfalls richtig.
Definition 7.1. Sei M m ⊂ Rr eine Untermannigfaltigkeit. Eine Variation von M ist eine glatte
Abbildung
F = F• : M × (−ε, ε) −→ Rr ,
(p, t) 7−→ F (p, t) = Ft (p)
so dass F0 = idM , also F0 (p) = p.
Seite 42
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.7
Variationsformel
Der Träger supp(F• ) ist der Abschluss der Menge
o
n
p ∈ M F (p, t) 6= p für ein t ∈ (−ε, ε)
in M . Das heißt für alle q ∈ M \ supp(F• ) gilt Ft (q) = q für alle t. Man nennt F• eine Variation
mit kompaktem Träger, falls supp(F• ) kompakt ist.
Das Variationsfeld von F• ist eine glatte Abbildung
V : M −→ Rr ,
q 7−→
d Ft (q).
dt t=0
Für V : M −→ Rr ist supp(V) := V −1 (Rr \ {0}) der Träger des Variationsfeldes.
M
F1 (M )
V
Bemerkung 7.2.
supp(F• )
(i) Es gilt supp(V) ⊂ supp(F• ), aber im Allgemeinen gilt keine Gleichheit.
(ii) Für gegebenes glattes V : M −→ Rr definiere F V (p, t) := p + tV(p).
Dabei ist F V glatt und erfüllt F V (p, 0) = p, also ist F V eine Variation von M mit Variationsfeld V und supp(V) = supp(F V ).
(iii) Ist F• eine Variation mit kompaktem Träger, dann existiert ein ε0 > 0 so dass Ft (M ) eine
Untermannigfaltigkeit von Rr für alle |t| < ε0 ist.
Satz 7.3 (Variationsformel). Ist F : M ×(−ε, ε) −→ Rr eine Variation von M mit kompaktem
Träger. Dann gilt für jede kompakte Menge K ⊂ supp(F• ):
d Vol(Ft (K)) = −m
dt t=0
Z
D
~
V, H
E
dµM .
M
Bemerkung. Falls Vol(M ) < ∞, dann ist auch Vol(Ft (M )) < ∞ für alle t ∈ (−, ) und es gilt
d dt t=0
Z
Vol(Ft (M ))
|
{z
}
= −m
D
E
~ dµM .
V, H
M
=Vol(Ft (K))+Vol(M \K)
Beachte dass Ft (M \ K) = M \ K.
Lemma 7.4. Sei (a, b) ⊂ R ein Intervall mit 0 ∈ (a, b) und sei
(a, b) −→ Glm (R),
SS 2015
t 7−→ At
Seite 43
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
in C 1 . Dann gilt
d −1 d det(At ) = (det(A0 )) Tr A0
At .
dt t=0
dt t=0
Beweis: Definiere Bt := A−1
0 At . Dann gilt B0 = 1 und det(At ) = det(A0 ) det(Bt ). Dann bleibt
d
d
zu zeigen, dass dt det(Bt ) = Tr dt
Bt .
t=0
t=0
Schreibe B(t) = (bij )ij . Dann gilt
X
det(B(t)) =
sgn(σ)b1σ(1) (t) · · · bmσ(m) (t) + b11 (t) · · · bmm (t).
id6=σ∈Sm
In den Summanden der ersten Summe sind mindestens zwei Faktoren Null für t = 0, im letzten
Summanden sind alle Faktoren Eins für t = 0.
Das heißt es gilt
d b1σ(1) (t) · · · bmσ(m) (t) = 0
dt t=0
∀σ 6= id
und andererseits
d d d
d (b11 (t) · · · bmm (t)) =
(b11 (t) + . . . + bmm (t)) =
Tr
Bt .
dt t=0
dt t=0
dt t=0
dt t=0
2
Also folgt die Behauptung.
Bemerkung. Im Beweis von Satz 1.7.3 werden der Einfachheit halber zwei Annahmen getroffen:
(i) Es gibt eine Karte ϕ : U −→ V mit K ⊂ U ,
(ii) Es gilt V(p) ⊥ Tp M für alle p ∈ M .
Dabei wird der allgemeine Fall ohne Annahme (i) ähnlich gezeigt, wenn man eine „Partition der
Eins“ nutzt.
Im allgemeinen Fall ohne Annahme (ii) kann durch Umparametrisierung eine Variation mit V(p) ⊥
Tp M erreicht werden.
Beweis (Satz 1.7.3): Es gibt ein o ∈ (0, ], so dass für alle t ∈ (−0 , 0 ) die Funktion αt := Ft ◦
ϕ−1 : V → Ft (U ) eine Parametrisierung von Ft (M ) ist. Setze ϕt := (αt )−1 = ϕ◦Ft−1 : Ft (U ) −→
V als eine Karte von Ft (M ). Schreibe αt := ϕ−1
für die Parametrisierung.
t
ϕt
t
Schreibe weiter gij
:= gij
. Dann ist
η : V × (−, ) −→ R,
Seite 44
r
t (x)
(x, t) 7−→ det gij
ij
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.7
Variationsformel
glatt in x und t und es gilt
0
(x))) d sgn(det(gij
d t
det(gij
(x))
·
η(x, t) =
dt t=0
2η(x, 0)
dt t=0
! !
m
det(g 0 (x))
X
d
ij
t
`k
=
Tr
g (x)
g (x)
2η(x, 0)
dt t=0 ks
k=1
=
1
η(x, 0)
2
m
X
k,`=1
`s
d t
(x).
g `k (x) gk`
dt t=0
0 −1
Mit (g ij ) := (gij
) .
∂αt ∂αt
t
Es gilt gk`
= ∂x
k , ∂x` , also:
∂α0
∂ 2 αt ∂α0 ∂ 2 αt ,
+
,
∂xk ∂t t=0 ∂x`
∂xk ∂t∂x` t=0
∂
∂α0
∂α0 ∂
=
V(α
(•)),
+
,
V(α
(•))
0
0
∂xk
∂x`
∂xk ∂x`
{z
} |
{z
}
|
d gt =
dt t=0 k`
=(∗)
=(†)
und:
∂
(∗) =
∂xk
∂ 2 α0
∂α0
− V ◦ α0 , k `
V ◦ α0 ,
∂x`
∂x ∂x
{z
}
|
V(p)⊥Tp M
=
=0
− hV ◦ α0 , π
|
N
=~
II
∂ 2 α0
i = (†)
∂xk ∂x`
{z
}
∂
∂
∂ϕk
,
∂ϕ`
Also
d ∂
∂
t
k`
k`
k`
~
g = ((∗) + (†))g = −2g
V, II
,
.
g
dt t=0 k`
∂ϕk ∂ϕ`
Wenn e1 , . . . , em eine Orthonormalbasis von Tp M ist, dann gilt
~ =
mH
m
X
~II(ei , ei ) =
i=1
m
X
g k` ~II
k,`=1
∂
∂
,
∂ϕk ∂ϕ`
.
Vergleiche dazu Übungsblatt 7, Aufgabe 3.
Also gilt
m
X
g k`
k,`=1
D
E
d t
~
= −2 V, mH
gk`
dt t=0
und damit:
d Vol(Ft (K)) =
dt t=0
Z
d η(x, t) dλm =
ϕ(K) dt t=0
Z D
E
~ dµM .
= −m
V, H
Z
D
E
~ ) dλm
η(x, t)(−m V, H
ϕ(K)
K
Beachte dabei dass dµM = η(x, t) dλm .
SS 2015
2
Seite 45
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
Satz 7.5. Sei M m ⊂ Rr eine Untermannigfaltigkeit. Es gebe eine offene Menge U ⊂ M so dass
jede Variation F• von M mit kompaktem Träger in U das folgende erfüllt:
Vol(Ft (U )) ≥ Vol(U ) < ∞
∀t ∈ (−, ).
~ ≡ 0.
Dann gilt H
U
29.5.
~ ≡ 0.
Definition 7.6. Eine Untermannigfaltigkeit M m ⊂ Rr heißt minimal, falls H
Eine minimale Fläche in R3 heißt Minimalfläche.
Bemerkung. Das Wort „minimal“ ist irreführend. Es gibt instabile Minimalflächen, dh. M 2 ⊂
R3 mit H = 0 und mit Variation F• mit kompaktem Träger und
d2 dt2 t=0
Vol(Ft (K)) < 0.
Lemma 7.7. Sei W ⊂◦ Rr und p ∈ W . Es gibt eine glatte Funktion f : Rr −→ R≥0 mit kom
paktem Träger supp(f ) := x ∈ Rr f (x) 6= 0 so dass f (p) = 1, f ≥ 0 und supp(f ) ⊂ W .
Beweis: Betrachte
ψ : R −→ R,
ψ(s) :=


0
,s≤0

e− 1s
, s > 0.
Zeige nun induktiv
ψ (k) (s) =
pk (s) − 1
e s
s2k
für ein Polynom pk . Dann gilt lims&0 ψ (k) (s) = 0, also ist ψ glatt auf R.
Sei nun δ > 0 so dass Bδ (p) ⊂ W . Dann setze
2
f (q) :=
Es gilt damit kq − pk ≥
δ
2,
ψ(δ 2 − 4 kq − pk )
.
ψ(δ 2 )
also f (q) = 0 und damit supp(f ) ⊂ Bδ/2 (p), sowie f (p) = 1 und
2
f ∈ C∞.
~
Beweis (Satz 1.7.5): Angenommen es gebe p ∈ U mit H(p)
6= 0. Wähle V(p) ∈ Np M mit
D
E
D
E
~
~
H(p),
V(p) > 0. Da q 7−→ H(q),
V(p) stetig ist, gibt es ein W ⊂◦ Rr mit p ∈ W ∩ M ⊂ U ,
D
E
~
H(q),
V(p) > 0 ∀q ∈ W ∩ M und W ∩ M ⊂ W abgeschlossen.
Bestimme f ∈ C ∞ (Rr ) wie in Lemma 1.7.7. Definiere V(q) := f (q) · πqN V(p) . Dann gilt

≥ 0
D
E
D
E
~
~
V(q), H(q)
= f (q) V(p), H(q)
|{z} |
> 0
{z
}
≥0
auf M
in Umgebung von p.
≥0
Seite 46
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
1.7
Variationsformel
Setze Ft (q) := q + tV(q). Dann gilt supp(F• ) = supp(V) ⊂ U und supp(f ) ⊂ W ∩ M . Also gilt
supp(F• ) ⊂ supp(f ) ∩ M , also ist supp(F• ) abgeschlossen im kompaktem Träger supp(f ).
Weiter gilt nun
d Vol(Ft (U )) = −m
dt t=0
Z D
E
~
H(q),
V(q) dµM (q) < 0.
U |
{z
}
≥0
2
Das heißt Vol(Ft (U )) < Vol(U ) für t > 0 und t nahe 0. Widerspruch.
Satz 7.8. Sei γ : [a, b] −→ M eine glatte Kurve in eine Untermannigfaltigkeit M m ⊂ Rr mit
kγ 0 (t)k = const und es gelte für alle Kurven τ : [a, b] −→ M mit τ (a) = γ(a) und τ (b) = γ(b), dass
L (τ ) ≥ L (γ). Dann ist γ eine Geodätische.


cos(t)



Bemerkung. (i) Die Umkehrung in Satz 1.7.8 gilt nicht. Betrachte γ(t) = 
 sin(t)  in der


0
S2 . Dann ist γ eine Geodätische. Dann ist γ die kürzeste Verbindungskurve von γ(a)
[0,t0 ]
nach γ(b), falls t0 ≤ π, aber dies gilt nicht mehr für t0 ∈ (π, 2π).
(ii) Lokal gilt jedoch die Umkehrung von Satz 1.7.8:
Ist γ eine Geodätische, so besitzt jedes t ∈ (a, b) ein ε > 0 so dass γ die kürzeste
[t−ε,t+ε]
Verbindungskurve zwischen den Endpunkten in M ist.
Beweis (Satz 1.7.8): Œ sei γ : [a, b] −→ M injektiv und γ([a, b]) eine Untermannigfaltigkeit.
Es gilt 0 =
d
dt
2
kγ 0 (t)k = 2 hγ 00 (t), γ 0 (t)i, also γ 00 (t) ⊥ γ 0 (t).
Angenommen γ 00 (t0 ) ∈
/ Nγ(t) M . Dann wähle V(t0 ) ⊥ γ 0 (t0 ) mit V(t0 ) ∈ Tγ(t0 ) M ,
hV(t0 ), γ 00 (t0 )i > 0 und V(t0 ) ⊥ γ 0 (t).
Es gelte Œ dass t0 ∈
/ {a, b}. Setze V(t0 ) fort zu V : [a, b] −→ Rr mit supp(V) ⊂ (a, b). Dann gilt
für alle t dass V(t) ⊥ γ 0 (t), V(t) ∈ Tγ(t) M und hV(t), γ 00 (t)i ≥ 0.
Dann: Fs (t) = π(Fs (t) + sV(t)) ∈ M , wobei π die Projektion auf den nächsten Punkt in M ist.
(Dies ist für s nahe 0 wohldefiniert.)
Rechne
d L (Fs ([a, b])) = −
ds s=0
Z
γ([a,b])
D
~ V
H,
E
Z
dµ = −
a
b
hγ 00 (t), V(t)i kγ̇(t)k dt < 0
|
{z
} | {z }
≥0
>0
und L (Fs ) = Vol(Fs ([a, b])). Für kleine s > 0 gilt L (Fs ) < L (F0 ) mit F0 = γ, Fs (a) =
γ(a), Fs (b) = γ(b).
SS 2015
2
Seite 47
I
Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
Geodätische werden im Rahmen der Differentialgeometrie im nächsten Semester näher betrachtet.
Zusammenfassung
Innere Geometrie
Äußere Geometrie
1. Fundamentalform
2. Fundamentalform
kovariante Ableitung
mittlere Krümmung
Geodätische
Gaußkrümmung
Dabei bedeutet „innere Isometrie“ die Invarianz unter Isometrien.
Unser Ziel ist nun Unter-Mannigfaltigkeiten und ihre intrinsische Geometrie möglichst weitgehend
zu verstehen, ohne auf den umgebenden Raum Bezug zu nehmen. Wir definieren hierzu zunächst
den Begriff der Mannigfaltigkeit. Jede Untermannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit,die Definition
der Mannigfaltigkeit ist aber so gewählt, dass der umgebende Raum nicht mehr benutzt. Die
Topologie und die Definition glatter Abbildungen wird dann über Karten definiert.
Seite 48
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
II
Mannigfaltigkeiten
2 Mannigfaltigkeiten
2.1 C k -Strukturen
Definition 1.1. Sei M eine Menge, Ui ⊂ M für i ∈ I. Dann überdeckt {Ui }i∈I die Menge M ,
falls M =
S
i∈I
Ui .
Ist M ein topologischer Raum und alle Ui offen, so heißt {Ui }i∈I eine offene Überdeckung.
Ein m-dimensionaler C k -Atlas auf M (für m ∈ N ∪ {0} und k ∈ N ∪ {0, ∞, ω}) ist eine Menge
A = ϕi : Ui −→ Vi i ∈ I so dass
(i) {Ui }i∈I ist eine Überdeckung von M ,
(ii) Für alle i ∈ I ist Vi ⊂ Rm offen,
(iii) Für alle i ∈ I ist ϕi : Ui −→ Vi bijektiv,
(iv) Für alle i, j ∈ I ist ϕi (Ui ∩ Uj ) ⊂ Rm offen,
(v) Für alle i, j ∈ I ist
ϕj ◦ ϕ−1
i : ϕi (Ui ∩ Uj ) −→ ϕj (Ui ∩ Uj )
in C k .
Die ϕi heißen Karten. Ui heißt Definitionsbereich oder Kartengebiet.
Setze
ϕj ◦ ϕ−1
:= ϕj ◦ ϕ−1
i
i ϕi (Ui ∩Uj )
.
Diese Abbildung nennt man Kartenwechsel.
U1
ϕ1
R2 ⊃ V1
U2
ϕ2
ϕ2 ◦ ϕ−
11
V2 ⊂ R2
Bemerkung. Die Bedingung (v) in Definition 2.1.1, dass ϕj ◦ ϕ−1
ein Homöomorphismus ist.
i
Für k ≥ 1 ist ϕj ◦ ϕ−1
ein C k -Diffeomorphismus. Es bedeutet C ω reell-analytisch.
i
SS 2015
Seite 49
II
Mannigfaltigkeiten
Das heißt dass f ∈ C ω gilt, wenn f = (f 1 . . . f m )t und alle f i schreiben sich lokal als Potenzreihe
in m Variablen.
Ist f ∈ C ω , so auch f ∈ C ∞ , also „ω > ∞“.
Lemma 1.2. Sei M eine Menge und A = ϕi : Ui −→ Vi i ∈ I ein m-dimensionaler C k Atlas auf M . Setze
OA :=
o
n
U ⊂ M ϕi (Ui ∩ U ) ⊂ Rm offen für alle i ∈ I .
Dann ist OA eine Topologie auf M . Außerdem gelten:
(i) B :=
S
i∈I
−1
ϕi (V ) V ⊂◦ Vi ⊂ P(M ) ist eine Basis der Topologie OA .
(ii) ϕi : Ui −→ Vi sind Homöomorphismen.
2
Beweis: Der Beweis ist eine leichte Übung.
Ab jetzt trage M stets die Topologie aus Lemma 2.1.2.
Definition 1.3. Ist A = {ϕi : Ui −→ Vi }i∈I ein C k -Atlas von M , so nennt man ϕ : U −→ V
eine mit A C k -verträgliche Karte, falls U ⊂◦ M (dh U ∈ OA ), V ⊂◦ Rm und falls für alle i ∈ I gilt:
• ϕi (Ui ∩ U ) und ϕ(Ui ∩ U ) sind offen,
• ϕi (Ui ∩ U )
ϕ◦ϕ−1
i
ϕ(U ∩ Ui ) sind in C k .
ϕi ◦ϕ−1
Proposition 1.4. Sei A ein C k -Atlas auf M . Setze
Amax :=
n
o
ϕ : U −→ V ϕ ist C k -verträglich mit A .
Dann ist Amax ein C k -Atlas.
Es gelten A ⊂ Amax , (Amax )max = Amax und OAmax = OA .
Weiter gilt A = Amax genau dann, wenn A ein maximales Element der partiell geordneten Menge
n
o A˜ A˜ ist ein C k -Atlas auf M , ⊂ .
In diesem Fall heißt A ein maximaler C k -Atlas auf M oder eine C k -Struktur auf M .
Beweis: Eigene Übung.
2
Beispiel. Ist M eine Untermannigfaltigkeit von Rr und A1 , A2 zwei Atlanten im Sinne von
Kapitel 1, so gilt (A1 )max = (A2 )max und dies stimmt mit der Menge aller Karten auf M überein.
Seite 50
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
2.1
C k -Strukturen
Das heißt jede C k -Untermannigfaltigkeit (mit k ≥ 1) hat eine induzierte C k -Struktur A . Dabei ist
OA die von Rr induzierte Topologie.
Bemerkung 1.5.
(i) Es gibt C ∞ -Atlanten A auf Mengen M so dass (M, OA )
(a) nicht Hausdorffsch ist. Für ein Beispiel siehe Übungsblatt 9, Aufgabe 2.
(b) (M, OA ) keine abzählbare Basis der Topologie besitzt.
Beispiel:
Sei M = R mit der 0-dimensionalen C ∞ -Struktur A := {ϕi : {i} −→ {0}}i∈R .
OA ist die diskrete Topologie. Jede Basis der diskreten Topologie auf R ist überabzählbar.
(c) zusammenhängend ist und keine abzählbare Basis der Topologie existiert. Für ein Beispiel siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Long_line_(topology).
(ii) Zu U ⊂◦ Rm sei BU eine abzählbare Basis der Topologie auf U .
Besitzt ein Atlas {ϕi : Ui −→ Vi }i ein J ⊂ I abzählbar so dass
BM :=
S
j∈J
Uj = M , dann ist
o
[ n
ϕ−1
(V
)
V
∈
B
⊂ P(M )
V
i
j
j∈J
eine abzählbare Basis der Topologie.
(iii) Ist A ein Atlas auf M , dann ist (M, OA )
(a) lokal zusammenhängend. Das heißt: Für jedes p ∈ M und jede Umgebung U von p gibt
es eine offene zusammenhängende Umgebung W von p mit W ⊂ U .
(b) lokal kompakt. Das heißt: Für jedes p ∈ M und jede Umgebung U von p gibt es eine
kompakte Umgebung W von p mit W ⊂ U .
Die Beweise sind Übung.
Definition 1.6. Eine C k -Mannigfaltigkeit ist ein Paar (M, A ), wobei A eine C k -Struktur auf
M ist und (M, OA ) ein Hausdorffraum ist so, dass jede Zusammenhangskomponente von (M, OA )
eine abzählbare Basis der Topologie besitzt.
Bemerkung. Die Bedingung an die Zusammenhangskomponenten ist äquivalent dazu, dass
(M, OA ) parakompakt ist.
Im Folgenden schreibt man M statt (M, A ).
Definition 1.7. Sei A ⊂ Rm . Eine Abbildung f : A −→ R` heißt C k (mit k ≥ 1), falls eine
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Seite 51
II
Mannigfaltigkeiten
offene Teilmenge U ⊂◦ Rm und eine Abbildung fˆ: U −→ R` existiert so dass A ⊂ U , fˆ ∈ C k und
fˆ ≡ f .
A
Modifiziere nun Definition 2.1.1 für m ≥ 1:
Setze (ii) durch (ii0 ): Für alle i ∈ I ist Vi offen in [0, ∞) × Rm−1 .
[0, ∞)
V1
V2
Rm−1
Ersetze weiter (iv) durch (iv0 ): Für alle i ∈ I ist ϕi (Ui ∩ Uj ) offen in [0, ∞) × Rm−1 .
Man nennt A einen C k -Atlas mit Rand.
Eine C k -Mannigfaltigkeit mit Rand ist ein Paar (M, A ) so dass A ein maximaler C k -Atlas mit
Rand auf M ist, so dass (M, OA ) Hausdorffsch ist und jede Zusammenhangskomponente eine
abzählbare Basis der Topologie besitzt.
Der Rand ∂M von M ist definiert als
∂M :=
[
ϕ−1
{0} × Rm−1 .
i
i∈I
Setze ψi := ϕi Ui ∩∂M
.
Aus dem lokalen Umkehrsatz (k ≥ 1) folgt ϕi ◦ ϕ−1
j
{0} × Rm−1 ∩ Vj ⊂ {0} × Rm−1 , also ist
∂M unabhängig von der Wahl des Atlanten und ∂M, ψi : Ui ∩ ∂M −→ Vi ∩ {0} × Rm−1
ist
eine (m − 1) dimensionale C k -Untermannigfaltigkeit.
Beispiel. Sei
α := exp × id : Rm −→ [0, ∞) × Rm−1
(x1 , . . . , xm ) 7−→ exp(x1 ), x2 , . . . , xm ).
Dann ist α injektiv, C ω und α(Rm ) = (0, ∞) × Rm−1 .
Dabei ist α ein C ∞ -Diffeomorphismus auf sein Bild. Ist A = {ϕi : Ui −→ Vi } ein C k -Atlas einer
m-dimensionalen Untermannigfaltigkeit, dann ist A˜ := {α ◦ ϕi : Ui −→ α(Vi )} ein C k -Atlas von M
und ein C k -Atlas einer Mannigfaltigkeit mit Rand α(Vi ) ⊂◦ [0, ∞) × Rm−1 mit ∂M = ∅.
Ist M eine m-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit mit Rand, dann ist M \ ∂M eine m-dimensionale
Mannigfaltigkeit.
Definition. Eine C 0 -Mannigfaltigkeit heißt topologische Mannigfaltigkeit.
Seite 52
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
2.1
C k -Strukturen
Eine C ∞ -Mannigfaltigkeit heißt auch glatte Mannigfaltigkeit.
Eine C ω -Mannigfaltigkeit heißt reell-analytische Mannigfaltigkeit.
Im Folgenden sind alle Mannigfaltigkeiten glatt.
Beispiel 1.8.
(i) [0, 1] × R ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Schränke die Karten eines
Atlanten von (−ε, 1 + ε) × R auf [0, 1] × R ein und unterteile.
x
M
U2
Wähle V1 := 0, 23 × R mit ϕ1 := id und V2 :=
U1
y
1
3, 1
× R mit ϕ2 (x, y) := (1 − x, y)
(ii) Ebenso ist [a, ∞) × M m−1 eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Rand, falls M eine
(m − 1)-dimensionale Mannigfaltigkeit ist.
(iii) B1 (0) ist eine Mannigfaltigkeit mit Rand (siehe Übungsblatt 10).
(iv) Seien M1 und M2 Mannigfaltigkeiten und A1 = {ϕi : Ui −→ Vi }i∈I und A2 = {ψj : Wj −→
Zj }j∈J Atlanten von M1 bzw. M2 . Dann ist A1 × A2 = {ϕi × ψj }(i,j)∈I×J ein Atlas von
M1 × M2 .
Das heißt M1 × M2 , A1 × A2 ) ist eine Mannigfaltigkeit, die Produktmannigfaltigkeit mit
Dimension dim(M1 × M2 ) = dim(M1 ) + dim(M2 ).
(v) Sei M1 eine Mannigfaltigkeit mit Rand und M2 eine Mannigfaltigkeit und das sonstige Datum
wie in (iv). Dann ist auch wieder (M1 × M2 , A1 × A2 ) eine Mannigfaltigkeit mit Rand.
Warnung: Ist M2 auch eine Mannigfaltigkeit mit Rand, so ist für das Produkt A1 × A2 kein
Atlas mit Rand mehr.
Siehe dazu: [0, 1] × [0, 1] ist homöomorph zu B1 (0) ⊂ R2 , besitzt einen glatten Atlas mit
Rand, der mit der Topologie verträglich ist, aber A1 × A2 ist kein Atlas mit Rand.
Bemerkung 1.9. Sei k ≤ `. Jede C ` -Struktur ist ein C k -Atlas, aber als C k -Atlas ist er nicht
mehr vollständig. Das heißt jede C ` -Struktur in ein einer C k -Struktur enthalten.
Für k ≥ 1 gilt: In jeder C k -Struktur ist eine C ` -Struktur enthalten. Diese C ` -Struktur ist nicht
eindeutig. Sind A1 , A2 zwei C ` -Strukturen, die in einer gemeinsamen C k -Struktur A liegen, dann
gibt es einen C k -Diffeomorphismus ψ : M −→ M so dass ψ ∗ A1 := ϕ ◦ ψ ϕ ∈ A1 = A2 .
Der Beweis davon ist hochgradig nicht-trivial.
Für k = 0 gilt: Es gibt topologische Mannigfaltigkeiten, die keinen (mit der Topologie verträglichen)
SS 2015
Seite 53
II
Mannigfaltigkeiten
C 1 -Atlas besitzen. (sehr nicht-trivial)
Es gibt topologische Mannigfaltigkeiten, die im folgenden Sinne mehrere C 1 -Strukturen besitzen,
die nicht durch Homöomorphismen auseinander hervorgehen:
(i) Es gibt überabzählbar viele C ∞ -Strukturen auf dem topologischen Raum R4 mit der StandardTopologie, die nicht zueinander diffeomorph sind. Es gibt also 4-dimensionale Mannigfaltigkeiten, die homöomorph zu R4 sind, aber die nicht (C 1 -)diffeomorph zu R4 sind. Die Behauptung ist hier nicht, dass ein gegebener Homöomorphismus kein Diffeomorphismus ist (dies
wäre ganz einfach zu konstruieren), sondern dass es gar keinen Diffeomorphismus gibt. Siehe
http://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_R4
(ii) Es gibt 7-dimensionale C ∞ -Mannigfaltigkeiten Σ7 , die homöomorph sind zu S7 sind, aber
nicht C 1 -diffeomorph zu S7 sind.
Siehe dazu http://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_sphere
5.6.
Sei M eine Mannigfaltigkeit (mit Rand). Dann ist M lokal zusammenhängend. Deswegen sind alle
Zusammenhangskomponenten von M offen.
Lemma 1.10. Sei X ein topologischer Raum mit Zusammenhangskomponenten Xα (mit α ∈ A)
und alle Xα seien offen.
(i) Sei U ⊂ X. Dann ist U genau dann offen in X, wenn für alle α ∈ A die Menge U ∩ Xα offen
in Xα ist.
(ii) X besitzt genau dann eine abzählbare Basis der Topologie, wenn A abzählbar ist un jedes
Xα eine abzählbare Basis der Topologie besitzt.
Beweis: (i) Die Hinrichtung ist klar. Für die Rückrichtung beachte dass Xα offen ist und
S
X = α Xα .
(ii)
Für die Hinrichtung sei B eine abzählbare Basis der Topologie. Zu jedem α ∈ A wähle ein
Uα ∈ B mit Uα ⊂ Xα . Erhalte eine injektive Abbildung A −→ B, also ist A mit B abzählbar.
Für alle α ∈ A ist Bα := U ∩ Xα U ∈ B eine abzählbare Basis der Topologie von Xα .
S
Für die Rückrichtung seien Bα die abzählbaren Basen der Topologie der Xα . Dann ist B = α Bα
eine abzählbare Basis der Topologie von X.
2
Korollar 1.11. Eine Mannigfaltigkeit hat eine abzählbare Basis der Topologie genau dann,
wenn sie abzählbar viele Zusammenhangskomponenten hat.
Definition 1.12. Seien M1 und M2 zwei C k -Mannigfaltigkeiten (mit Rand), 0 ≤ ` ≤ j ≤ ω
Seite 54
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
2.2
mit Atlanten A1 und A2 .
Kompakte Ausschöpfung und Partition der Eins
Eine Abbildung f : M1 −→ M2 ist eine C ` -Abbildung, falls für alle
(ϕ1 : U1 −→ V1 ) ∈ A1 und für alle (ϕ2 : U2 −→ V2 ) ∈ A2 die Abbildung
ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1
1 ϕ1 (f −1 (U2 )∩U1 )
in C ` ist.
M1
M2
f
U2
p
U1
f (p)
ϕ1
ϕ2
ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1
1
V1 ⊆ Rn
V2 ⊆ Rm
Da ` ≤ k gilt dann diese Eigenschaft auch für alle Karten ϕ1 von M1 , die mit A1 verträglich sind
und für alle Karten ϕ2 von M2 , die mit A2 verträglich sind, also überträgt sich die Eigenschaft
auf die ganze Struktur der Mannigfaltigkeit und ist insbesondere unabhängig von der Wahl des
Atlanten.
Die Eigenschaft in C ` zu sein, ist stabil unter Komposition.
Ist f : M1 −→ M2 bijektiv und C ` , sowie f −1 ∈ C ` , dann heißt f ein C ` -Diffeomorphismus (mit
` ≥ 1).
M1 und M2 heißen C ` -diffeomorph, wenn ein C ` -Diffeomorphismus von M1 nach M2 existiert.
2.2 Kompakte Ausschöpfung und Partition der Eins
Definition 2.1. Sei X ein Hausdorffraum. Eine kompakte Ausschöpfung von X ist eine Familie
◦
(Ki )i∈N von kompakten Teilmengen von X so dass Ki ⊂ K i+1 für alle i ∈ N und X =
S
i
Ki . (solche
Räume sind lokal kompakt)
Lemma 2.2. Ist X ein lokal kompakter Hausdorffraum und besitzt X eine abzählbare Basis
der Topologie B, dann besitzt X eine kompakte Ausschöpfung.
Beweis: Setze B̃ := U ∈ B U kompakt . Dann ist B̃ wieder eine Basis der Topologie auf X,
denn sei V ⊂◦ X. Dann ist V eine Umgebung von jedem p ∈ V . Wegen der lokal-Kompaktheit
◦
S
existiert eine kompakte Umgebung W von p mit W ⊂ V . Schreibe p ∈ W = i∈I Ui mit Ui ∈ B.
Das heißt es existiert ein i0 ∈ I mit p ∈ Ui0 ⊂ Ui0 und Ui0 ist kompakt.
Also existiert für alle V ⊂◦ X und alle p ∈ V ein U ∈ B̃ mit p ∈ U ⊂ U ⊂ V . Das heißt
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Seite 55
II
Mannigfaltigkeiten
V =
S
U ∈ B̃ p ∈ U, U ⊂ V und damit ist B̃ eine Basis der Topologie.
2Beh .
Da B̃ abzählbar ist, schreibe B̃ = {U1 , U2 , . . .}. Definiere nun die Ki rekursiv:
K1 := U 1 ist kompakt. Setze `1 := 1 Sei Ki kompakt und `i ∈ N bereits definiert.
Bestimme die kleinste natürliche Zahl `i ∈ N so dass Ki ⊂ U1 ∪ . . . ∪ U`i (nutze die Kompaktheit
von Ki ) und `i+1 > `i falls #B > `i . Dann setze
Ki+1 = U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ U`i .
◦
Dann gilt Ki ⊂ K i+1 und somit
S
i∈N
2
Ki = X.
Definition 2.3. Sei (Uα )α∈A eine Überdeckung eines topologischen Raums X. Dann heißt
(Uα )α lokal endlich , falls jeder Punkt p ∈ X eine Umgebung Vp besitzt so, dass die Menge
a ∈ A Uα ∩ Vp 6= ∅ endlich ist.
Eine Überdeckung (Vβ )β∈B heißt Verfeinerung von (Uα )α , falls zu jedem β ∈ B ein α ∈ A existiert
mit Vβ ⊂ Uα .
Proposition 2.4 (Partition der Eins, starke Version). Sei (Ui )i∈I eine offene Überdeckung
einer C k -Mannigfaltigkeit M mit Atlas {ϕj : U˜j −→ Vj }j∈J (mit 0 ≤ k ≤ ∞).
Dann gibt es eine Familie (ηα )α∈A mit ηα ∈ C k (M, R) mit
(i) (a) supp(ηα ) ist kompakt,
(b) (supp(ηα ))α ist eine lokal endliche Überdeckung von M ,
(c) 0 ≤ ηα ≤ 1,
(d)
P
α∈A
ηα (x) = 1 für alle x ∈ M .
(ii) (supp(ηα ))α verfeinert (Ui )i∈I .
(iii) (supp(ηα ))α verfeinert (U˜j )j∈J .
Besitzt M nur abzählbare viele Zusammenhangskomponenten, dann kann A abzählbar gewählt
werden.
Beweis: Œ sei M zusammenhängend (sonst führe für jede Zusammenhangskomponente aus und
summiere). Dann besitzt M eine kompakte Ausschöpfung (Ki )i∈N von M . Setze K0 := K−1 := ∅.
◦
Sei nun n ∈ N zunächst fixiert. Zu jedem p ∈ Kn \K n−1 wähle ip ∈ I und jp ∈ J mit p ∈ Uip ∩Ũjp .
Wähle mit Lemma 1.7.7
Rm −→ R mit 0 ≤ fp ≤ 1, supp(fp ) kompakt
eine glatte
Funktion fp :
◦
und supp(fp ) ⊂ ϕjp Uip ∩ Ũjp ∩ K n+1 \ Kn−2
=: Y , sowie fp (ϕjp (p)) = 1.
Dabei ist die Menge Y offen und enthält ϕjp (p).
Seite 56
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
2.3
Definiere
ψp :=


fp ◦ ϕj
p
, auf Ujp

0
, sonst.
Der Tangentialraum
Dann ist ψp : M −→ R glatt, 0 ≤ ψp ≤ 1, ψp (p) = 1 und supp(ψp ) kompakt.
Es ist Wp := ψp−1 (R \ {0}) ⊂ supp(ψp ) eine offene Umgebung von p.
◦
Sr n
W p` .
Wähle mit dem Kompaktheitsargument p1 , . . . , prn so dass Kn \ K n−1 = `=1
Setze nun A := (n, `) n ∈ N, 1 ≤ ` ≤ rn und Ψα := Ψn,` := ψp` .
◦
Prn
Ψ(n,`) > 0 auf Kn \ K n−1 ,
Dann ist (supp(Ψα ))α lokal endlich, supp(Ψα ) ist kompakt und `=1
0 ≤ Ψα ≤ 1.
Also gilt auch
P
α∈A
Ψα > 0 auf M und diese Funktion ist glatt von M nach R>0 .
Offenbar verfeinert (supp(Ψα ))α die Überdeckungen (Ui )i∈I und (Ũj )j∈J .
Setze nun
ηα := P
Ψα
α0 ∈A
Ψα0
.
2
Dann erfüllen die ηα alle gewünschten Eigenschaften.
12.6.
Korollar 2.5 (Partition der Eins, schwache Version). Sei (Ui )i∈I eine offene Überdeckung
von M . Dann gibt es ζi ∈ C ∞ (M, R) mit 0 ≤ ζi ≤ 1, supp(ζi ) ⊂ Ui ,
P
i∈I
ζi = 1 und (supp(ζi ))i∈I
ist eine lokal endliche Überdeckung.
Man nennt (ζi )i∈I eine Partition der Eins zur Überdeckung (Ui )i∈I .
Beweis: Wähle (ηα )α∈A zu einem Atlas wie in Proposition 2.2.4. Wähle zu jedem α ∈ A ein
P
2
iα ∈ I mit supp(ηα ) ⊂ Uiα . Setze dann ζi :=
α∈A ηα .
iα =i
Beispiel 2.6. Sei p ∈ M . Bestimme zur Überdeckung (U, M \ {p}) eine Partition der Eins
(η1 , η2 ) mit supp(η2 ) ⊂ M \ {p}, p ∈ W = U ∩ (M \ supp(η2 )) offen.
Setze



0
auf M \ U



η1 = 1 − η2 = ∈ [0, 1] , auf U \ W




1
, auf W.
2.3 Der Tangentialraum
Definition 3.1. Sei M m eine C k -Mannigfaltigkeit (1 ≤ k ≤ ∞), p ∈ M und ` ≤ k. Eine C ` Kurve in M ist eine C 0 -Abbildung c : I −→ M wobei I ein offenes Intervall ist.
Für p ∈ M definiere Cp := c : I −→ M 0 ∈ I, c(0) = p, c ist C 1 -Kurve . Definiere eine Äquiva-
SS 2015
Seite 57
II
Mannigfaltigkeiten
lenzrelation ∼ auf Cp :
Seien c1 , c2 ∈ Cp und ϕ : U −→ V eine Karte. Dann gilt c1 ∼ c2 genau dann, wenn
d
(ϕ ◦ c2 ).
dt d
dt t=0
(ϕ ◦ c1 ) =
t=0
Der Tangentialraum von M im Punkte p ist die Menge Tp M := Cp / ∼. Die Elemente in Tp M
heißen Tangentialvektoren.
Lemma 3.2. Die Relation ∼ in Definition 2.3.1 hängt nicht von der Wahl der Karte ϕ ab.
Beweis: Sei ψ : Ũ −→ Ṽ eine weitere Karte und p ∈ U ∩ Ũ . Dann rechne
d d d ·
=
(ψ ◦ ϕ−1 ◦ ϕ ◦ c) = (ψ ◦ ϕ−1 )0 (ϕ ◦ c).
dt t=0
dt t=0
dt t=0
ϕ(p)
Nun ist aber (ψ ◦ ϕ−1 )0 ein Isomorphismus von Vektorräumen. Das heißt
d d (ϕ ◦ c1 ) =
(ϕ ◦ c2 )
dt t=0
dt t=0
⇐⇒
d d (ψ ◦ c1 ) =
(ψ ◦ c2 ) .
dt t=0
dt t=0
2
Lemma 3.3. Die Abbildung
dp ϕ : Tp M −→ Rm ,
[c] 7−→
d (ϕ ◦ c)
dt t=0
wohldefiniert und bijektiv. Es heißt Differential.
Beweis: (Wohldefiniertheit und Injektivität)
Beides folgt sofort aus der Definition von
∼ (Hin- und Rückrichtung).
Sei v ∈ Rm . Da V = im ϕ offen ist, gibt es aus Stetigkeitsgründen ein > 0, so
dass ϕ(p) + tv ∈ V für alle t ∈ (−, ). Setze c(t) := ϕ−1 ϕ(p) + tv .
d
Es gilt ( dp ϕ) [c] = dt
ϕ(p) + tv = v, also folgt die Surjektivität.
(Surjektivität)
t=0
Dabei ist c(t) nur wohldefiniert für t so klein, dass ϕ(p) + tv ∈ im(ϕ) gilt. Das Startintervall von
2
c ist aber so wählbar, da ϕ(p) ∈ im(ϕ) offen ist.
Definiere nun eine Vektorraumsstruktur auf Tp M so, dass dp ϕ linear ist. Diese VektorraumStruktur auf Tp M ist unabhängig von der Wahl der Karte, siehe Übungsblatt 10, Aufgabe 3.
Definition 3.4. Definiere
ist
n
o
∂ ∂ϕi p
1≤i≤m
∂ ∂ϕi p
h
i
∂
:= t 7−→ ϕ−1 ϕ(p)+tei . Es gilt dp ϕ ∂ϕ
= ei und damit
i
eine Basis von Tp M .
Bemerkung 3.5. Für p 6= q gilt Tp M ∩ Tq M = ∅.
Definition 3.6. Seien M m und N n zwei C 1 -Mannigfaltigkeiten, f ∈ C 1 (M, N ) und p ∈ M .
Seite 58
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
2.3
Der Tangentialraum
Dann definiere das Differential von f in p durch
dp f : Tp M −→ Tf (p) N,
[c] 7−→ [f ◦ c].
Lemma 3.7. Die Abbildung dp f in Definition 2.3.6 ist wohldefiniert und linear.
Beweis: Sei ϕ : U −→ V eine Karte von M mit p ∈ U und ψ : Ũ −→ Ṽ eine Karte von N mit
f (p) ∈ Ũ .
Seien c1 ∼ c2 . Das heißt
d
dt t=0
d
dt (ϕ ◦ c1 ) =
t=0
(ϕ ◦ c2 ). Rechne
d d d (ψ ◦ f ◦ c1 ) =
(ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ◦ ϕ ◦ c1 ) = (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )0 ϕ(p) ·
(ϕ ◦ c1 )
dt t=0
dt t=0
dt t=0
d
d
= (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )0 ϕ(p) ·
(ϕ ◦ c2 ) =
(ψ ◦ f ◦ c2 )
dt t=0
dt t=0
Also gilt f ◦ c1 ∼ f ◦ c2 .
Betrachte nun das Diagramm
Tp M
dp ϕ o
dp f
/ Tf (p) N
o
dϕ(p) ψ
/ Rn
Rm
(ψ◦f ◦ϕ−1 )0 |ϕ(p)
Da dp ϕ, df (p) ψ und (ψ ◦ f ◦ ϕ−1 )0 ϕ(p) linear sind, ist auch dp f linear als Verkettung linearer
2
Abbildungen.
Bemerkung 3.8.
Ip : V −→ Tp V,
(i) Ist V ein Vektorraum. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus
v 7−→ p + tv .
(ii) Das Symbol dp ϕ besitzt zwei Bedeutungen (siehe Lemma 2.3.3 und Definition 2.3.6). Betrachte aber
dp ϕ
Tp M
dp ϕ
/ Rm
z
Tϕ(p) Rm
Iϕ(p)
Das heißt die beiden Bedeutungen stimmen nach Identifikation von Rm mit Tϕ(p) Rm überein.
(iii) Ist c : I −→ M eine C 1 -Kurve, I ⊂ R ein Intervall. Dann betrachte
dt c : R ∼
= Tt R −→ Tc(t) M,
Schreibweise:
SS 2015
e1 7−→ c(• − t) .
−1
Tc(t0 ) M 3 ċ(t0 ) = c(• − t0 ) = dc(t0 ) ϕ
(ϕ ◦ c) .
d
dt t=t0
Seite 59
16.6.a
II
Mannigfaltigkeiten
(iv) Seien f1 ∈ C 1 (M1 , M2 ) und f2 ∈ C 1 (M2 , M1 ). Dann gilt dp (f2 ◦ f1 ) = df1 (p) f2 ◦ dp f1 .
(v) Es gelte dim(M1 ) = dim(M2 ) und f ∈ C ` (M, N ). Ist nun dp f ein Isomorphismus, dann gibt
es eine offene Umgebung p ∈ U ⊂ M so dass f : U −→ f (U ) ein C ` -Diffeomorphismus ist.
U
(lokaler Umkehrsatz)
2.4 Derivationen in einem Punkt
Definition 4.1. Zu ċ(0) = X ∈ Tp M und f ∈ C 1 (M ) definiere die Richtungsableitung
∂X f := dp f (X) =
Es gilt dabei
dp ϕi
∂
∂ϕj
d (f ◦ c).
dt t=0
= δij . Das heißt { dp ϕi }1≤i≤m ist die zu
n
o
∂ ∂ϕi p
duale Basis
1≤i≤m
des Kotangentialraums T∗p M = (Tp M )∗ .
Definition 4.2. Eine Derivation in p ist eine lineare Abbildung D : C ∞ (M ) −→ R mit
D(f g) = D(f )g(p) + f (p)D(g).
Es bezeichne Dp die Menge aller Derivationen in p. Es ist Dp ⊂ C ∞ (M )∗ ein Untervektorraum.
Beispiel. Für X ∈ Tp M ist ∂X eine Derivation.
Satz 4.3. Die Abbildung ∂ := ∂• : Tp M −→ Dp , X 7−→ ∂X ist ein Vektorraum-Isomorphismus.
Beweis: (Schritt 1: Linearität)
Die Linearität von ∂ folgt aus der Linearität von dp f für
∞
alle f ∈ C (M ).
(Schritt 2)
Sei D ∈ Dp . Dann gilt D(1) = D(1 · 1) = D(1) · 1 + 1D(1) = 2D(1), also D(1) = 0
und damit D(f ) = 0 für alle f ≡ const.
(Schritt 3)
Sei D ∈ Dp , U eine offene Umgebung von p, f, g ∈ C ∞ (M ). Gilt nun f ≡ g ,
U
U
dann folgt D(f ) = D(g). (Lokalität)
Beweis:
Bestimme mit Beispiel 2.2.6 eine Funktion χ ∈ C ∞ (M ) mit supp(χ) ⊂ U, χ ≡ 1 auf
Umgebung um p. Dann folgt χ · (f − g) ≡ 0, also
0 = D(χ · (f − g)) = D(χ) · (f (p) − g(p)) + χ(p) D(f − g).
|
{z
} |{z}
=0
=1
Also gilt D(f − g) = 0 und damit D(f ) = D(g).
(Schritt 4)
Seite 60
Sei U ⊂◦ M, p ∈ M . Bestimme χ wie in Schritt 3. Dann sind die beiden Abbildungen
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
2.4
Derivationen in einem Punkt
DpU DpM
DU 7−→ DU ◦ resU
DM ◦ (·χ) ←−[ DM
zueinander invers. Hierbei ist
f 7−→ f resU : C ∞ (M ) −→ C ∞ (U ),
U
die Restriktionsabbildung, und
·χ : C ∞ (U ) −→ C ∞ (M ),
f 7−→ f · χ
ist die Multiplikation mit der Abschneidefunktion χ. Die Funktion f · χ ist glatt auf M \ supp(χ)
und glatt auf U , also auch glatt auf M .
Sei ϕ : U −→ V eine Karte, χ wie oben und p ∈ U .
Pm
∂ und rechne
= 0. Dann schreibe: X = i=1 ai ∂ϕ
i
p
(Schritt 5: Injektivität)
Angenommen ∂X
C ∞ (M )
z }| {
0 = ∂X (χ · ϕi ) = ∂P
j
(∗)
=
X
aj ∂
j
∂
|p
∂ϕj
aj
(ϕi ) =
∂
|p
∂ϕj
X
(χ · ϕi )
aj dp ϕi
j
|
!
∂
= ai .
∂ϕj p
{z
}
δij
Also folgt X = 0.
(∗) Dies gilt, da χ ≡ 1 auf einer Umgebung um p.
(6. Schritt: Surjektivität:) Seien ϕ und χ wie oben und D ∈ DpM beliebig. Setze aj := D(χ·ϕi )
P
∂ und X := j aj ∂ϕ
. Dann hat D̃ := ∂X − D ∈ DpM die Eigenschaft D̃(χ · ϕj ) = 0 für alle j,
j
p
denn:
Wähle f ∈ C ∞ (M ), hi und W wie im folgenden Lemma (Lemma 2.4.4). Dann rechne
!
D̃(f ) = D̃W
f W = D̃W
|
=
X
i
SS 2015
f (p) +D̃W
|{z}
=const
{z
}
X
i
=0
D̃W (hi ) ϕi (p) +hi (p) · D̃W (ϕi )
| {z }
| {z }
=0
hi ϕi
= 0.
=D̃(χW ϕi )=0
Seite 61
II
Mannigfaltigkeiten
(Beachte D̃W = D̃ ◦ (·χ) und supp(χW ⊂ W ))
2
Damit gilt also D = ∂X und damit folgt die Surjektivität.
Lemma 4.4. Sei f ∈ C 1 (M ), ϕ : U −→ V eine Karte, p ∈ U und ϕ(p) = 0. Dann gibt es eine
offene Umgebung W ⊂◦ U von p und Funktionen hi ∈ C 0 (W ) mit f (q) = f (p) +
P
i
hi (q)ϕi (q) für
alle q ∈ W .
Ist f ∈ C k (M ), so können die hi ∈ C k−1 (M ) gewählt werden.
Beweis: Setze F := f ◦ ϕ−1 . Sei nun x ∈ Br (0) ⊂◦ V und Wx (t) = F (tx) für t ∈ [0, 1]. Es gilt
Z
F (x) − F (0) = Wx (1) − Wx (0) =
1
Wx0 (t) dt =
0
0
für x = ϕ(q). Setze hi (q) :=
X
R1
∂F 0 ∂xi tϕ(q)
1
Z
∂F · xi dt.
∂xi tx |{z}
=ϕi (q)
dt. Dann gilt
hi ◦ ϕ−1 (x) · ϕi (q) = F (ϕ(q)) − F (0)
X
=⇒
i
hi (q)ϕi (q) = f (q) − f (p).
2
i
2.5 Vektorfelder und Lie-Klammer
Sei M m eine (glatte) Mannigfaltigkeit. Für q 6= p gilt Tp M ∩ Tq M = ∅.
Definition 5.1. Das Tangentialbündel von M ist gegeben durch TM :=
Kotangentialbündel von M ist gegeben durch T∗ M =
`
p∈M
`
p∈M
Tp M und das
T∗p M . Die Abbildungen
πTM : TM −→ M,
X 7−→ p
πT∗ M : T∗ M −→ M,
α 7−→ p
heißen die kanoninschen Projektionen von TM bzw. T∗ M .
Ein Vektorfeld ist eine Abbildung X : M −→ TM mit πTM ◦ X = idM und eine 1-Form (oder
Pfaffsche Form) ist eine Abbildung α : X −→ T∗ M mit πT∗ M ◦ α = idM .
Bemerkung. Übungsblatt 10, Aufgabe 4 liefert eine glatte Struktur auf TM , sodass TM zu
einer glatten Mannigfaltigkeit der Dimension 2 dim(M ) wird.
Ist ϕ : U −→ V eine Karte von M m , so ist
Φ : TU −→ V × Rm ,
Seite 62
v 7−→ ϕ(p), dp ϕ(v)
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
2.5
Vektorfelder und Lie-Klammer
eine Karte von TM .
Analog definiert man
∗
∗
Φ :T U=
a
∗
m
T M −→ V × R ,
α 7−→ ϕ(p), α
p∈U
|
∂
.
|
p
∂ϕi
1≤i≤m
{z
}
α◦( dp ϕ)−1 ∈(Rm )∗ ∼
=Rm
Diese Abbildung definiert analog eine glatte Struktur auf T∗ M .
Bemerkung. Man nennt ein Vektorfeld glatt, wenn es als Abbildung glatt ist. Stimmt nun
diese Definition von „glatten Vektorfeldern“ mit der aus Kapitel 1 über Untermannigfaltigkeiten
überein?
Pm
∂ Sei ϕ : U −→ V eine Karte. Schreibe Xp = i=1 Xϕi (p) ∂ϕ
.
i
p
X U ist genau dann C k , wenn Φ ◦ X U in C k ist, also genau dann, wenn für alle i gilt, dass Xϕi ∈ C k
ist.
X ist genau dann C k , wenn in allen Karten ϕ : U −→ V eines Atlanten und für alle i ∈ {1, . . . , m}
gilt, dass Xϕi ∈ C k .
Analog sei α eine 1-Form. Dann ist α in C k genau dann, wenn für alle Karten (ϕi : U −→ V ) ∈ A
∂ und alle i ∈ {1, . . . , m} die Abbildung p 7−→ αp ∂ϕ
in C k ist.
i
p
Definition.
(i) Es bezeichne X(M ) := Γ(TM ) := {glatte Vektorfelder}. Dies ist ein R-
Vektorraum und ein C ∞ (M )-Modul.
(ii) Setze Ω1 (M ) := Γ(T∗ M ) := {glatte 1-Formen}
(iii) Ist f ∈ C ∞ (M ) so ist die Abbildung df definiert durch p 7−→ dp f glatt.
Damit erhält man eine Abbildung
d : C ∞ (M ) −→ Ω1 (M ),
f 7−→ df.
(2.1)
(iv) Ist α ∈ Ω1 (M ) und X ∈ X(M ) so erhält man eine Abbildung
α(X) : M −→ R,
p 7−→ αp (Xp )
wobei α(X) ∈ C ∞ (M ).
(v) Für f, f˜ ∈ C ∞ (M ) gilt: ∂X (f f˜) = (∂X f )f˜ + f (∂X f˜).
Erhalte eine Abbildung X(M ) −→ End C ∞ (M ) , X 7−→ ∂X .
(vi) Ist A eine R-Algebra, so nennt man D ∈ End(A) eine Derivation von A, falls D(f f˜) =
(Df )f˜ + f (Df˜) gilt.
SS 2015
Seite 63
II
Mannigfaltigkeiten
Zum Beispiel ist ∂X ist eine Derivation von A = C ∞ (M ). Den Raum aller Derivation von A
bezeichnen wir mit D(A). Somit
(vii) Es sei evp : C ∞ (M ) −→ R,
f 7−→ f (p) die Einsetzungsabbildung.
Bemerkung. Eine lineare Abbildung D : C ∞ (M ) → C ∞ (M ) ist genau dann eine Derivation
von C ∞ (M ), wenn für alle p ∈ M gilt: D(f f˜)(p) = f (p)(Df˜)(p) + (Df )(p)f˜(p). Dies ist äquivalent
dazu, dass für alle p ∈ M die Einsetzungsabbildung evp ◦D ∈ Dp ist.
Wir bezeichnen
Lemma 5.2. Die Abbildung X(M ) −→ D C ∞ (M ) , X 7−→ ∂X ist bijektiv und C ∞ (M )
linear.
Beweis: (Linearität)
(Injektivität)
Die Linearität ist klar.
Sei ∂X = 0, dann ∂Xp = evp ◦∂X = 0. Mit Satz 2.4.3 folgt also Xp = 0 für alle p,
also X = 0.
(Surjektivität)
Sei D eine Derivation von C ∞ (M ), dann ist evp ◦D eine Derivation in p für alle
p ∈ M.
Nach Satz 2.4.3 existiert damit für alle p ∈ M genau ein Xp ∈ Tp M mit ∂Xp = evp ◦D.
Es bleibt zu zeigen, dass das Vektorfeld p 7−→ Xp glatt ist.
Zu p0 ∈ M wähle eine Karte ϕ : U −→ V mit p0 ∈ U . Mit Beispiel 2.2.6 wähle eine Funktion
η ∈ C ∞ , die auf einer Umgebung W von p0 konstant Eins ist und supp(η) ⊆ U .
P
∂
Schreibe X U = X i ∂ϕ
i auf U . Dann gilt für p ∈ W :
∂Xp
ηϕi
|{z}
∈C ∞ (M )
4.3
= = ∂Xp ϕi W
|{z}
∈DpW
=
X
i
X j (p) ∂ ∂ j |p (ϕj ) −X i (p).
∂ϕ
| {z }
=δij
Da D(ηϕi ) ∈ C ∞ (M ) und D(ηϕi )W = X i W gilt, dass X i W ∈ C ∞ (W ), also ist X glatt auf
2
einer Umgebung von p und damit ist X glatt.
Ab sofort werden Elemente in Tp M mit Derivationen Dp in p identifiziert (via X =∂
ˆ X ). Außerdem
werden glatte Vektorfelder identifiziert mit Derivationen auf C ∞ (M ).
Es gilt
∂ ∂ f = ∂ ∂ i |p f =
f ◦ ϕ−1
i
p
∂ϕ
∂ϕ
∂xi ϕ(p)
Seite 64
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
2.6
also entspricht
∂
∂ϕi
der partiellen Ableitung
∂
∂xi
Tensoren
in der Karte ϕ.
16.6.b
Lemma 5.3. Ist A eine R-Algebra und D, D̃ Derivationen auf A. Dann ist [D, D̃] = DD̃ − D̃D
ebenfalls eine Derivation.
2
Beweis: Siehe Übungsblatt 11, Aufgabe 1.
Lemma. Mit X(M ) = {Derivationen auf C ∞ (M )} erhält man eine lineare Abbildung
X(M ) × X(M ) −→ X(M )
(X, Y ) 7−→ [X, Y ] = XY − Y X = ∂X ∂Y − ∂Y ∂X = ∂[X,Y ] ∈ End C ∞ (M ) .
Dabei heißt [X, Y ] die Lie-Klammer von X und Y .
Es gelten für alle X, Y ∈ X(M ) und f ∈ C ∞ (M ) die Relationen
(i) [X, Y ] = −[Y, X].
(Antisymmetrie)
(ii) [f X, Y ] = f [X, Y ] − Y (f ) X.
| {z }
=∂Y f
(iii) [X, f Y ] = f [X, Y ] + X(f )Y .
(iv) [X, Y ], Z + [Y, Z], X + [Z, X], Y = 0
alle X, Y, Z ∈ X(M ) ⊂ End C ∞ (M ) .
Beweis: (ii)
für alle X, Y, Z ∈ End(V ) also insbesondere für
(Jabobi-Identität)
Es gilt für alle g ∈ C ∞ (M ) dass
[f X, Y ](g) = ∂f X ∂Y g − ∂Y ∂f X g = f ∂X ∂Y g −
= f · [X, Y ](g) −Y (f )X(g).
| {z }
∂Y (f ∂X g)
| {z }
=(∂Y f )(∂X g)+f ∂Y ∂X g
=∂[X,Y ] g
(Rest)
2
Nachrechnen.
Bemerkung 5.4. Ist F : M → N eine glatte Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten. Die
Ableitung dF : T M → T N wird dann durch die folgende Formel charakterisiert:
∂dF (X) f = ∂X (f ◦ F )
∀p ∈ Tp M, ∀X ∈ Tp M ∀f ∈ C ∞ (N ).
Mit Hilfe der neuen Identifikation von Tangentialvektoren mit Derivationen kann man hierfür auch
schreiben: (dF (X))(f ) = X(f ◦ F ).
SS 2015
Seite 65
II
Mannigfaltigkeiten
2.6 Tensoren
Sei M m eine glatte Mannigfaltigkeit.
Definition. Setze
Tr,s
p M :=
O
r,s
(0,0)
und Tp
Tp M := Tp M ⊗ Tp M ⊗ . . . ⊗ Tp M ⊗ T∗p M ⊗ T∗p M ⊗ . . . ⊗ T∗p M .
|
{z
} |
{z
}
r-mal
s-mal
:= R.
Ein Element aus Tr,s
p M heißt ein r, s-Tensor.
Beispiel 6.1.
(i) T1,0
p M = Tp M .
∗
∗
∗
∼
∼
(ii) T0,2
p M = Tp M ⊗ Tp M = Bil(Tp M × Tp M, R) = Hom Tp M, Tp M ).
∗
(iii) T0,1
p M = Tp M .
r+r̃,s+s̃
r̃,s̃
M gegeben durch
Bemerkung. Man hat eine bilineare Abbildung Tr,s
p M × Tp M −→ Tp
(v1 ⊗ . . . ⊗ vr ⊗ α1 ⊗ . . . ⊗ αs , w1 ⊗ . . . ⊗ wr̃ ⊗ β1 ⊗ . . . ⊗ βs̃ ) 7−→
7−→ v1 ⊗ . . . ⊗ vr ⊗ w1 ⊗ . . . ⊗ wr̃ ⊗ α1 ⊗ . . . ⊗ αs ⊗ β1 ⊗ . . . ⊗ βs̃ .
Diese bilineare Abbildung faktorisiert über eine lineare Abbildung aus dem Tensorprodukt:
r+r̃,s+s̃
Tp r, sM ⊗ Tr̃,s̃
M.
p M −→ Tp
Bemerkung. Ist ϕ : U −→ V eine Karte. Dann ist
∂ ∂ϕi p
i
eine Basis von Tp M und dp ϕi
i
ist eine Basis von T∗p M .
Weiter ist dann
∂ ∂ j1
js r+s
⊗
⊗
d
ϕ
⊗
d
ϕ
(i
,
.
.
.
,
i
,
j
,
.
.
.
,
j
)
∈
{1,
.
.
.
,
m}
⊂ Tr,s
p
p
1
r
1
s
p M
∂ϕi1 p ∂ϕir p
eine Basis.
Setze nun Tr,s M :=
`
p∈M
r s
Tr,s
p M . Diese Menge ist selbst eine Mannigfaltigkeit mit dem m+m m -
dimensionalen Atlas
π
r,s
Tr,s M T−→M M,
vI ⊗ αJ 7−→ p.
Schreibe für I = (i1 , . . . , ir ) und J = (j1 , . . . , js ) kurz
∂ ∂ ∂ ⊗ dp ϕJ :=
⊗
⊗ dp ϕj1 ⊗ dp ϕjs .
∂ϕI p
∂ϕi1 p ∂ϕir p
Seite 66
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
2.6
Tensoren
Sei ϕ : U −→ V eine Karte von M . Dann betrachte
Tr,s U =
a
m
Tr,s
p M −→ V × R
r+s
p∈U
X
I∈{1,...,m}r
J∈{1,...,m}s
aIJ
∂ ⊗ dp ϕJ 7−→ V , (aIJ )I,J
I
p
∂ϕ
Definition 6.2. Ein (r, s)-Tensor(feld) ist eine Abbildung a : M −→ Tr,s M so dass gilt, dass
πTr,s M ◦ a = idM .
Es heißt a genau dann glatt, wenn alle Koeffizienten aIJ in allen Karten glatt sind.
Es bezeichnet Γ(Tr,s M ) die Menge aller glatten (r, s)-Tensorfeldern. Dabei ist Γ(T(0,0) M ) :=
C ∞ (M ).
Beispiel 6.3.
(i) Es gilt Γ(T1,0 M ) = X(M ) und Γ(T0,1 M ) = Ω1 (M ).
(ii) Es sei g ∈ Γ(T0,2 M ). Dann ist g lokal in einer Karte ϕ : U −→ V gegeben durch gp =
Pm
i
j
i,j=1 gij (p) dp ϕ ⊗ dp ϕ .
∂
∂
Es ist g glatt wenn alle gij : U −→ R glatt sind. Dabei gilt gij = g ∂ϕ
.
i , ∂ϕj
Es ist gp : Tp M × Tp M −→ R bilinear, also ein Element in T∗p M ⊗ T∗p M .
Es ist gp genau dann symmetrisch, wenn gij (p) = gji (p) für alle Karten U , alle p in U und
alle i, j ∈ {1, . . . , m}.
Es ist gp positiv-definit genau dann, wenn gij
ij
für alle Karten U und alle p in U eine
positiv-definite Matrix ist.
Beispiel:
Ist M m ⊂ Rn eine Untermannigfaltigkeit. Dann ist die 1. Fundamentalform g ∈
Γ(T0,2 M ) symmetrisch und positiv definit.
Definition 6.4. Eine Riemannsche Metrik auf M ist ein glatter (0, 2)-Tensor so dass die Abbildung gp : Tp M × Tp M −→ R symmetrisch und positiv definit ist. Das heißt gp definiert ein
Skalarprodukt auf Tp M .
Dabei „hängt gp glatt von p ab“.
Beispiel 6.5. Die erste Fundamentalform einer Untermannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Metrik.
Beispiel. Sei M = Rm und gp = h•, •i das Standard-Skalarprodukt auf Rm . Sei N eine Mannigfaltigkeit und ϕ : N −→ M ein Diffeomorphismus. Dann setze
(ϕ∗ g)p (v, w) := gϕ(p) ( dp ϕ(v), dp ϕ(w)).
Dann ist (ϕ∗ g)p ∈ Γ(T0,2 M ), der Pullback.
SS 2015
Seite 67
II
Mannigfaltigkeiten
Satz 6.6. Jede Mannigfaltigkeit besitzt eine Riemannsche Metrik.
Beweis: Sei A = {ϕα : Uα −→ Vα }α∈A ein Atlas von M m .
Bestimme eine Partition der Eins (ηα )α mit supp(ηα ) ⊂ Uα und setze
Gα (p) :=


ηα (p) P dp ϕiα ⊗ dp ϕiα
p ∈ Uα

0
p∈
/ Uα .
Dann ist die Abbildung p 7−→ Gα (p) glatt auf Uα und p 7−→ Gα (p) = 0 ist glatt auf M \supp(ηα ).
Gesamt ist also p 7−→ Gα (p) glatt und Gα ∈ Γ(T0,2 M ). Außerdem ist Gα (p) symmetrisch für
alle p.
Weiter ist
P
∂
dp ϕiα ⊗ dp ϕiα positiv definit auf Tp M , denn sei X = X j ∂ϕ
j . Dann rechne
i
X
i
∂ k ∂ dp ϕ ⊗ dp ϕ (X, X) =
dp ϕ X
,X
∂ϕj p
∂ϕk p
i,j,k
X
∂
∂
i
=
X j X k dp ϕi
·
d
ϕ
p
∂ϕj
∂ϕk
i,j,k
{z
} |
{z
}
|
i
X
i
i
j
=δij
=
X
=δik
X iX i
i
und es gilt
P
i
X i X i > 0 für X 6= 0.
Damit ist Gα (p) für ηα (p) > 0 positiv definit und Gα (p) verschwindet für ηα (p) = 0.
P
Setze nun gp := α∈A Gα (p) ∈ Γ T0,2 M . Dann ist gp eine endliche (nicht-leere) Summe von
positiv definiten symmetrischen Bilinearformen, also selbst positiv definit.
2
Korollar 6.7. Sei M eine Mannigfaltigkeit. Dann gibt es einen Diffeomorphismus [ : TM −→
T∗ M so dass
πTM
kommutiert und so dass [b := [
Tp M
/ T∗ M
[
TM
"
M
|
πT∗ M
: Tp M −→ T∗p M ein Vektorraum-Isomorphismus ist.
Beweis: Wähle eine Riemannsche Metrik g auf M . Dann ist gp ∈ T0,2
p M : Tp M × Tp M −→ R
bilinear.
∗
∼
Es gilt T0,2
p M = Hom Tp M, Tp M vermöge gp 7−→ X 7−→ gp (X, •) für X ∈ Tp M .
Die Abbildung X 7−→ gp (X, •) ist injektiv von Tp M −→ T∗p M , denn für gp (X, •) = 0 gilt dass
gp (X, Y ) = 0 für alle Y ∈ Tp M , also auch 0 = gp (X, X), aber gp ist positiv definit, also X = 0.
Seite 68
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
2.6
Tensoren
[p ist ein Vektorraum-Isomorphismus und p 7−→ [−1
ist ebenfalls glatt und definiert die zu [
p
2
inverse Abbildung.
∼
∗
Beispiel. Sei f ∈ C ∞ (M ). Dann ist df ∈ Ω1 (M ). Sei ]p := [−1
p : Tp M −→ Tp M und betrachte
die Abbildung
grad(f ) : M −→ Tp M,
p 7−→ ]p ( df ) =: grad(f ).
Dann heißt grad(f ) ∈ X(M ) das Gradientenvektorfeld von f .
Es hat grad(f ) die Eigenschaft:
gp (grad(f )p , Y ) = gp (]p df, Y ) = df (Y ) = ∂Y f
SS 2015
∀Y ∈ Tp M ∀p ∈ M.
Seite 69
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
3 Differentialformen und der Satz von Stokes
19.6.
Motivation
• Elektrodynamik.
• Sind M m und N n Mannigfaltigkeiten. Gibt es einen Homöomorphismus M −→ N ?
• Existenz von Nullstellen von Vektorfeldern auf Flächen.
• Klassische Sätze von Stockes und Gauß.
3.1 Alternierende Tensoren auf Vektoren
Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum. Schreibe V ⊗k = V ⊗ . . . ⊗ V und V ⊗0 := R.
|
{z
}
k-mal
Definition 1.1. Der Alternierungsoperator ist die lineare Abbildung
Altk : V ⊗k −→ V ⊗k
X
v1 ⊗ . . . ⊗ vk 7−→
sgn(σ)vσ(1) ⊗ . . . ⊗ vσ(k) .
σ∈Sn
Es gelten
Alt0 = idR ,
Setze
Vk
1
Altk
k!
V := im(Altk ). Die Elemente aus
Vk
1
1
Altk =
Altk .
◦
k!
k!
V heißen alternierende Tensoren
Ist f ∈ Hom(V, W ), dann ist
f ⊗k : V ⊗k −→ W ⊗k
v1 ⊗ . . . ⊗ vk 7−→ f (v1 ) ⊗ . . . f (vk )
eine lineare Abbildung.
Es gibt eine lineare Abbildung
Vk
f so dass das folgende Diagramm kommutiert:
V ⊗k
Beispiel 1.2.
Seite 70
/ W ⊗k
Altk
Vk
f ⊗k
V
Vk
/
Vk
Altk
W
f
(i) Ist V = W ∗ , dann ist V ⊗k die Menge der k-fach linearen Abbildungen
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.1
W × . . . × W −→ R und
Vk
Alternierende Tensoren auf Vektoren
V ist die Menge der k-fach linearen alternierenden Abbildungen
W × . . . × W −→ R.
Dabei heißt α : W × . . . × W −→ R alternierend wenn α(w1 , . . . , wk ) = 0 falls wi = wj für
i 6= j. Dies ist äquivalent dazu, dass
α(w1 , . . . , wi , . . . , wj , . . . , wk ) = −α(w1 , . . . , wj , . . . , wi , . . . , wk )
(ii) Es gelten
V0
V = R und
V1
∀i 6= j.
V =V.
(iii) Sei W ein Vektorraum mit Basis e1 , . . . , en und V = W ∗ mit dualer Basis (e∗i )i .
(a) V ⊗2 ist die Menge der bilinearen Abbildungen W ×W −→ R. Dies entspricht dem Raum
Rn×n vermöge: e∗i ⊗ e∗j entspricht der Matrix (ak` )k` mit ak` = 1 für k = i und ` = j
und ak` = 0 sonst.
Es gilt Alt2 (e∗i ⊗ e∗j ) = e∗i ⊗ e∗j − e∗j ⊗ e∗i . Dies entspricht der Abbildung A 7−→ A − At ,
V2
also ist
V die Menge der schief-symmetrischen Matrizen in Rn×n .
(b) Setze ω := Altn (e∗1 ⊗ . . . ⊗ e∗n ) =
P
σ
sgn(σ)e∗σ(1) ⊗ e∗σ(n) .
Interpretiere ω als Abbildung ω : W × . . . × W −→ R definiert durch ω(w1 , . . . , wn ) =
P ∗
∗
σ eσ(1) (w1 ) · · · eσ(n) (wn ) = det(w1 , . . . , wn ).
Definition. Definiere die Tensoralgebra
V•
V :=
L
k∈N0
Vk
N•
V :=
L
k∈N0
V ⊗k
und
die äußere Algebra
V.
Sei nun diejenige lineare Abbildung
Alt• :
O•
V −→
O•
V
diejenige lineare Abbildung, die auf dem k-ten Summand durch Altk operiert. Zum Beispiel gilt
dann
v1 + v2 ⊗ v3 7−→ Alt1 (v1 ) + Alt2 (v2 ⊗ v3 ) = v1 + v2 ⊗ v3 − v3 ⊗ v2 .
Definition 1.3. Es gibt eine bilineare Abbildung
∧:
SS 2015
^•
V ×
^•
V −→
^•
V
Seite 71
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
so dass das Diagramm
N•
V ×
N•
Alt• × Alt•
V
V•
•
V ×
V
/ N• V
⊗
V
/
∧
V
•
Alt•
V
kommutiert oder so dass das Diagramm
V ⊗k × V ⊗`
Altk × Alt`
Vk
V`
V ×
V
/ V ⊗(k+l)
⊗
Altk+`
/
∧
Vk+`
V
kommutiert. Also gilt
Altk (v1 ⊗ . . . ⊗ vk ) ∧ Alt` (vk+1 ⊗ . . . ⊗ vk+` ) = Altk+` (v1 ⊗ . . . ⊗ vk+` ).
Es ist ∧ assoziativ und bilinear, denn ⊗ erfüllt diese Eigenschaften.
Weiter gilt v1 ∧ . . . ∧ vk = Altk (v1 ⊗ . . . ⊗ vk ) für alle vi ∈ V .
Ist (bi )i eine Basis von V , dann ist die Menge
n
o
bi1 ∧ bi2 ∧ . . . ∧ bik 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ n
eine Basis von
Vk
V.
Das heißt es gilt
dim
und dim
V
0
V
^
k
V
=


 n
, k≤n

0
, k > n.
k
= 2n .
Bemerkung. Ist α ∈
Vk
V und β ∈
V`
V , so gilt α ∧ β = (−1)k·` β ∧ α.
3.2 Differentialformen
Sei M m eine Mannigfaltigkeit und A ein Atlas.
Notation 2.1. Ab jetzt sei x : U −→ V eine Karte, statt ϕ : U −→ V und entsprechend
statt
∂
∂ϕi .
Entsprechend wird aus dϕi ein dxi .
Bemerkung. Sei
Seite 72
∂
∂xi
Vk
T∗ M :=
`
p∈M
Vk
T∗p M für k ∈ N ∪ {0, •}. Dies ist selber wieder eine
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.2
Differentialformen
Mannigfaltigkeit (sieht man ähnlich wie in Übungsblatt 10, Aufgabe 4).
Ist x : U −→ V eine Karte von M und k ∈ N0 , dann ist
n
eine Basis von
Vk
o
dp xi1 ∧ . . . ∧ dp xik 1 ≤ i1 < i2 < . . . < ik ≤ m
T∗p M .
Die Abbildung
^k
X
m
T∗ U −→ V × R( k )
ωi1 ...ik dp xi1 ∧ . . . ∧ dp xik ←−[ x̃, ωi1 ...ik
i1 <...<ik
(wobei x̃ = x(p)) ist eine Karte von
V• ∗
Der Fall
T M ist analog.
Vk
T∗ M .
Definition 2.2. Eine Differentialform ist eine Abbildung ω : M −→
V•
V•
T∗ M so dass ω(p) ∈
T∗p M für alle p ∈ M gilt.
ω ist vom Grade deg(ω) = k ∈ N0 , falls ω(p) ∈
Vk
T∗p M für alle p ∈ M .
Für Differentialformen ω sage ω ist glatt, wenn ω als Abbildung M −→
V•
T∗ M glatt ist.
Im Falle deg(ω) = k ist dies äquivalent dazu dass ω eine glatte Abbildung M −→ T0,k M =
`
⊗k
∗
ist, also genau dann, wenn für alle Karten (x : U −→ V ) ∈ A und für alle i1 < . . . < ik
p (Tp M )
gilt, dass
ωi1 ...ik = ω
∂
∂
,..., i
i
1
∂x
∂x k
: U −→ R
glatt ist. (hängt nicht vom Atlas ab!)
Ist ω eine Differentialform auf M , so gilt ω =
Pm
k=0
ωk mit deg(ωk ) = k. Dann ist ω genau dann
glatt, wenn alle ωk glatt sind.
Bemerkung 2.3. Für ωi1 ...ik wie in Definition 3.2.2 gilt ω =
P
i1 <...<ik
ωi1 ...ik dxi1 ∧. . .∧ dxik ,
also gilt
ω(p) =
X
wi1 ...ik (p) · dp xii ∧ . . . dp xik .
i1 <...<ik
Definition 2.4. Eine k-Form ist eine glatte Differentialform vom Grade k.
Vk
Setze Ωk (M ) := Γ( T∗ M ) = {k-Formen}.
Es gilt eine Abbildung
Ωk (M ) × Ω` (M ) −→ Ωk+` (M )
(α, β) 7−→ α ∧ β
SS 2015
Seite 73
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
wobei (α ∧ β)(p) = α(p) ∧ β(p). Weiter ist Ω0 (M ) = C ∞ (M ).
Für h ∈ C ∞ (M ) erhalte eine Abbildung
dh : M −→ T∗ M =
^1
T∗ M,
p 7−→ dp h
also gilt dh ∈ Ω1 (M ).
3.3 Das äußere Differential
Sei M m eine glatte Mannigfaltigkeit. Schreibe Ω• (M ) =
L∞
k=0
Ωk (M ) =
Lm
k=0
Ωk (M ).
Satz 3.1. Es gibt genau eine lineare Abbildung d : Ω• (M ) −→ Ω• (M ) genannt das äußere Differential (bzw. das Cartian-Differential) mit den Eigenschaften:
(i) Für alle f ∈ C ∞ (M ) ist df so wie in (2.1).
(ii) Es gilt im dΩk (M ) ⊂ Ωk+1 (M ), also erhalte einen Komplex
d
d
d
0 −→ Ω0 (M ) = C ∞ (M ) −→ Ω1 (M ) −→ Ω1 (M ) −→ . . .
(iii) Es gilt d ◦ d = 0.
(iv) Es gilt
d(α ∧ β) = ( dα) ∧ β + (−1)k α ∧ dβ
für alle α ∈ Ωk (M ), β ∈ Ω` (M ).
Bemerkung. In Satz 3.3.1 bedeuten die Bedingungen (ii) und (iii), dass die Folge Ω0 (M ) −→
Ω1 (M ) −→ . . . ein Kokettenkomplex ist.
Gilt Bedingung (iv), heißt d eine Antiderivation.
Proposition 3.2. Sei x : U −→ V ⊂◦ Rn eine Karte. Dann ist d als Abbildung Ω• (U ) −→
Ω• (U ) eindeutig.
Beweis: Schreibe ω ∈ Ωk (U ) als
ω=
X
ωi1 ...ik dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
i1 <...<ik
mit ωi1 ...ik ∈ C ∞ (U ).
Seite 74
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.3
Das äußere Differential
Rechne zunächst
d dxi1 ∧ . . . ∧ dxik = ( d dxi1 ) ∧ dxi2 ∧ . . . ∧ dxik − dxi1 ∧ d dxi2 ∧ . . .
| {z }
=0
i2
= − dxi1 ∧ |d dx
{z } + . . .
=0
= . . . = 0.
Das heißt es gilt
X
dω = d
ωi1 ...ik ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
X
( dωi1 ...ik ) ∧ dxi1 ∧ dxik + ωi1 ...ik d( dxi1 ∧ . . .)
=
|
{z
}
m
=0
X X
∂ωi1 ...ik
j
i1
ik
∧
.
.
.
dx
=
dx
∧
dx
{z
}
∂xj |
i <...<i j=1
1
wobei:
(∗) =


0
(3.1)
=(∗)
k
, j ∈ {i1 , . . . , ik }
2
.

6= 0 , sonst
(i) Sei (x1 , x2 ) ∈ R2 = M und x = id oder xi ∈ C ∞ (R2 ). Dann sei ω =
Beispiel 3.3.
x1 dx2 − x2 dx1 und damit
dω = dx1 ∧ dx2 + x1 d dx2 − dx2 ∧ dx1 − x2 ∧ d dx1 = 2 dx1 ∧ dx2 .
(ii) Sei ω = ex1 dx2 . Dann ist
dω = ex1 dx1 ∧ dx2 + ex1 d dx2 = ex1 dx1 ∧ dx2 .
Proposition 3.4. Sei x : U −→ V ⊂◦ Rn eine Karte. Dann existiert eine Abbildung
d : Ω• (U ) −→ Ω• (U )
wie in Satz 3.3.1.
Beweis: Sei ω wie in (3.1) definiert. Es ist d : Ωk (U ) −→ Ωk+1 (U ) linear für alle k.
(Eigenschaft (i))
Sei f ∈ C ∞ (U ) = Ω0 (U ). Dann ist
df =
SS 2015
m
X
∂f
dxj = df
j
∂x
j=1
Seite 75
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
also stimmen die Definitionen im Sinne von (3.1) und (??) überein.
(Eigenschaft (ii))
(Eigenschaft (iv))
Klar.
Wegen der Linearität von d und der Bilinearität von ∧ reicht es (iv) für
α = f dxi1 ∧ . . . ∧ dxik und für β = h dxj1 ∧ . . . ∧ dxj` zu zeigen.
Rechne dafür
( df )h+f dh
d(α ∧ β) =
z }| {
d(f h) ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxj`
= h df ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxjk + f dh ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxj`
und
( dα) ∧ β = h df ∧ xi1 ∧ . . . ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ xj`
und
dβ = dh ∧ xj1 ∧ . . . ∧ dxj` .
Und α ∧ dβ = (−1)k f dh ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxj` .
(Eigenschaft (iii), (a))
d2 f =
Sei f ∈ C ∞ (U ). Zeige d df = 0, wobei df =
P
∂f
∂xj
dxj . Dann
m
m X
X
∂2f
∂2f
i
j
dx
∧
dx
=
−
dxj ∧ dxi = − d2 f.
i ∂xj |
j ∂xi
{z }
∂x
∂x
i=1 j=1
i=1 j=1 | {z }
m X
m
X
antisymm.
symm.
Also ist d2 f = 0.
(Teil (b))
Für ω = f dxi1 ∧ . . . ∧ dxik rechne dω = df ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik , also d2 ω =
2
d2 f ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik − df ∧ d( dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ) = 0.
Lemma 3.5. Sei d : Ω• (M ) −→ Ω• (M ) linear so dass (i) bis (iv) aus Satz 3.3.1 erfüllt sind.
Dann ist d lokal. Das heißt für alle p ∈ M , alle k ∈ N0 und alle α, β ∈ Ωk (M ) sowie für alle
offenen Umgebungen U von p folgt aus αU = β U , dass dp α = dp β. Daraus folgt dann sogar
dαU = dβ U .
Beweis: Bestimme eine glatte Funktion η : M −→ [0, 1] mit η ≡ 1 in einer Umgebung von p
und supp(η) ⊂ U . Dann gilt
0 = d (η(α − β)) = dη ∧ (α − β) + η d(α − β)
| {z }
≡0
Seite 76
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.3
Das äußere Differential
auf M . Also gilt auf W , dass
0 = 0 ∧ (α − β) + 1 d(α − β)
=⇒
d(α − β)W = 0.
2
Proposition 3.6. In der Mannigfaltigkeit M existiert ein d wie in Satz 3.3.1.
Beweis: Zu jeder Karte x : U −→ V liefert (3.1) ein eindeutiges äußeres Differential
dx : Ω• (U ) −→ Ω• (U ).
Definiere zu ω ∈ Ωk (M ) ein dω ∈ Ωk+1 (M ) durch dp ω := dω p = dxp ω für eine Karte x : U −→
V mit p ∈ U .
Behauptung:
(i) Diese Definition ist unabhängig von der Wahl von x.
(ii) Die Abbildung p 7−→ dp ω ist glatt.
Sei x̃ : Ũ −→ Ṽ eine weitere Karte und p ∈ U ∩ Ũ . Schränke die Karten auf die Schnittmenge
(i)
U ∩ Ũ ein. Aus (3.1) sieht man, dass dxp ω sich unter Einschränkung nicht verändert.
Da aber Satz 3.3.1 auf U ∩ Ũ gilt, folgt aus der Eindeutigkeit (siehe Proposition 3.3.2), dass
dx̃|U ∩Ũ = dx|U ∩Ũ und damit folgt dxp ω = dx̃p ω.
Zu jedem p ∈ M wähle eine Karte x : U −→ V mit p ∈ U . Dann ist dx ω U = dω U und
damit ist dω U glatt auf U , denn dx ω U ist glatt, da ω U glatt ist.
(ii)
Damit ist d : Ω• (M ) −→ Ω• (M ) wohldefiniert und linear und erfüllt die Eigenschaften (i)-(iv),
2
da dies auf jeder Karte richtig ist und da d lokal ist.
Proposition 3.7. Die Abbildung d aus Proposition 3.3.6 ist eindeutig.
Beweis: Sei d̃ : Ω• (M ) −→ Ω• (M ) linear, so dass d̃ die Eigenschaften (i)-(iv) erfüllt.
Zeige d = d̃. Im Detail: Für alle Karten x : U −→ V zeige
d̃α U = ( dα) U
∀α ∈ Ωk (M ).
(3.2)
Da d und d̃ linear sind, kann man annehmen, dass αU = f dxi1 ∧ . . . ∧ dxik für f ∈ C ∞ (U ).
Zeige (3.2) in fixiertem p ∈ U .
Sei η : M −→ [0, 1] wie oben mit η ≡ 1 auf W 3 p.
SS 2015
Seite 77
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
Es gilt
( d̃α)p = d̃(ηα)p = d̃ ηf dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
= d̃ ηf d̃(ηxi1 ) ∧ . . . ∧ d̃((ηxik )) p
= d̃(ηf ) ∧ d̃(ηxi1 ) ∧ . . . ∧ d̃(ηxik ) + 0.
Mit der Lokalität (vgl. Lemma 3.3.5) folgt auf W dass ( d̃α)W = dαW , denn
d̃(ηf )W = d(ηf )W = df W
und
2
d̃(ηxi )W = d(ηxi )W = dxi W .
2
Beweis (Satz 3.3.1): Siehe Proposition 3.3.6 und Proposition 3.3.7.
Definition 3.8. Ist f : M −→ N eine glatte Abbildung. Dann definiere den Pullback (oder
Rückzug)
f ∗ : Ωk (N ) −→ Ωk (M ),
ω 7−→ f ∗ ω.
wobei für alle p ∈ M und X1 , . . . , Xk ∈ Tp M gelte, dass
f ∗ ωp (X1 , . . . , Xk ) = ωf (p) dp f (X1 ), . . . , dp f (Xk ) ∈ R.
Lemma. Es ist f ∗ linear über R und f ∗ (α ∧ β) = f ∗ α ∧ f ∗ β.
2
Beweis: Nachrechnen.
Lemma 3.9. Sei f : M −→ N glatt und ω ∈ Ωk (N ). Dann gilt f ∗ dω = df ∗ ω.
Beweis: Wähle Karten x : U −→ V ⊂◦ Rm von M und y : W −→ Z ⊂◦ Rn von N und zeige
(f ∗ dω)
= ( df ∗ ω)
. Dies zeigt dann die Behauptung da M von Karten
−1
−1
Q:=U ∩f
(W )
Q=U ∩f
(W )
überdeckt wird.
Wegen der Linearität kann man annehmen, dass ω Q = h dy i1 ∧ . . . ∧ dy ik für h ∈ C ∞ (Q) und
dy i ∈ Ω1 (Q).
Es gilt für X ∈ Tp M , dass (f ∗ dy i )p (X) = df (p) y i dp f (X) = dp (y i ◦ f )(X) =
∂(y i ◦f )
∂xj
dxj (X).
Rechne f ∗ ω = f ∗ h ·f ∗ dy i1 ∧ . . . ∧ f ∗ dy ik = (h ◦ f ) d(y i1 ◦ f ) ∧ . . . ∧ d(y ik ◦ f ).
|{z}
=h◦f
Es gilt d(f ∗ ω) = d(h ◦ f ) ∧ d(y i1 ◦ f ) ∧ . . ..
Seite 78
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.4
DeRham-Kohomologie
Außerdem gilt d(h ◦ f ) = dh ◦ df = f ∗ dh.
Das heißt d(f ∗ ω) = f ∗ dh ∧ f ∗ dy i1 ∧ . . . ∧ f ∗ dy ik = f ∗ dh ∧ dy i1 ∧ . . . ∧ dy ik = f ∗ ( dω). 2
3.4 DeRham-Kohomologie
Zu diesem und den folgenden Abschnitt(en) halten wir uns eng an [3, 3.5ff].
Definition 4.1. Sei M m eine glatte Mannigfaltigkeit und Ωk (M ) die Menge der k-Formen auf
M . Eine Form ω ∈ Ωk (M ) heißt geschlossen (oder ein Kozykel), falls dω = 0.
Die Menge aller Kozykel wird bezeichnet mit
Z k (M ) :=
n
o
ω ∈ Ωk (M ) dω = 0 = ker dΩk (M ) .
Eine Form ω ∈ Ωk (M ) heißt exakt (oder ein Korand), falls ein α ∈ Ωk−1 (M ) mit dα = ω existiert.
Die Menge aller Koränder wird bezeichnet mit
B k (M ) :=
n
o
dα α ∈ Ωk−1 (M ) = ı dΩk−1 (M ) .
Da d ◦ d = 0 folgt B k (M ) ⊂ Z k (M ) und der Quotientenraum H k (M ) := Z k (M )/B k (M ) heißt
die k-te deRham-Kohomologie von M .
Die Zahl bk (M ) := dim(H k (M )) ∈ N0 ∪ {∞} heißt die k-te Betti-Zahl von M .
Beispiel 4.2.
(i) Es gilt H 1 (Rm ) = 0 (das heißt jede geschlossene Form ist exakt).
(ii) Auf einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist jede m-Form geschlossen.
(iii) Schreibe (x1 , x2 )t ∈ R2 \ {0} in Polarkoordinaten, also x1 = r cos(ϕ) und x2 = r sin(ϕ). Für
r ∈ R+ und ϕ ∈ R eindeutig bis auf 2πZ.
Wähle ϕ als stetige (und damit glatte) Funktion auf U1 := R2 \ R≤0 × {0} .
Also ϕ(1, 0) = 0 und dϕ ∈ Ω1 (U1 ) und

 
 
dr cos(ϕ) + r(− sin(ϕ)) dϕ
cos(ϕ) −r sin(ϕ)
dr

=
=
 .
2
sin(ϕ) r cos(ϕ)
dϕ
dx
dr sin(ϕ) + r cos(ϕ) dϕ
dx1


Daraus folgt durch Invertieren:

r cos(ϕ)
1
 = 
r − sin(ϕ)
dϕ

SS 2015
dr



r sin(ϕ)
dx1


cos(ϕ)
dx2
Seite 79
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
Das heißt man erhält
1
− sin(ϕ) dx1 + cos(ϕ) dx2
r
1
= 2 (−x2 dx1 + x1 dx2 )
r
−x2 dx1 + x1 dx2
=
=: α
(x1 )2 + (x2 )2
dϕ =
Da d2 ϕ = 0 folgt, dass α geschlossen ist (auf U1 )
Eine analoge Rechnung mit U2 = R2 \ R≥0 liefert:
ϕ̃(−1, 0) = π, also ϕ̃ = ϕ für x2 > 0 und ϕ̃ = ϕ + 2π für x2 < 0.
Da dϕ̃ = α gilt (rechne!), folgt insgesamt, dass dα = 0 auf R2 \ {0}.
Aber: α ist nicht exakt, denn angenommen α = df für ein f ∈ C ∞ (R2 \ {0}). Dann gilt
0 = α − α = d(f − ϕ) auf U1 , also ist a := f − ϕ konstant auf U1 und wegen 0 = d(f − ϕ̃)
auf U2 ist b := f − ϕ̃ konstant auf U2 .
Damit ist ϕ̃ = ϕ äquivalent zu a = b und ϕ̃ = ϕ + 2π ist äquivalent zu b = a + 2π.
Zusammen folgt ein Widerspruch.
Es gilt also H 1 (R2 \ {0}) 6= 0.
Beweis: (i)
Sei α =
Pm
i=1
fi dxi eine 1-Form mit fi ∈ C ∞ (Rm ). Rechne
dα =
m
X
i=1
=1−δij
m X
m
X
∂fi z j }| {i
dfi ∧ dxi =
dx ∧ dx
∂xj
i=1 j=1
X ∂fi
X ∂fi
=
dxj ∧ dxi +
dxj ∧ dxi
j
j
∂x
∂x
i<j
j<i
X ∂fi
∂fj
i
j
=
− j dxi ∧ dxj +
dx
∧
dx
∂x
∂xi
i<j
X ∂fi
∂fj
i
=
− j +
∧ dx}j .
i
|dx {z
∂x
∂x
i<j
Basis
Das heißt es gilt 0 = dα genau dann, wenn
∂fi
∂xj
=
∂fj
∂xi
für alle i, j. Das ist nach Lemma I.1.14 aus
Analysis III äquivalent dazu, dass das Vektorfeld (f1 , . . . , fm )t : Rm −→ Rm eine Stammfunktion
h : Rm −→ Rm besitzt.
Pm ∂h
Pm
∂h
j
j
Es gilt ∂x
i = fi , also dh =
j=1 ∂xj dx =
j=1 fj dx = α. Das heißt α ist exakt.
Vm+1 ∗
(ii)
Tp M = {0}, also auch Ωm+1 (M ) = 0 und damit dΩm (M ) ≡ 0.
2
Notation 4.3. Ein Element in H k (M ) schreibt man [ω] wobei ω ∈ Z k (M ).
Lemma 4.4.
Seite 80
(i) Für α ∈ Z k (M ) und β ∈ Z ` (M ) folgt α ∧ β ∈ Z k+` (M ).
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.4
DeRham-Kohomologie
(ii) Für α ∈ Z k (M ) und β ∈ B ` (M ) folgt α ∧ β ∈ B k+` (M ).
(iii) Für α ∈ B k (M ) und β ∈ Z ` (M ) folgt α ∧ β ∈ B k+` (M ).
Beweis: (i)
Es gilt d(α ∧ β) = |{z}
dα ∧β ± α ∧ dβ = 0.
|{z}
=0
(ii)
=0
Sei β = dγ für γ ∈ Ω`−1 (M ). Dann gilt d(α ∧ γ) = |{z}
dα ∧γ ± α ∧ dγ = ±α ∧ β, also ist
|{z}
=0
=β
α ∧ β ∈ B k+` (M ).
(iii)
2
Analog.
Korollar 4.5. Es gibt eine eindeutige bilineare Abbildung
∧
H k (M ) × H ` (M ) −→ H k+` (M )
so dass das Diagramm
∧
Z k (M ) × Z ` (M )
π
H k (M ) × H ` (M )
∧
/ Z k+` (M )
/ H k+` (M )
kommutiert, also so, dass [α] ∧ [β] := [α ∧ β] wohldefiniert ist.
Beweis: Sei [α] = [α̃] und [β] = [β̃]. Das heißt α − α̃ ∈ B k (M ) und β − β̃ ∈ B ` (M ). Dann folgt
aus Lemma 3.4.4, dass
(iii)
(ii)
2
[α̃ ∧ β̃] = [α ∧ β̃] = [α ∧ β].
Korollar. Damit ist H • (M ) :=
L
k∈N0
H k (M ) zusammen mit ∧ eine R-Algebra mit [α] ∧ [β] =
(−1)k` [β] ∧ [α]. Das heißt H • (M ) ist graduiert kommutativ.
Korollar. Sei f : M −→ N glatt. Dann erhält man eine Abbildung f ∗ : Ωk (N ) −→ Ωk (M ).
Aus dα = 0 für α ∈ Ωk (M ) folgt dann d(f ∗ α) = f ∗ ( dα) = 0. Das heißt f ∗ Z k (N ) ⊂ Z k (M ).
Gilt andererseits α = dγ, so folgt f ∗ α = f ∗ ( dγ) = d(f ∗ γ). Also gilt f ∗ B k (N ) ⊂ B k (M ).
Erhalte daraus eine wohldefinierte lineare Abbildung
f ∗ : H k (N ) −→ H k (M ),
SS 2015
[α] 7−→ [f ∗ α].
Seite 81
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
Übersicht:
Ωk (N )
S
Z k (N )
S
B k (N )
f
f∗
/ Ωk (M )
S
f∗
/ Z k (M )
S
f∗
/ B k (M )
g
Korollar. Seien M −→ N −→ P Abbildungen und ω ∈ Ωk (P ). Dann gelten:
(g ◦ f )∗ ω = f ∗ (g ∗ ω)
(g ◦ f )∗ [ω] = f ∗ (g ∗ [ω])
f ∗ ([α] ∧ [β]) = f ∗ ([α]) ∧ f ∗ ([β]).
Für M = N und f = idM so gilt idM ∗ = f ∗ ω = ω, das heißt id∗M ist die Identität auf H k (M ).
Lemma 4.6. Ist f : M −→ N ein Diffeomorphismus. Dann ist f ∗ : H k (N ) −→ H k (M ) ein
Vektorraum-Isomorphismus. Insbesondere gilt bk (M ) = bk (N ).
Beweis: Schreibe g = f −1 : N −→ M . Dann gilt g ∗ ◦ f ∗ = (f ◦ g)∗ = (idN )∗ sowie f ∗ ◦ g ∗ =
2
(g ◦ f )∗ = (idM )∗ also g ∗ = (f ∗ )−1 .
Beispiel 4.7. R2 und R2 \ {0} sind nicht diffeomorph, da b1 (R2 ) = 0 und b1 (R2 \ {0}) ≥ 1.
3.5 Zwei Einschübe: Produkte und Formen auf Mannigfaltigkeiten mit Rand
3.5.1 Produkte von Mannigfaltigkeiten
Seien M m und N n glatte Mannigfaltigkeiten. Dannn ist M × N eine glatte Mannigfaltigkeit der
Dimension m + n.
Seien A M , A N Atlanten von M bzw. N . Dann ist
A M ×N :=
n
o
x × x̃ : U × Ũ : V × Ṽ x ∈ A M , x̃ ∈ A N
ein Atlas auf M × N .
Das Ziel des Abschnitts ist zu zeigen, dass T(p,q) (M × N ) = Tp M ⊕ Tq N .
Seite 82
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.5
Zwei Einschübe: Produkte und Formen auf Mannigfaltigkeiten mit Rand
Seien πM , πN die Projektionen von M × N auf M bzw. N . Dann erhält man Differentiale
d(p,q) πM : T(p,q) (M × N ) −→ Tp M
d(p,q) πN : T(p,q) (M × N ) −→ Tq N
Für p0 ∈ M erhalte die Injektion ιp0 : N −→ M × N via q 7−→ (p0 , q). Dies liefert das Differential
dq ιp0 : Tq N −→ T(p,q) (M × N ).
Analog für die andere Komponente.
Lemma 5.1. Es gilt T(p,q) (M × N ) ∼
= Tp M ⊕ Tq N .
Ein Isomorphismus ist gegeben durch:
X 7−→ d(p,q) πM (X) , d(p,q) πN (X)
dp ιq (XM ) , dq ιp (XN ) ←−[ (XM , XN )
Eine alternative Schreibweise wäre der Isomorphismus
[c] 7−→ [πM ◦ c] , [πN ◦ c] .
Beweis: In Karten wie oben gilt
T(p,q) (M × N ) =
∂ ∂ ∂ ∂
, . . . , m p,q , 1 p,q , . . . , n
1
p,q
∂x
∂x
∂ x̃
∂ x̃
Die Abbildungen in der Behauptung bilden offensichtlich diese Basis auf Basen von Tp M bzw.
2
Tp N ab. Damit folgt die Behauptung.
3.5.2 Formen auf Mannigfaltigkeiten auf Rand
Definition. Sei M m eine Mannigfaltigkeit mit Rand mit dem Atlas (ϕi : Ui −→ Vi )i . Dann heißt
f : M −→ R glatt, wenn für alle i die Abbildung f ◦ ϕ−1
glatt ist.
i
Dann ist der Tangentialraum von M in p definiert durch
Tp M := Dp :=
n
o
X : C ∞ (M ) −→ R X ist Derivation .
Es besteht eine Abbildung
πTM : TM =
a
Tp M −→ M,
Tp M 3 X 7−→ p.
p∈M
SS 2015
Seite 83
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
Es ist TM eine Mannigfaltigkeit mit Rand und es gilt
∂(TM ) =
a
Tp M
Γ(TM ) =
o
n
X : M −→ TM glatt πTM ◦ X = id .
p∈∂M
Vk ∗
Vk ∗
Vk
`
Vk
Analog definiert man T∗p M, T∗ M,
Tp M und
T M . Dann gilt ∂( T∗p M ) = p∈∂M
Tp M .
o
n
V
V
k ∗
k ∗
Tp M .
Setze nun noch Ωk (M ) := ω : M −→
T M ω(p) ∈
Beispiel 5.2.
(i) Sei N eine Mannigfaltigkeit. Dann betrachte N × [0, 1]. Es gilt ∂N = N ×
◦
{0} ∪ N × {1}.
Setze M := N × [0, 1] ⊂ N × R und sei p = (q, t) ∈ N × [0, 1].
Dann gilt Tp (N × [0, 1]) = Tp (N × R) = Tq N × Tt R
|{z}
Vk ∗
`
Vk ∗
Vk=R ∗
Weiter gilt
T M = p∈M
Tp (N × R) ⊂
T (N × R).
Es gilt ω ∈ Ωk (M ) genau dann, wenn eine offene Menge M̃ ⊂◦ N × R mit M ⊂ M̃ und ein
ω̃ ∈ Ωk (M̃ ) existiert so dass ω̃ M ≡ ω.
(ii) Zu jeder Mannigfaltigkeit mit Rand M gibt es eine Mannigfaltigkeit (ohne Rand) M̃ mit
M ⊂ M̃ so dass M̃ einen Atlas A M̃ besitzt, so dass
A M :=
o
n ϕU ∩M : U ∩ M −→ ϕ(U ∩ M ) ⊂◦ [0, ∞) × Rm−1 (ϕ : U −→ V ) ∈ A M̃
ein Atlas von M ist.
Die Abbildung M −→ M̃ ,
x 7−→ x ist ein Diffeomorphismus auf M \ ∂M .
◦
Als „Idee“ setze M̃ := M ∪ ∂M × (0, ε)
Es gilt ω ∈ Ωk (M ) genau dann, wenn ein M̃ wie oben existiert, sowie ω̃ ∈ Ωk (M̃ ) so dass
ω̃ M ≡ ω.
Für ein fixiertes M̃ ⊃ M gilt auch
ω ∈ Ωk (M )
⇐⇒
∃ω̃ ∈ Ωk (M̃ ) :
ω̃ M ≡ ω.
3.6 Poincaré-Lemma
Bemerkung. Sei M eine Mannigfaltigkeit. Betrachte zudem die Mannigfaltigkeit mit Rand
M × [0, 1]. Es gilt dann T(p,t) (M × [0, 1]) = Tp M × Tt R = Tp M × R. Dann besteht eine injektive
Abbildung
ιt : M −→ M × [0, 1],
Seite 84
p 7−→ (p, t).
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.6
Poincaré-Lemma
Für eine Karte x : U −→ V von M sind
x × t := x × id : U × [0, 1) −→ V × [0, 1),
(p, t) 7−→ (x(p), t)
x × (1 − t) : U × (0, 1] −→ V × [0, 1),
(p, t) 7−→ (x(p), 1 − t)
Karten von M × [0, 1].
Sei
∂
∂t
das zur t-Komponente gehörende Koordinatenfeld
∂ = [cp,t0 ]
∂t (p,t0 )
mit cp,t0 = (p, t0 + t)
t
dt zugehörige 1-Form, Ableitung von M × [0, 1] −→ [0, 1]
∂
Es gilt dann dt ∂t
= 1 und dtTp M ×{0} = 0, sowie t ◦ ιt0 = t0 = const und dt ◦ dιt0 = 0 und
im( dιt0 ) = Tp M × {0}.
Lemma 6.1. Sei ω ∈ Ωk (M × [0, 1]) für k ≥ 1. Dann existieren eindeutige α ∈ Ωk−1 (M × [0, 1])
und β ∈ Ωk (M × [0, 1]) mit
(i) ω = dt ∧ α + β.
(ii) β
∂
∂t , X1 , . . . , Xk−1
(iii) Falls k ≥ 2 ist, gilt α
= 0 für alle (p, t) ∈ M × [0, 1] und alle Xi ∈ T(p,t) (M × [0, 1]).
∂
∂t , X2 , . . . , Xk−1
= 0 für alle (p, t) ∈ M ×[0, 1] und alle X2 , . . . , Xk−1 ∈
T(p,t) (M × [0, 1]).
Beweis: (Eindeutigkeit)
( dt ∧ α)
Seien α, β wie oben. Dann rechne
∂
, X1 , . . . , Xk−1
∂t
∂
1
Altk ( dt ⊗ α)
,...
=
(k − 1)!
∂t
1
∂
(iii)
=
dt
Altk−1 (α)(X1 , . . . , Xk−1 )
(k − 1)!
∂t
| {z }
(∗)
=1
= α(X1 , . . . , Xk−1 ).
Zu (∗):
Denn dt = Alt1 ( dt) und α =
1
(k−1)!
(+)
Altk−1 (α).
Also gilt
α(X1 , . . . , Xk−1 ) = ω
∂
, X1 , . . . , Xk−1
∂t
(†)
wegen (i),(ii) und (+).
Offenbar gilt β = ω − dt ∧ α und damit folgt die Eindeutigkeit.
(Existenz)
Definiere α wie in (†). Dann ist α ∈ Ωk−1 (M × [0, 1]). Setze weiter β := ω − dt ∧ α.
Damit folgt (i).
SS 2015
Seite 85
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
Rechne nun
α
∂
, X2 , . . . , Xk−1
∂t
=ω
∂ ∂
, , X2 , . . . , Xk−1
∂t ∂t
=0
also folgt (iii).
Und schließlich
β
∂
, X1 , . . . , Xk−1
∂t
=ω
∂
, X1 , . . . , Xk−1
∂t
− ( dt ∧ α)
|
∂
, X1 , . . . , Xk−1 = 0.
∂t
{z
}
=α(X1 ,...,Xk−1 )
2
Und damit folgt auch (ii).
Definition 6.2. Sei ω = dt ∧ α + β wie oben. Dann ist Iω ∈ Ωk−1 (M ) definiert durch
Z
1
(Iω)p (X1 , . . . , Xk−1 ) :=
ι∗t α)p (X1 , . . . , Xk−1 ) dt =
Z
0
1
α(p,t) dιt (X1 ), . . . , dιt (Xk−1 ) dt
0
für alle p ∈ M und alle Xi ∈ Tp M . Es heißt Iω das Faser-Integral für M × [0, 1] −→ M .
Satz 6.3. Für alle ω ∈ Ωk (M × [0, 1]) und alle k ∈ N0 gilt
d(Iω) + I( dω) = ι∗1 ω − ι∗0 ω.
Beweis: Sei x : U −→ V eine Karte von M . Offenbar gilt
I ω U ×[0,1] = I(ω)U
∀ω ∈ Ω• (M × [0, 1]).
Analog für d, ι∗0 und ι∗1 .
Also kann M = U angenommen werden.
Wegen Linearität von I, d, ι∗0 und ι∗1 genügt es die folgenden Fälle zu betrachten:
(i) ω = f dxj1 ∧ . . . ∧ dxjk
(ii) ω = f dt ∧ dxj2 ∧ . . . ∧ dxjk .
(i)
Zerlege ω = dt ∧ α + β. Also α = 0 und I(ω) = 0. Weiter
dω =
Seite 86
m
X
∂f
∂f
dxj ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjk +
dt ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjk .
j
∂x
∂t
j=1
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.6
Poincaré-Lemma
Das heißt
1
∂f jk
j1
∧
.
.
.
∧
dx
)(X
,
.
.
.
,
X
)
dt
(
dx
1
k
∂t (p,t)
0
= f (p, 1) − f (p, 0) dxj1 ∧ . . . ∧ dxjk (X1 , . . . , Xk )
Z
I( dω)p (X1 , . . . , Xk ) =
= (ι∗1 ω)p (X1 , . . . , Xk ) − (ι∗0 ω)p (X1 , . . . , Xk ).
(ii)
Aus der Zerlegung ω = dt ∧ α + β folgt β = 0. Dann ( dxj ( dιt (X)) = dxj (X))
Z
1
f (p, t) dxj2 ∧ . . . ∧ dxjk (X1 , . . . , Xk−1 ) dt
(Iω)p = (X1 , . . . , Xk−1 ) =
0
Z 1
f (p, t) dt dxj2 ∧ . . . ∧ dxjk (X1 , . . . , Xk−1 ).
=
0
Kurz also:
1
Z
Iω =
f (•, t) dt
dxj2 ∧ . . . ∧ dxjk .
0
und damit
dIω =
X Z
0
j
1
∂f
dt
∂xj
dxj ∧ dω j2 ∧ . . . ∧ dω jk .
Weiter


X ∂f
∂f
dω = 
dxj ∧ dt ∧ dxj2 ∧ . . . ∧ dxjk  +
dt ∧ dt ∧ . . .
j
∂x
∂t | {z }
j
=0
X ∂f
=−
dt ∧ dxj ∧ dxj2 ∧ . . . ∧ dxjk .
j
∂x
j
Und außerdem

XZ
(I dω)p = − 
j
0
1

∂f
(p, t) dt dxj ∧ dxj2 ∧ . . . ∧ dxjk = −( dIω)p .
∂xj
Rechne nun
≡const
ι∗t0 ( dt)(X)
z }| {
= dt( dιt0 (X)) = d(t ◦ ιt0 )(X) = 0.
| {z }
=0
Also
ι∗t (f dt ∧ dxj2 ∧ . . .) = ι∗t ( dt) ∧ι∗t (f dxj2 ∧ . . . ∧ dxjk ) = 0.
| {z }
2
=0
SS 2015
Seite 87
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
Beispiel 6.4. Sei k = 0 und M = {∗}, sowie ω ∈ Ω0 M × [0, 1] = C ∞ [0, 1] . Dann gilt
Iω = 0 ∈ Ω−1 (M ) = {0}.
R1
Weiter gelten I dω = 0 f 0 (t) dt und ι∗t ω = f ◦ ιt = f (t), also folgt
Z
1
f 0 (t) dt = f (1) − f (0).
0
Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung.
Korollar 6.5. Für ω ∈ Z k M × [0, 1] gilt ι∗1 ω − ι∗0 ω = d(Iω).
Definition 6.6. Seien X und Y topologische Räume. Zwei stetige Abbildungen f0 , f1 : X −→ Y
heißen homotop , falls es eine stetige Abbildung F : X × [0, 1] −→ Y
existiert so dass F ◦ ι0 = f0
und F ◦ ι1 = f1 . Die Abbildung F heißt dann Homotopie von f0 nach f1 .
Sind M und N Mannigfaltigkeiten und f0 , f1 : M −→ N glatt, so heißen f0 , f1 glatt homotop,
falls eine glatte Homotopie existiert.
Bemerkung. Sind f0 , f1 : M −→ N glatte Abbildungen. Dann sind f0 , f1 genau dann glatt
homotop, wenn sie homotop sind.
2
Beweis: Ohne Beweis.
Definition. Eine stetige Abbildung f : X −→ Y topologischer Räume oder von Mannigfaltigkeiten heißt eine (glatte) Homotopieäquivalenz, falls es eine stetige (glatte) Abbildung g : Y −→ X
gibt, so dass g ◦ f (glatt) homotop zu idX ist und f ◦ g (glatt) homotop zu idY ist.
In diesem Fall heißen X und Y homotopieäquivalent.
Bemerkung. Homotopie, glatte Homotopie und glatte Homotopieäquivalenzen sind Äquivalenzrelationen.
Beispiel. Es ist Rn \ {0} homotopieäquivalent zu Sn−1 vermöge der Abbildungen
x 7−→
x
,
kxk
x ←−[ x.
Korollar 6.7. Sind f0 , f1 : M −→ N homotope glatte Abbildungen und ω ∈ Z k (N ). Dann ist
f0∗ ω − f1∗ ω exakt. Insbesondere ist
f0∗ = f1∗ : H k (N ) −→ H k (M ),
Seite 88
[ω] 7−→ [f0∗ ω] = [f1∗ ω].
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.6
Poincaré-Lemma
Beweis: Sei F eine glatte Homotopie. Das heißt F ◦ ι0 = f0 und F ◦ ι1 = f1 . Beachte
d(F ∗ ω) = F ∗ (|{z}
dω ) = 0.
=0
Mit Korollar 3.6.5 folgt, dass damit
f1∗ ω − f0∗ ω = (F ◦ ι1 )∗ ω − (F ◦ ι0 )∗ ω = ι∗1 F ∗ ω − ι∗0 F ∗ ω
exakt ist, also gilt f1∗ ω − f0∗ ω ∈ B k (M ) und damit [f1∗ ω] = [f0∗ ω] ∈ H k (M ).
2
Korollar 6.8. Ist f : M −→ N eine Homotopieäquivalenz. Dann ist f ∗ : H k (N ) −→ H k (M )
ein Isomorphismus. Weiter ist f ∗ : H • (N ) −→ H • (M ) ein Isomorphismus Z-graduierter reellen
Algebren.
Beweis: Sei g : N −→ M so dass g ◦ f homotop zu idM und f ◦ g homotop zu idN ist. Mit
Hilfe von Korollar 3.6.7 sieht man, dass (f ◦ g)∗ = (idN )∗ = idH k (N ) : H(N ) −→ H(N ) und
(g ◦f )∗ = (idm )∗ = idH k (M ) : H(M ) −→ H(M ). Dann gilt g ∗ ◦f ∗ = (f ◦g)∗ = (idN )∗ = idH k (N ) .
2
Ebenso f ∗ ◦ g ∗ = idH k (M ) .
Definition 6.9. Ein topologischer Raum heißt zusammenziehbar, falls er homotopieäquivalent
zu {∗} ist.
Lemma. Sei X ein topologischer Raum. Dann ist X genau dann zusammenziehbar, wenn für ein
p ∈ X eine stetige Homotopie H : X × [0, 1] −→ X existiert mit
H(x, 1) = x, H(x, 0) = p
für alle x ∈ X.
Beweis: Siehe Übungsblatt 13, Aufgabe 2.
2
Beispiel 6.10. Ist M ⊂◦ Rm sternförmig mit Zentrum p, dann ist
H(x, t) := (1 − t)p + tx
eine glatte Homotopie von idM auf const, also ist M zusammenziehbar.
SS 2015
Seite 89
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
Korollar 6.11. Ist M zusammenziehbar, so gilt
H k (M ) ∼
= H k ({∗}) =


R
, k=0

0
, k 6= 0.
Betrachte
Def
0 = Ω−1 ({∗}) −→ Ω0 ({∗}) ∼
= R −→ Ω1 ({∗}) = 0.
Korollar 6.12 (Poincaré-Lemma). Ist M eine sternförmige offene Teilmenge von Rm , dann
ist jede geschlossene k-Form (für k ≥ 1) bereits exakt.
Korollar 6.13. Sei M = R3 .
(i) Sei X ∈ X(M ) mit rot(X) = 0. Dann existiert ein f ∈ C ∞ (M ) mit X = grad(f ). (k = 1)
(ii) Für X ∈ X(M ) mit div(X) = 0, dann existiert ein Y ∈ X(M ) mit rot(Y ) = X. (k = 2)
(iii) Für alle f ∈ C ∞ (M ) existiert ein X ∈ X(M ) mit div(X) = f . (k = 3)
3.7 Orientierung
Sei V ein Vektorraum und m := dim(V ). Dann gilt dim(
Vm
V ) = 1, also hat
Vm
V \ {0} zwei
Zusammenhangskomponenten.
Definition 7.1. Eine Orientierung OV auf V ist eine (der beiden) Zusammenhangskomponente
von
Vm
V \ {0}.
Ein orientierter Vektorraum ist ein Paar (V, OV ), wobei OV eine Orientierung auf V ist. Schreibe
oft V für (V, OV ).
Eine Basis (e1 , . . . , em ) von V ist positiv orientiert (bzw. negativ orientiert), falls e1 ∧ . . . ∧ em ∈ OV
(bzw. e1 ∧ . . . ∧ em ∈
/ OV ).
Bemerkung 7.2. Ist e1 , . . . , em eine positiv orientierte Basis von V und (e∗i )i die duale Basis
Vm ∗
V .
in V ∗ . Dann ist OV ∗ = te∗1 ∧ . . . ∧ e∗n t ∈ R>0 eine Zusammenhangskomponente von
Das heißt Orientierungen von V stehen in (1 : 1)-Korrespondenz zu Orientierungen von V ∗ .
Bemerkung 7.3 (Äquivalente Beschreibung). Man führt auf dem Raum aller Basen eine
Äquivalenzrelation ein: Seien dazu b1 , . . . , bm und c1 , . . . , cm Basen auf V . Schreibe dann (b1 , . . . , bm ) =
(c1 , . . . , cm ) · A für A ∈ Mm (R). (A: Basiswechselmatrix) Dann hat (bi ) diesselbe Orientierung wie
(ci ) genau dann, wenn det(A) > 0.
Seite 90
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.7
Orientierung
Definition 7.4. Sei M eine Mannigfaltigkeit. Eine Orientierung von M ist eine Familie (OTp M )p∈M ,
wobei OTp M eine Orientierung auf Tp M ist, die stetig in p ist im Sinne von:
Vm ∗
Es gibt eine stetige Abbildung ω : M −→
T M so, dass ω(p) 6= 0 für alle p ∈ M und ω(p)
definiert die Orientierung OTp M auf Tp M .
Das heißt eine Basis (b1 , . . . , bm ) von Tp M ist genau dann positiv orientiert, wenn ω(p)(b1 , . . . , bm )
positiv ist.
Definition 7.5. Eine orientierte Mannigfaltigkeit ist ein Paar (M, OM ) (oft kurz nur M ), wobei
OM eine Orientierung von M ist.
Beispiel 7.6.
(i) Rm trägt als Vektorraum die Orientierung te1 ∧ . . . ∧ en t ∈ R>0 . Das
heißt die Standard-Basis ist positiv orientiert, also ist eine beliebige Basis (vi )i genau dann
positiv orientiert, wenn det(vi ) > 0.
Für Rm als Mannigfaltigkeit gilt Tp Rm ∼
= Rm für alle p. Ist x = idRm die Identität, betrach
tet als Karte, dann wird die obige Orientierung durch dx1 ∧ . . . ∧ dxm p induziert. Diese
Orientierung ist stetig in p, denn ω = dx1 ∧ . . . ∧ dxm ist stetig (sogar glatt).
(ii) Ist x : U −→ V eine Karte von M , so legt dx1 ∧ . . . ∧ dxm eine Orientierung auf U ⊂◦ M fest.
(iii) Auf einer Mannigfaltigkeit sei ein Atlas gegeben. Durch Einschränken der Karten auf Zusam
menhangskomponenten erhält man einen Atlas xα : Uα −→ Vα α ∈ A , so dass alle Uα
zusammenhängend sind.
Wähle eine Partition der Eins (ηα )α . Ist nun OM eine Orientierung auf M , dann gibt es
(α )α ∈ {±1} mit α dx1α ∧ . . . ∧ dxm
.
α p ∈ OT∗
pM
Dieses α ist lokal konstant und hängt deswegen nur von α ab.
P
m
m
1
Für ω :=
α ηα dxα ∧ . . . ∧ dxα ∈ Ω (M ) gilt somit ω(p) 6= 0.
Also kann das ω in
Definition 3.7.5 glatt gewählt werden.
(iv) Ist M m ⊂ Rm+1 eine Hyperfläche und ν : M −→ Rm+1 ein Einheitsnormalenfeld. Dann
definiert ωp (X1 , . . . , Xm ) := det(ν, X1 , . . . , Xm ) für Xi ∈ Tp M eine Orientierung auf M .
(v) Ist umgekehrt OM eine Orientierung von M m ⊂ Rm+1 und b1 , . . . , bm eine positiv orientierte
Basis von Tp M , dann definiere ν(p) als den Vektor in Rm+1 so dass kν(p)k = 1, ν(p) ⊥ Tp M
und {ν(p), v1 , . . . , bm } ist positiv orientiere Basis von Rm+1 .
Man kann zeigen, dass ν(p) unabhängig von den bi und glatt ist. (Möbiusband nicht orientierbar)
(vi) Sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit und g eine Riemannsche Metrik (zB. eine Hyperfläche
im Rm+1 mit der 1. Fundamentalform).
Sei e1 (p), . . . , em (p) eine positiv orientierte Orthonormalbasis von (Tp M, gp ) und e∗i (p) die
SS 2015
Seite 91
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
dazu duale Basis. Dann ist
dvolgp := e∗1 ∧ . . . ∧ e∗m ∈
m
^
T∗p M
unabhängig von der Wahl der ei . Außerdem gilt dvolg ∈ Ωm (M ) und dvolg 6= 0.
Durch Nachrechnen ergibt sich:
Ist x : U −→ V eine Karte von M und gij := g
∂
∂
∂xi , ∂xj
: U −→ R. Ist x orientierungser-
haltend (vgl. Definition 3.7.7), so gilt
dvolg =
q
det(gij ) dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
Definition 7.7. Sei f : M m −→ N m ein lokaler Diffeomorphismus orientierter Mannigfaltigkeiten. Dann heißt f orientierungserhaltend (bzw. orientierungsumkehrend), falls für alle p ∈ M die
Abbildung dp f : Tp M −→ Tf (p) N positiv orientierte Basen auf positiv orientierte (bzw. negativorientierte) Basen abbildet.
Bemerkung. Die Begriffe „orientierungserhaltend“ und „orientierungsumkehrend“ sind nur dann
Gegenteile, wenn die Mannigfaltigkeit zusammenhängend und nicht-leer ist.
Bemerkung. Sei M eine Mannigfaltigkeit mit Orientierung OM und x : U −→ Rm eine Karte von M . Dann ist x genau dann orientierungserhaltend, wenn
dx1 ∧ . . . ∧ dxm
auf U eine
Orientierung OU induziert.
Lemma 7.8. Eine orientierte Mannigfaltigkeit besitzt immer einen Atlas, der nur aus orientierungserhaltenden Karten besteht (falls dim M ≥ 1).
Beweis (Skizze): (1. Schritt)
Schränke alle Karten auf Zusammenhangskomponenten ein.
Erhalte einen Atlas {xα : Uα −→ Vα }α∈A so dass alle Uα zusammenhängend sind.
(2. Schritt)
Ersetze alle orientierungsumkehrenden xα durch s ◦ xα und Vα durch s(Vα ) mit
s = diag(−1, 1, . . . , 1) ∈ Mm×m (R).
2
Bemerkung 7.9. Sei M m eine Mannigfaltigkeit mit Rand, m ≥ 1. Für alle p ∈ ∂M ist
das Differential der Inklusion ι : ∂M −→ M,
x 7−→ x eine lineare Abbildung dp ι : Tp ∂M :=
Tp (∂M ) −→ Tp M . Werden Tangentialvektoren in Tp M durch Derivationen in p beschreiben (wie
in Abschnitt 3.5.2) so ist dp ι(X))(f ) = X(f ◦ ι) oder in anderen Worten ∂ dp ι(X)) f = ∂X (f |∂M )
für alle X ∈ Tp (∂M ), f ∈ C ∞ (M ) , siehe Bemerkung 2.5.4. Werden hingegen Tangentialvektoren
als Äquivalenzklassen von Kurven beschreiben (was am Rand nicht im Detail formal ausgeführt
Seite 92
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.8
Integration von Formen und Satz von Stokes
wurde) dann gilt dp ι([c]) = [c], wobei c : (−, ) −→ ∂M eine glatte Kurve ist mit c(0) = p. Mit
Hilfe der Abbildung dp ι identifizieren wir Tp ∂M mit dp ι(Tp ∂M ).
Ein Vektor v ∈ Tp M \ Tp ∂M heißt nach außen gerichtet, falls v = [c] für c : (−, 0] −→ M glatt
mit c(0) = p, oder äquivalent: falls ∂v f ≤ 0 für alle glatten f : M −→ [0, ∞) mit f |∂M = 0.
Angenommen M sei orientiert. Ist ω ∈ Ωm (M ) sodass ω die Orientierung auf M definiert und
`
ist v : ∂M −→ p∈∂M Tp M überall nach außen gerichtet, dann versehen wir ∂M mit der durch
ω(v, •, . . . , •) definierten Orientierung, die wir die auf ∂M induzierte Orientierung nennen. Mit
dieser Definition sieht man, dass eine Basis b1 , . . . , bm−1 von Tp ∂M positiv orientiert ist, genau
dann, wenn v, b1 , . . . , bm−1 eine positiv orientierte Basis von Tp M ist.
Sind v1 und v2 beide in Tp M \ Tp ∂M nach außen gerichtet, dann existiert ein r > 0 mit rv1 − v2 ∈
Tp ∂M . Das heißt die Definition der Orientierung von ∂M ist unabhängig von der Wahl von v und
ω und von der Wahl der Basis (bi ).
3.8 Integration von Formen und Satz von Stokes
Definition 8.1. Sei M m eine orientierte Mannigfaltigkeit mit Rand und x : U −→ V eine
orientierungserhaltende oder –umkehrende Karte. Sei weiter β ∈ Ωm (M ) so dass supp(β) ⊂ U
kompakt.
Schreibe β = f dx1 ∧ . . . ∧ dxm mit f ∈ C ∞ (U ) und supp(f ) = supp(β) ⊂ U . Dann definiere
Z
x
Z
(f ◦ x−1 ) dλm ,
β :=
U
V
falls x orientierungserhaltend ist. Hierbei ist dλm das in Analysis III definierte Lebesgue-Maß auf
R und das Integral ist das in Analysis III definierte Lebesgue-Integral.
Ist x orientierungsumkehrend, so definiere
Z
x
Z
β := −
U
(f ◦ x−1 ) dλm .
V
Lemma 8.2. Die Definition 3.8.1 ist unabhängig von der Wahl der Karte x: Ist y : W −→ Z
eine weitere Karte (orientierungserhaltend oder –umkehrend) mit supp(β) ⊂ W . Dann gilt
Z
x
Z
y
β.
β=
U
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W
Seite 93
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
Beweis: Œ gilt U = W (sonst ersetze beide durch U ∩ W ). Schreibe
ω = f dx1 ∧ . . . ∧ dxm = f˜ dy 1 ∧ . . . ∧ dy m
für f, f˜ ∈ C ∞ (U ). Mit der Transformationsformel (Analysis III, Kapitel 2, Satz 7.1) folgt:
Z
(f ◦ x
−1
) dλ
V
m
Z
(f ◦ y
=
−1
m Trafo
) ◦ ϕ dλ
Z
(f ◦ y −1 ) · | det(ϕ0 (ϕ−1 (•)))|−1 dλm = (∗).
=
V
Z
Für x0 := x(p0 ) und y0 := y(p0 ) schreibe die Jacobi-Matrix
ϕ0 (x0 ) = (aji (x0 ))ij . Dann gilt
ϕj = y j ◦ x−1 und dp0 y j = aji (x0 ) dp0 xi , also
dy 1 ∧ . . . ∧ dy m = det(aji ) dx1 ∧ . . . ∧ dxm
und somit f = f˜ det(aji ).
R
Rx
Ry
Erhalte: (∗) = Z (f˜ ◦ y −1 ) dλm . Dies ergibt insgesamt W β = W β.
(Orientierungsumkehrend)
Die Argumente sind identisch im Fall, dass x und y orientierungs-
umkehrend sind. Im Fall, dass x und y orientierungserhaltend sind, ist det(aji ) = det(ϕ0 ) > 0.
Ist eine der Karten orientierungserhaltend und die andere –umkehrend, so ist det(ϕ0 ) < 0. Das
dadurch entstehende Vorzeichen verschwindet im Ergebnis auf Grund der Vorzeichenwahl in
2
Definition 3.8.1.
Bemerkung 8.3. Ist M m ⊂ Rn eine orientierte Untermannigfaltigkeit mit 1. Fundamentalform
g. Diese ist eine Riemannsche Metrik (vgl. Beispiel 2.6.5).
Sei dvolg ∈ Ωm (M ) wie in Beispiel 3.7.6. Dann schreibe β ∈ Ωm (M ) als β = f dvolg . Dann gilt
R
R
R
f dvolg = M β = M f dµM .
M
2
Beweis: Einfach in Karten nachrechnen.
Definition 8.4. Sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit (mit Rand), β ∈ Ωm (M ) mit supp(β)
kompakt.
Sei A = {xα : Uα −→ Vα }α∈A ein Atlas von M , der aus orientierungserhaltenden Karten besteht.
Bestimme eine Partition der Eins (ηα )α mit supp(ηα ) ⊂ Uα .
Setze  := α ∈ A supp(ηα ) ∩ supp(β) 6= ∅ . Nach dem folgenden Lemma ist diese Menge endlich.
Definiere nun
Z
β :=
M
Seite 94
XZ
α∈Â
xα
(ηα β) ∈ R
Uα
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.8
Integration von Formen und Satz von Stokes
Beachte supp(ηα β) ⊂ supp(ηα ) ∩ supp(β) ⊂ Uα .
Bemerkung. Aus Lemma 3.8.2 folgt, dass die Definition von
R
M
β unabhängig von der Wahl
des Atlanten und der Partition der Eins ist.
Lemma. Sei M eine Mannigfaltigkeit und β ∈ Ωm (M ). Sei weiter ηα eine Partition der Eins.
Dann ist die Menge
α ∈ A supp(ηα ) ∩ supp(β) 6= ∅ endlich.
Beweis: Dies folgt aus der Kompaktheit von supp(β) und der lokalen Endlichkeit der Partition
der Eins, denn zu p ∈ supp(β) wähle eine offene Umgebung Up , die nur von endlich vielen
S
supp(ηα ) getroffen wird (lokale Endlichkeit). Dann gilt supp(β) ⊂ p∈supp(β) Up . Nutze die
2
Kompaktheit um eine endliche Teilüberdeckung zu wählen und die Behauptung folgt.
Bemerkung 8.5.
(i) Ist g eine Riemannsche Metrik auf M (kurz: (M, g) ist eine Riemann-
sche Mannigfaltigkeit) , dann kann man wie in Kapitel 1 definieren wann Abbildungen messbar bzw. integrierbar sind. Mit diesem Integral integriert man Funktionen, das Integral hängt
von der Riemannschen Metrik, benötigt aber keine Orientierung (und ist deswegen auch für
nicht-orientierbare Mannigfaltigkeiten definierbar und hängt — falls M orientierbar ist —
auch nicht von der Orientierung ab.
(ii) Ist M eine m-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit. Dann liefert Definition 3.8.4 ein Integral von m-Formen, das von der Orientierung aber nicht von der Wahl der Riemannschen
Metrik abhängt.
Ist M orientiert und g eine Riemannsche Metrik, dann gilt
R
M
f dvolg =
R
M
f dµg . Je nach
Anwendung ist der eine oder andere Integral-Begriff praktischer.
(iii) Ist f : M m −→ N m ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus und β ∈ Ωm (N ), dann
R
R
gilt M f ∗ β = N β.
Notation 8.6. Sei ι : ∂M −→ M und ω ∈ Ωm−1 (M ). Dann schreibe
R
∂M
ω :=
R
∂M
ι∗ ω.
Satz 8.7 (Stokes). Sei M m eine Mannigfaltigkeit mit Rand und ω ∈ Ωm−1 (M ) mit kompaktem
Träger. Dann gilt
Z
Z
ω.
dω =
M
Beweis: (1. Fall)
∂M
Sei x : U −→ V eine orientierungsumkehrende Karte von M und sei
supp(ω) ⊂ U .
Schreibe
ω=
SS 2015
X
dk ∧ . . . ∧ dxm .
fk dx1 ∧ . . . ∧ dx
Seite 95
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
dk , dass dxk weggelassen wird.
Dabei bedeutet dx
Rechne nun
=0 für j6=k
}|
{
z
m X
m
X
∂fk
j
1
dk ∧ . . . ∧ dxm
dω =
dx
∧
dx
∧
.
.
.
∧
dx
∂xj
j=1
k=1
=
m
X
(−1)k−1
k=1
Es gilt supp(ω) =
Sm
k=1
∂fk
dx1 ∧ . . . ∧ dxm .
∂xk
supp(fk ). Definiere nun
f˜k (x̃) :=


fk ◦ x−1 (x̃) , x̃ ∈ V

0
, x̃ ∈ [0, ∞) × Rm−1 \ V.
Dann hat f˜k kompakten Träger.
Also gilt nun
Z
m
X
∂ f˜k
(−1)k−1 dλm
k
[0,∞)×Rm−1 k=1 ∂x
Z
m
X
∂ f˜k
=
(−1)k
dx1 . . . dxm =: (∗)
k
∂x
m−1
[0,∞)×R
Z
dω = −
M
k=1
Da
∂ ∂xi p
gerichtet,
∂
eine negativ orientierte Basis von Tp M ist, und da − ∂x
1 auf ∂M nach außen
1≤i≤m
∂ ∂ ist ∂x
,
.
.
.
,
2
m
∂x
p
p
Rechne nun
∗
ι ω=
m
X
eine positiv orientierte Basis von Tp (∂M ).
∗ dxk ∧ . . . ∧ ι∗ dxm .
fk ∂M ι∗ dx1 ∧ . . . ∧ ι\
k=1
Wegen
ι∗ dx` = d x` ∂M =


0
, `=1

 dxk
, ` 6= 1
gilt also
ι∗ ω = f1 ∂M dx2 ∧ . . . ∧ dxm
und damit
Z
∂M
ι∗ ω =
Z
V ∩({0}×Rm−1 )
(f1 ◦ x−1 ) dx2 . . . dxm =
Z
f˜1 dx2 . . . dxm =: (†)
{0}×Rm−1
Es ist dabei (x2 , . . . , xm ) : U ∩ ∂M −→ V ∩ ({0} × Rm−1 ) eine orientierungserhaltende Karte
von ∂M .
Seite 96
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.8
Integration von Formen und Satz von Stokes
Es ist zu zeigen, dass (∗)=(†).
Für k = 1 gilt
∂ f˜k
Fubini
dx1 . . . dxm =
k
∂x
[0,∞)×Rm−1
Z ∞ ˜
Z
Z
∂ f1
1
2
m
dx
dx
.
.
.
dx
=
−
f˜1 (0, x2 , . . . , xm ) + 0 dx2 . . . dxm = (†)
1
∂x
Rm−1
0
Rm−1
k
Z
(−1)
Für k 6= 1 gilt
(−1)
k
Z
[0,∞)×Rm−1
(−1)
k
Z
∞
Z
[0,∞)×Rk−2 ×{0}×Rm−k
∂ f˜k 1
(x , . . . , xm ) dxk
∂xk
{z
}
−∞
|
∂ f˜k
dx1 . . . dxm =
∂xk
!
dk . . . dxm = 0.
dx1 . . . dx
=0
Summieren über alle k liefert also (∗) = (†).
(2. Fall)
Sei ω allgemein. Wähle eine Partition der Eins (ηα )α wobei supp(ηα ) ⊂ Uα . Dann gilt
nach 1. Fall
Z
Z
d(ηα ω) =
ηα ω.
M
∂M
Also folgt der gesamte Beweis, denn
Z
Z
dω =
M
X
d(ηα ω) =
M α∈A
=
Z
ηα ω =
∂M
Beispiel 8.8. Sei M = [0, 1] 3 t. Dann gilt
R
[0,1]
d(ηα ω)
M
α
XZ
α
XZ
X
∂M
α
df =
R
Z
ηα ω =
[0,1]
2
ω.
∂M
f 0 dt für f ∈ C ∞ ([0, 1]).
Der Satz von Stokes liefert dann
Z
Z
f = f (1) − f (0).
df =
[0,1]
∂[0,1]
Also verallgemeinert der Satz von Stokes den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Notation. Schreibe ∂ top A für den Rand im Sinne von topologischen Räumen und ∂ Mfg für den
Rand im Sinne der Mannigfaltigkeiten.
Definition. Ein Gebiet Ω ⊂ Rm hat einen glatten Rand, wenn ∂ top Ω eine glatte Hyperfläche in
Rm ist und ∂ top Ω = ∂ top (Rm \ Ω) gilt.
Beispiel 8.9. Ist Ω ein Gebiet mit glattem Rand, so ist Ω eine Mannigfaltigkeit mit Rand ∂Ω.
SS 2015
Seite 97
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
Hierfür gilt also der Satz von Stokes.
Betrachte folgende Gebiete:
Glatter Rand:
Nicht glatter Rand:
Deformierte Scheibe
Polytope im Rm
Scheiben mit Schlitz
Berührpunkte
Für m = 2 Polygone
Bemerkung 8.10. Der Satz von Stokes gilt auch für Gebiete Ω in Rm , deren Rand nicht überall
glatt ist. Um
R
∂Ω
ω zu definieren, integriert man hierbei nur über die glatten Teile des Randes. Man
erhält diese Version des Satzes von Stokes, indem man die „Ecken“ (also die nicht-glatten Teile
des Randes) abrundet und dann den Grenzwert betrachtet, dass die Abrundungen immer kleiner
werden. Beide Seiten konvergieren dann in vielen Fällen gegen das Integral des Gebiets mit nichtglattem Rand.
Dies funktioniert natürlich nur dann, wenn der Rand nicht allzu irregulär ist. Der Satz von Stokes
gilt zum Beispiel für alle Polytopye, alle in Beispiel 8.9 gezeichneten Gebiete, also insbesondere für
Rechtecke (m = 2) oder allgemeiner m-dimensionale Quader, für Dreiecke (m = 2) oder allgemeiner
R
Simplexe, für Pyramiden und vieles mehr. Um ∂M ω zu definieren, integriert man hierbei nur über
die glatten Teile des Randes.
Ist zum Beispiel [a, b] × [0, 1] ∈ (t, s) mit der Orientierung versehen, so dass (∂/∂t, ∂/∂s) positiv
orientiert ist. Die Orientierung des Randes wird wie folgt beschrieben: ∂/∂t ist auf [a, b] × {0}
positiv orientiert und auf [a, b] × {1} negativ orientiert. Analog ist ∂/∂s auf {b} × [0, 1] positiv
orientiert und auf {a} × [0, 1] negativ orientiert.
Der Satz von Stokes auf [a, b] × [0, 1] ist damit für ω ∈ Ω1 ([a, b] × [0, 1):
Z
dω
[a,b]×[0,1]
=
b
Z 1
∂
∂
|(t,0) dt +
ω(b,s)
|(b,s) ds
ω(t,0)
∂t
∂s
0
a
Z b
Z
1
∂
∂
−
ω(t,1)
|(t,1) dt −
ω(a,s)
|(a,s) ds.
∂t
∂s
a
0
Z
Beispiel. Betrachte ein Rechteck M := [a, b] × [c, d] ⊂ R2 mit ∂M = I1 ∪ I2 ∪ I3 ∪ I4 . Dann gilt
Z
β=
∂M
4 Z
X
i=1
β
Ii
Hier gilt der Satz von Stokes.
Seite 98
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.8
Integration von Formen und Satz von Stokes
Beweis (Skizze): Approximiere das Rechteck durch ein Gebiet Ωε bei dem die Ecken abgerundet
sind und damit der Rand glatt ist. Für Ωε gilt der Satz von Stokes, also
R
Ωε
dβ
R
dβ
R ε→0
R M
∂Ωε
∂M
β
β.
Definition 8.11. Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist ein Paar (M, g), wobei g eine Riemannsche Metrik auf M ist.
Ist M m orientiert, so definiere dvolg ∈ Ωm (M ) wie in Beispiel 3.7.6. Zu X ∈ X(M ) und ω ∈ Ωk (M )
definiere
Xy ω := ω(X, •, . . . , •) ∈ Ωk−1 (M ).
Dann ist div(X) ∈ C ∞ (M ) die eindeutige Funktion auf M so dass
d(Xy dvolg ) = div(X) dvolg
(∗)
Es heißt div(X) die Divergenz von X.
Bemerkung. Es ist div : X(M ) −→ C ∞ (M ) ein lokaler Operator. Das heißt aus X U = X̃ U
folgt div(X)U = div(X̃)U für U ⊂◦ M .
Außerdem ist div(X) unabhängig von der Wahl der Orientierung auf M . Deswegen ist div(X) auch
auf nicht-orientierbaren Mannigfaltigkeiten wohldefiniert (lokal in Karten durch (∗)).
Beispiel 8.12. Sei M = Ω für ein Gebiet Ω ⊂ Rn mit glattem Rand. Sei Y = (Y 1 , . . . , Y n ) ∈
X(Rn ). Dann gilt
Y y dvolg = Y y dx1 ∧ . . . ∧ dxn =
n
X
dk ∧ . . . ∧ dxn
Y k (−1)k−1 dx1 ∧ . . . ∧ dx
k=1
und damit
d(Y y dvolg ) =
n X
n
X
∂Y k
j=1 k=1
∂xj
Das heißt es gilt div(Y ) =
dk ∧ . . . ∧ dxn =
(−1)k−1 dxj ∧ dx1 ∧ . . . ∧ dx
n
X
∂Y k
k=1
∂Y k
k=1 ∂xk .
Pn
dx1 ∧ .{z
. . ∧ dxn} .
∂xk |
g
=dvol
Vergleiche Übungsblatt 12, Aufgabe 4.
Definition 8.13. Sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand. Die eindeutig bestimmte Abbildung ν : ∂M −→ TM mit
SS 2015
Seite 99
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
(i) νp ∈ Tp M \ Tp ∂M ist nach außen gerichtet für alle p ∈ ∂M .
(ii) gp (νp , X) = 0 für alle X ∈ Tp ∂M und alle p ∈ ∂M .
(iii) gp (νp , νp ) = 1 für alle p ∈ ∂M .
heißt äußeres Einheitsnormalenfeld von M .
Bemerkung. Sei ι : ∂M ,−→ M . Dann gilt für X ∈
ι∗ Xy dvolgM ∂M =
`
p∈∂M


hX, νi dvolg
Tp M :
, Xkν
∂M

Xy ι∗ dvolg = 0 , X ∈ Tp ∂M.
| {z M}
∈Ωm (∂M )=0
Das heißt es gilt
ι∗ (Xy dvolgM ) = hX, νi dvolg∂M
∀X ∈ Tp M, p ∈ ∂M.
Satz 8.14 (Divergenzsatz oder Satz von Gauß). Sei M eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand, X ∈ X(M ) mit supp(X) kompakt. Außerdem sei ν das äußere Einheitsnormalenfeld
von ∂M . Dann gilt
Z
M
(div(X)) dµ
Z
hX, νi dµ∂M .
=
M
∂M
Für eine orientierte Mannigfaltigkeit M heißt das
Z
M
div(X) dvolgM =
Beweis: (1. Fall: M orientiert)
Z
∂M
hX, νi dvolgM .
Rechne
Z
Z
hX, νi dvolg∂M =
ι∗ (Xy dvolgM )
∂M
∂M
Z
Z
Z
Stokes
g
g
=
d(Xy dvolM ) =
div(X) dvolM =
hX, νi dµ∂M =
∂M
Z
M
(2. Fall)
M
div(X) dµM .
M
Falls supp(X) ⊂ U für eine Karte x : U −→ V , dann zeige
Z
M
div(X) dµM =
Z
hX, νi dµ∂M
∂M
durch Fall 1.
Mit einer Partition der Eins (wie im Beweis von Stokes) erhalte die Aussage für alle X ∈ X(M )
mit kompaktem Träger.
Seite 100
2
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.8
Integration von Formen und Satz von Stokes
Beispiel 8.15 (Klassischer Satz von Stokes). Sei M 2 ,−→ R3 eine orientierte Fläche mit
Rand ∂M . Sei Y ∈ X(R3 ) mit supp(Y ) ∩ M kompakt. Definiere βp := hYp , •i ∈ T∗p M =
V1
T∗p M .
Dann gilt β = [ ◦ Y = Φ1 (Y ) ∈ Ω1 (M ) (vgl. Übungsblatt 12, Aufgabe 4). Dann gilt
Z
Z
β=
dβ.
∂M
M
Genauer heißt das: Sei j : ∂M −→ R3 . Dann gilt
Z
Z
∗
j β=
∂M
ι∗ dβ.
M
Es ist ∂M eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit (mit abzählbarer Basis der Topologie).
S
Zerlege ∂M in Zusammenhangskomponenten Ni mit ∂M = i∈I Ni .
Man kann zeigen:
Jede zusammenhängende 1-dimensionale Mannigfaltigkeit ist diffeomorph zu
1
S oder zu R jenachdem ob sie kompakt ist oder nicht.
Wähle zu jedem Ni eine orientierungserhaltende Abbildung γi : R −→ Ni mit γ̇i (t) 6= 0 für alle
t ∈ R und so dass γi ein Diffeomorphismus ist, falls Ni nicht-kompakt ist.
Falls Ni kompakt ist, wähle γi so dass γi (t + 2π) = γi (t) für alle t und γi [0,2π) injektiv ist.
Dann ist γ̇i das Koordinatenvektorfeld der Parametrisierung γi .
Dann gilt
Z
β=
∂M
XZ
i∈I
=
Ni
XZ
i
Ii
dβ =
∂Y k
−
∂xk
∂xj
k<j
P3
j=1
XZ
−∞
XZ
i
Schreibe Y = (Y 1 , Y 2 , Y 3 ). Dann gilt β =
∞
β(γ̇i (t)) dt +
i
Ni nicht kompakt
hY, γ̇i (t)i dt =
X ∂Y j
Z
X
β=
i
2π
β(γ̇i (t)) dt
0
Y.
γi
Y j dxj und damit
dxk ∧ dxj = rot(Y )y ( dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ).
Ist ν ein Einheisnormalenfeld auf M , das die Orientierung von M induziert, dann rechnet man
nach:
ι∗ (Xy ( dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 )) = hX, νi dvolgM
und
ι∗ dβ = hrot(Y ), νi dvolgM .
SS 2015
Seite 101
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
Also folgt:
XZ
Z
Y =
γi
i
hrot(Y ), νi dvolg .
M
3.9 Elektrodynamik in der Sprache der Formen
Sei M = R4 und (x0 , . . . , x3 ) ∈ R4 .
Definiere den Hodge-Stern-Operator
∗:
^2
T∗p R4 −→
^2
T∗p R4
gegeben durch
dx0 ∧ dx1 7−→ − dx2 ∧ dx3
dxσ(0) ∧ dxσ(1) 7−→ εσ sgn(σ) dxσ(2) ∧ dxσ(3)
für σ ∈ Perm{0, 1, 2, 3} und εσ =


1
0∈
/ {σ(0), σ(1))}

−1
sonst.
.
Lemma 9.1 (Maxwell-Gleichungen). Die Daten seien:
• Ein elektrisches Feld E : R × R3 −→ R3 ,
(t, x) 7−→ E(t, x).
• Ein magnetisches Feld B : R × R3 −→ R3 .
• Die Ladungsdichte ρ : R3 −→ R.
• Die elektrische Stromdichte J : R3 −→ R3 .
(Alle Einheiten sind Eins) Dann gelten:
3
(i) divR E = ρ.
3
(ii) divR (B) = 0.
(iii) rot(E) = − ∂B
∂t .
(iv) rot(B) = J +
∂E
∂t .
Dabei sind (i) und (ii) das Gauß-Gesetz, (iii) ist das Faraday-Gesetz und (iv) das Ampere-MaxwellGesetz.
Fasse dies zusammen. Dazu zunächst
Seite 102
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.9
R3
⊕
R
Zeit
Elektrodynamik in der Sprache der Formen
=: R4
Raum
Raumzeit.
Definiere auf der Raumzeit R4 das Minkowski-Skalarprodukt durch
 
x0

*
 1
x 
 
 2
x 
 
x3
 
y0
 +
 1
y 
0 0
1 1
2 2
3 3

,
 2  := −x y + x y + x y + x y .
y 
 
y3
Ein Punktteilchen γ : (a, b) −→ R4
bewegt sich genau dann mit Lichtgeschwindigkeit, wenn
hγ̇(t), γ̇(t)i = 0. Weiter bewegt es sich unterhalb der Lichtgeschwindigkeit, wenn hγ̇(t), γ̇(t)i < 0.
Definiere

(Fµν )µν
−E1
0


E1
:= 

E2

E3
−E2
0
B3
−B3
0
B2
−B1
−E3



−B2 
,

B1 

0
F :=
X
Fµν dxµ ∧ dxν .
µ<ν
Dann rechne
dF = div
R3
1
2
3
B dx ∧ dx ∧ dx −
∂B
+ rot(E) y dx0 ∧ dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 .
∂t
3
∂B
∂t
Dann verschwindet dF genau dann, wenn divR B = 0 und
+ rot(E) = 0, also wenn (ii) und
(iii) erfüllt sind.
Es gibt also ein A ∈ Ω1 (R4 ) – das Vektorpotential – so dass F = dA. Dieses A ist eindeutig bis
auf geschlossene 1-Formen, denn aus F = dA = dà folgt d(A − Ã) = 0, also A − à = df für
f ∈ C ∞ (R4 ).
Es ist A auf R4 nicht messbar, aber auf R × (R3 \ he3 i) ist
R
γ
A wegabhängig und beeinflusst das
Interferenzmuster. (Aharonov-Bohm-Effekt)
Rechne (∗F ) =
P
µ<ν (∗F )µν
dxµ ∧ dxν für

(∗F )µν
SS 2015
0


−B1
=

−B2

−B3
B1
B2
0
E3
−E3
0
E2
−E1
B3



−E2 
.

E1 

0
Seite 103
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
Rechne wie oben
3
d(∗F ) = (divR E) dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 +

ρ(x, t)
∂E
+ rot(B) y dx0 ∧ . . . ∧ dx3 .
∂t

. Dann sind (i) und (iv) äquivalent dazu, dass d(∗F ) = J y dx0 ∧ . . . ∧
Setze J (x, t) := 
J(x, t)
dx3 .
Anwendung des Satzes von Stokes
Sei Ω ein Gebiet mit glattem Rand in R3 und Q := [a, b] × Ω.
x0 = t
N3
N2
x1 , x 2 , x 3
N1
Dann ist
∂Ω = {a} × Ω ∪ [a, b] × ∂Ω ∪ {b} × Ω .
| {z } | {z } | {z }
=:N1
=:N2
=:N3
Rechne nun
Z
Z
0=
d( d ∗ F ) =
{z }
Q|
Z
J y dx0 ∧ . . . ∧ dx3 =
d∗F =
∂Q
∂Q
Z
hJ , νi dµ∂Q
∂Q
=0
für ein äußeres Einheitsnormalenfeld ν.
Es ergibt sich also
Z
Z
hJ , νi +
0=
N1
Z
hJ , νi +
N2
N3
Z
Z
ρ−
hJ, νi +
ρ
N1
N2
N3
| {z } | {z } | {z }
Z
hJ , νi = −
(1)
(2)
(3)
Dabei ist (1) die Ladung für t = a, (3) die Ladung für t = b und (2) die Ladung die in Ω hineinströmt.
Das heißt es gilt Ladungserhaltung.
Seite 104
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
3.10
Einige Differentialoperatoren
3.10 Einige Differentialoperatoren
Sei (M, g) eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand.
Sei X ∈ X(M ). Dann gilt d(Xy dvolg ) = div(X) dvolg . Also gilt für f ∈ C ∞ (M ), dass
div(X) dvolg
div(f X) dvolg = d(f Xy dvolg ) =
df ∧ (Xy dvolg )
|
{z
}
z
}|
{
+ f d(Xy dvolg )
df (X) dvolg =hgrad(f ),Xi=∂X f =X(f )
und damit
div(f X) = hgrad(f ), Xi + f div(X).
Es folgt:
Lemma 10.1. Sei (M, g) eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit, X ∈ X(M ) und f ∈
C ∞ (M ). Dann gilt für ein äußeres Einheitsnormalenfeld ν : ∂M −→ TM von M , dass
Z
hf X, νi dvolg =
Z
∂M
hgrad(f ), Xi dvolg +
Z
M
f div(X) dvolg .
M
Für X, Y ∈ X(M ) definiere ein Skalarprodukt auf X(M ) durch
Z
hX, Y i dvolg .
(X, Y ) :=
M
Für f, h ∈ C ∞ (M ) setze
Z
(f, h) :=
f h dvolg .
M
Interpretation von Lemma 3.10.1 für leeren Rand
Es folgt, dass − div : X(M ) −→ C ∞ (M ) adjungiert zu grad : C ∞ (M ) −→ X(M ) ist.
Definition 10.2. Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) definiere den Laplace-Operator
durch
∆ := div ◦ grad : C ∞ (M ) −→ C ∞ (M ).
Ist ∂M = ∅, so ist ∆ selbstadjungiert.
Für f, h ∈ C ∞ (M ) rechne
Z
g
Z
hf grad(h), νi dvol −
f (∆h) dvol =
M
SS 2015
Z
∂M
hgrad(f ), grad(h)i dvolg .
M
Seite 105
III
Differentialformen und der Satz von Stokes
Damit erhält man
Z
Z
Z
f (∆h) dvol −
(f ∂ν h − (∂ν f )h) dvol .
(∆f )h dvol =
M
M
∂M
Insbesondere folgt für ∂M = ∅, dass ∆ selbstadjungiert ist.
Wichtige Gleichungen
(i) Sei f ∈ C ∞ (M ). Gibt es ein u ∈ C ∞ (M ) mit ∆u = f (und Randbedingungen)? (PoissonGleichung)
Ist u eindeutig?
Es gibt zB. die Randbedingungen
u∂M = 0.
(a) Dirichlet-Randbedingung:
∂ν u∂M = 0.
(b) Neumann-Randbedingung:
Antworten:
• Falls M zusammenhängend und kompakt ist mit ∂M 6= ∅ und Dirichlet-Randbedingung,
dann gibt es eine eindeutige Lösung von ∆u = f und (a).
• Falls M kompakt zusammenhängend ist und ∂M = ∅ gilt, so gilt
Z
(∆u)1 dvolg =
M
M
Also existiert keine Lösung, falls
Man kann zeigen, dass im Falle
Z
R
M
R
M
u |{z}
∆1 dvolg = 0.
=0
f dvolg 6= 0.
f dvolg = 0 eine (bis auf Konstanten) eindeutige Lösung
existiert.
(ii) (Eigenwertgleichung) Finde λ ∈ R und u ∈ C ∞ (M ) mit ∆u = λu und Dirichlet-Randbedingung
u∂M = 0.
Satz 10.3. Sei M eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand. Dann gibt es reelle
Zahlen 0 ≤ λ0 ≤ λ1 ≤ . . . und Funktionen ui ∈ C ∞ (M ) so dass
∆ui = λi ui ,
ui ∂M = 0,
Z
ui uj dvolg = δij .
M
Weiter ist span ui i ∈ N0 dicht im Raum f ∈ C ∞ (M ) f ∂M = 0 .
Seite 106
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Stichwortverzeichnis
Stichwortverzeichnis
Symbols
Bilinearform
äußeres
ENF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Spur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XX
Binormalenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI
A
C
Abbildung
Cartan-Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
homotop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Christoffel-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
glatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
mit gesenktem Index. . . . . . . . . . . . . . . . .23
Homotopie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73
orientierungserhaltend . . . . . . . . . . . . . . . 76
D
Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
deRham-Kohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Richtungs∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49, 52
Lokalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Algebra
äußere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Diffeomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
lokaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
alternierend
Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 48
Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
äußeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Cartan∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Alternierungsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Differentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
analytisch
Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . XXVI
reell-analytisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Dirichlet-Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Antiderivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Antipodalabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXX
Atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 40
maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
mit Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
äußere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
E
Eigenwertgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Einbettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIII
Einheitsnormalenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
äußeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
äußeres Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Ausschöpfung
kompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Eins
Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
B
Einsteinsche
Basis
orientiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Betti-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
SS 2015
Summenkonvention . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
exakt
Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Seite I
Stichwortverzeichnis
F
Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
f -verwandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Faser-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
glatter Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Feld
Gleichung
Einheitsnormalenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Eigenwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Minimalfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Rotations∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI
H
Hauptkrümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Form
k-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
exakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Faser-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Hauptkrümmungsrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Helikoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV
Hodge-Stern-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
homotop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
glatt ∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
geschlossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Pfaffsche ∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Frenet-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI
Fundamentalform
Zweite
Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
homotopieäquivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Homotopieäquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Hyperfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I
Integral
Vektorwertig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Faser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1. Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Koordinatendarstellung . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Fundamentalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Koordinatendarstellung . . . . . . . . . . . . . . 28
Funktion
Wegintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIX
Isometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
lokale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
isometrisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
alternierend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
J
G
Jabobi-Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Gauß-Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Gebiet
K
mit glattem Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Karte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7, 40
Geodätische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII, 31
Kartenwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
geschlossen
Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Gesetz
Ampere-Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Seite II
Karten
verträgliche ∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Kartengebiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Kartenwechsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Stichwortverzeichnis
Katenoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV
M
Kohomologie
Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
deRham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
kompakt
Einbettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIII
Ausschöpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
glatte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
lokalkompakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Karte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
orientiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Koordinatenvektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Korand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Produkt∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kotangentialbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Kotangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
reell-analytische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Kotangentialraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Riemannsche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Kozykel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Riemannsche ∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII, 17
topologische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Gauß- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Menge
messbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Hauptkrümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
mittlere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Metrik
Riemannsche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
mittleres Kr.-feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Krümmungsfeld
minimal
UMgfk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
mittleres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Krümmungstensor
Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Minimalfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Minimalflächen
Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII
instabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Minkowski-Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
mittlere Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
regulär . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Normalenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Reparametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . XIV
Rotationskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI
Tangentialvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
L
N
Neumann-Randbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Normale
Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Einheitsnormalenfeld . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Lie-Klammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVII, 53
Normalenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI, 17
Antisymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Normalprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Jacobi-Identität. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
Normalraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
SS 2015
Seite III
Stichwortverzeichnis
O
Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Operator
regulärer Wert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Alternierungs–∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Hodge-Stern-Operator . . . . . . . . . . . . . . . 85
Riemann
Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Krümmungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Riemannsche Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
einer Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 75
Riemannsche
eines Vektorraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
orient. Mfk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Riemannsche Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . 82
orientierungserhaltend . . . . . . . . . . . . . . . 76
Riemannsche Metrik
orientierungsumkehrend. . . . . . . . . . . . . .76
Pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Randorientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Rotationsfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV, XXI
Rotationskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI
P
Parametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
S
Partition
singulärer Wert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Skalarprodukt
Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Produktmannigfaltigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . .43
Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Spur
Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Projektion
Bilinearform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX
Struktur
C k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Normal∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Tangential∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Summe
Pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 64
Einsteinsche Summenkonvention . . . . . 22
R
T
Rückzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Tangentenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI
Rand
Tangentialbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 51
Mannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Randbedingung
Tangentialprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Tangentialraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 47
Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Tangentialvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Tangentialvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Raum
Tensor
zusammenziehbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
r, s-∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
reell-analytisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
alternierend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Regelfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX
Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
regulär
Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII
Seite IV
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Stichwortverzeichnis
Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 38
U
Überdeckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
lokal endlich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
offen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Verfeinerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Untermannigfaltigkeits-Karte . . . . . . . . . . . . . . 4
Untermannigfaltigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Untermannigfaltigkeits-Karte . . . . . . . . . . . . . . 4
V
Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
∼feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
kompakter Träger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
Variationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 51
Divergenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
Koordinaten∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Vektorraum
Basis
orientiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
orientiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
W
Wegintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXIX
Weingarten-Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Wert
regulär. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
singulär . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
SS 2015
Seite V
Liste der Sätze
Liste der Sätze
A
Ampere-Maxwell-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
D
Divergenzsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
F
Faraday-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
G
Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Gauß-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Gauß-Gleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
H
Hauptsatz der Differential– und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
M
Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
P
Partition der Eins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46
schwach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Poincaré-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
S
klassischer Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
T
Theorema egregium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
V
Variationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Seite VI
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Symbolverzeichnis
Symbolverzeichnis
[D, D̃] Kommutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 53
Tr(A) Spur von A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 36
[X, Y ] Lie-Klammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 53
div(X) Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 82
∗
N•
Hodge-Stern-Operator . . . . . . . . . . S. 85
div
Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. XXVI
V
Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 59
ċ
Zeitableitung von c . . . . . . . . . . . . . . S. 9
V•
V
äußere Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 59
dvolgp
Volumenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 76
Vk
f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 58
Vk
V
alt. Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 58
X(M ) Vektorfelder auf M . . . . . . . . . . . . . . S. 8
Bil(A, B) Bilin. Abb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 54
Γ(Tr,s M ) Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 55
B(t)
Binormalenvektor. . . . . . . . . . . . .S. XVI
Γ(TM ) glatte Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . S. 52
BM
abz. M -Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 42
Γijs
Christoffel-Symbol . . . . . . . . . . . . . . S. 23
BRm
Borel-Algebra auf Rm . . . . . . . . . . S. 13
Γsij
Christoffel-Symbole . . . . . . . . . . . . . S. 21
C`
`-mal stetig diffbare Fnkt . . . . . . . S. 3
Cω
reell-analytisch . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 40
[
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 56
grad(f ) Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 57
grad
Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. XXVI
C r (N, M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S. 6
Graph(f ) Graph von f . . . . . . . . . . . . . . . . . .S. 3
Iω
Faser-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 71
Hom(V, W ) lin. Abb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 58
Jy f
Jacobimatrix von f bei y . . . . . . . S. 14
IIp
LλRm
m
Lebesgue-Algebra auf Rm . . . . . . . S. 13
N (t)
Normalenvektor . . . . . . . . . . . . . . S. XVI
im(α) Bild von α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 8
Rx
β Integral e. Form . . . . . . . . . . . . . . . . S. 77
U
OA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 40
OX
`
V(t)
Xiϕ =
2. Fundamentalform . . . . . . . . . . . . S. 27
κα (t)
Krümmung von α . . . . . . . . . . . . . S. XII
Topologie auf X . . . . . . . . . . . . . . . . S. 14
λm
Lebesguemaß auf Rm . . . . . . . . . . . S. 13
disj. Vereinigung . . . . . . . . . . . . S. XXIII
h•, •i
Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . S. XII
Tangentialvektor . . . . . . . . . . . . . S. XVI
diag
Diagonalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 77
Perm
Menge d. Permutationen . . . . . . . . . S. 3
∂
∂ϕi
i-tes Koordinatenvektorfeld . . . S. 8
deg(ω) Grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 60
Rot(f ) Rotationsfläche . . . . . . . . . . . . . . . S. XIV
∂X f
Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . S. 49
sgn(σ) Signum von σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 26
∂M
Rand von M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 43
µM (A) Volumen von A ⊂ M . . . . . . . . . . . S. 16
δij
Kronecker-Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 3
µM
∆
Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . S. 88
µϕ (A) Volumen von A bzgl. ϕ . . . . . . . . . S. 16
Tr(A) Spur von A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 29
SS 2015
∇η Y
Maß auf M (M ) . . . . . . . . . . . . . . . . S. 16
innere Ableitung. . . . . . . . . . . . . . . .S. 20
Seite VII
Symbolverzeichnis
k•k
Norm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S. 11
Tp M
Tangentialraum an M in p . . . . . . . S. 4
ν
Einheitsnormalenfeld . . . . . . . . . . . S. 25
TM
Tangentialbündel . . . . . . . . . . . . . . . S. 20
Ω1 (M ) 1-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 52
TM
totaler Tangentialraum . . . . . S. XXIII
Ω• (M )
S2
2-Sphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 61
Ωk (M ) k-Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 61
Snm (r) Pseudosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. XI
◦
∪
disj. Vereinigung. . . . . . . . . . . . . . . .S. 15
Amax
⊥
senkrecht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 20
A
Atlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 40
ϕ∗ g
Pullback. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S. 56
B
Basis einer Topologie . . . . . . . . . . . S. 14
πpN
Normalprojektion . . . . . . . . . . . . . . . S. 20
D(A) Raum der Derivationen von A . . S. 52
πpT
Tangentialprojektion. . . . . . . . . . . .S. 20
Dp
πi (x)
kanonische Projektion . . . . . . . . . . S. 19
]p
πT∗ M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 51
L (c)
πTM
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 51
M (M ) messb. Mengen von M . . . . . . . . . S. 16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 41
Derivationen in p . . . . . . . . . . . . . . . S. 49
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 57
Länge einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . S. 11
ψ ∗ A1 zurückgez. Atlas . . . . . . . . . . . . . . . . S. 44
OV
Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 75
RPn
projektiver Raum . . . . . . . . . . . . S. XXII
supp
Träger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 35
R∗
R \ {0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 4
Tn
Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. XXII
τα (t)
Torsion von α . . . . . . . . . . . . . . . . . S. XII
dp ϕ
Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 48
dp f
Ableitung von f in p. . . . . . . . . . . . . S. 9
(ESK) Summenkonvention . . . . . . . . . . . . . S. 22
dp f
Differential von f . . . . . . . . . . . . . . . S. 48
1. FF 1. Fundamentalform . . . . . . . . . . . . S. 10
df
Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 52
ENF
Einheitsnormalenfeld . . . . . . . . . . . S. 25
d
Cartan-Differential . . . . . . . . . . . . . S. 61
×
Kreuzprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . S. XII
resU
Restriktion auf U . . . . . . . . . . . . . . . S. 50
Vol(U ) Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 35
N(t)
Normalenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . S. 17
zuzeigen zu zeigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 5
Np M
Normalraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 20
B k (M ) Koränder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 65
rot
Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. XXVI
B1 (0) Einheitsball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 43
T(t)
Tangentialvektor . . . . . . . . . . . . . . . S. 17
bk (M ) Bettizahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 65
TA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. XXIII
f∗
Adjungierte von f . . . . . . . . . . . . . . S. 29
T∗ M
Kotangentialbündel . . . . . . . . . . . . . S. 51
f∗
Pullback. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S. 64
T∗p M
Kotangentialraum . . . . . . . . . . . . . . S. 10
FV
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 35
f ⊗k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 58
Tr,s
p M
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 54
Seite VIII
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Symbolverzeichnis
R(X, Y )Z Riem. Kr.-tensor . . . . . . . . . . . . S. 32
F•
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 35
gpM
1. FF bei p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 10
Rijk `
ϕ
gij
Koord.darstellung 1. FF . . . . . . . . S. 11
V∗
Dualraum von V . . . . . . . . . . . . . . . S. 19
H • (M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S. 67
V ⊗k
:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .S. 58
H k (M ) deRham-Kohom. . . . . . . . . . . . . . . S. 65
Wp (X) Weingartenabbildung . . . . . . . . . . S. 27
Hp
mittlere Krümmung . . . . . . . . . . . . S. 29
Xy ω
Kp
Gaußkrümmung . . . . . . . . . . . . . . . . S. 29
X k ν parallel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 83
Mm
m-dim. MfK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 5
Z k (M ) Kozykel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 65
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . S. 82
Seite IX
Literaturverzeichnis
Literaturverzeichnis
[1] H. Amann, J. Escher, Analysis III, Birkhäuser, Kapitel XI und XII
[2] I. Agricola, T. Friedrich, Global Analysis, AMS
[3] W. Ballmann, Einführung in die Geometrie und Topologie, Birkhäuser 2015.
[4] C. Bär, Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter
[5] M. Barner, F. Flohr, Analysis II, de Gruyter, Kapitel 17
[6] T. Bröcker, Analysis III, Kapitel IV und V, BI Wissenschaftsverlag
[7] C. Cheeger, D. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry Comparison theorems,
AMS Chelsea Publishing
[8] M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser
[9] M. do Carmo, Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg Studium, Aufbaukurs
Mathematik
[10] H. Garcke, Vorlesungsskript Analysis auf Mannigfaltigkeiten, Sommersemester 2010
[11] K. Jänich, Vektoranalysis, Springer
[12] W. Kühnel, Differentialgeometrie, Vieweg
[13] J. Lee, Introduction to smooth manifolds, Springer
[14] J. Lee, Introduction to topological manifolds, Springer
[15] J. Lee, Riemannian manifolds, Springer
[16] S. Montiel, A. Ros, Curves and surfaces, Grad. Studies in Math. 69, AMS
[17] B. O’Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to relativity, Academic press
[18] F. Warner, Foundations of Differentiable manifolds and Lie groups, Springer
Spezielle Kommentare zum Literaturverzeichnis
Zu [3]: [3, 1.1-1.6] sollte bekannt sein. Das Buch besteht aus recht unabhängigen Teilen. Wir werden
in anderer Reihenfolge vorgehen.
Seite X
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Literaturverzeichnis
Allgemeine Kommentare zum Literaturverzeichnis
Die Themen, die wir zu Anfang der Vorlesung machen wollen, entsprechen Kap 4 und evtl. 1.7
aus [3] in Verbindung mit Kapitel 2 und 3 aus [4]. Hier gehen wir dann bis zum Theorema egregium. Nachdem wir genügend Anschauung an Hand von Untermannigfaltigkeiten erhalten haben,
lösen wir den umgebenden Raum von den Mannigfaltigkeiten und betrachten dann abstrakte Mannigfaltigkeiten wie z.B. in [3, Kapitel 2 und 3] oder im Buch [2]. Auch viele ältere Bücher sind nach
wie vor aktuell, z.B. [6], [5], [11].
Gute Anschauung erhält man zunächst in den Büchern, die die Aspekte der Elementaren Differentialgeometrie mehr betonen, wie zum Beispiel [9], [4], [16], Anfang von [12]. Im Laufe der Zeit
erkennt man dann aber, das dies letztendlich nur Spezialfälle sind und wird dann mit abstrakteren
Büchern wie zum Beispiel [18], [17], [13–15], [7], [8] glücklicher, oder je nach Interesse auch mit
mehr physikalisch orientierter Literatur.
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Seite XI
Übungsblatt 1
Übungen
Übungen
Übungsblatt 1
Aufgabe 1
p
(a) Berechnen Sie das Integral der Funktion f (x, y, z) = exp − x2 + y 2 + z 2 über ganz R3
unter Verwendung von Kugelkoordinaten.
(b) Berechnen Sie das Integral der Funktion f (x, y, z) = cos
linder von Radius
p
2
x2 + y 2 e−z über den Vollzy-
π
2
Z
π
2
(x, y, z) ∈ R
=
Sie dürfen hierbei die Gleichung
2
R
R
e−z dz =
3
√
2
2
x + y2 ≤ π
.
4
π benutzen.
Aufgabe 2
Es seien m ∈ N0 , n ∈ N mit 0 ≤ m ≤ n und r ∈ R. Die n-dimensionale Pseudosphäre vom Index
m sei gegeben durch
(
Snm (r) =
(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1
)
n+1
m
X
X
2
2
xi = r .
xi +
−
i=1
i=m+1
(a) Beweisen Sie, dass Snm (r) für r 6= 0 eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn+1 ist.
(b) Gilt die Aussage aus Teil (a) auch für r = 0? Sie brauchen die Frage nur für m = 1 und n = 2
zu beantworten. Begründen Sie Ihre Antwort.
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Seite XIII
Übungsblatt 2
Übungen
Übungsblatt 2
Aufgabe 1
Welche der folgenden Mengen sind Untermannigfaltigkeiten des R3 ? Begründen Sie Ihre Antwort.
2
p
(i) (x, y, z) ∈ R3 x2 + y 2 − 2 + z 2 − 1 = 0 .
(ii)
(x, y, z) ∈ R3 (x2 + y 2 − z 2 + 1) · z = 0 .
(iii)
(x, y, z) ∈ R3 max |x|, |y|, |z| .
(iv)
(x, y, z) ∈ R3 x2 = 0 .
Aufgabe 2
Sei α : [a, b] −→ R3 eine dreimal differenzierbare parametrisierte Kurve sodass α0 (t) und α00 (t)
linear unabhängig sind für alle t ∈ [a, b]. Dann ist die Krümmung κα (t) und die Torsion τα (t) von
α an der Parameterstelle t definiert als
κα (t) :=
kα0 (t) × α00 (t)k
kα0 (t)k
3
,
τα (t) :=
hα0 (t) × α00 (t), α000 (t)i
2
kα0 (t) × α00 (t)k
.
Hierbei ist × das Kreuzprodukt, h•, •i das Standard-Skalarprodukt und k•k die von diesem induzierte Norm. Seien ϕ : [c, d] −→ [a, b] ein C 3 -Diffeomorphismus und β := α ◦ ϕ die mit ϕ reparametrisierte Kurve.
(i) Zeigen Sie, dass
κβ (s) = κα (ϕ(s)),
τβ (s) = τα (ϕ(s))
gelten, das heißt, dass die Größen unabhängig von der Parametrisierung sind.
(ii) Sei Ψ : R3 −→ R3 gegeben durch (x, y, z) 7−→ (x, z, y) und β := Ψ ◦ α. Wie stehen Krümmung
und Torsion von α und β zueinander in Beziehung?
Aufgabe 3
Beweisen Sie, dass S2 =
(x, y, z) ∈ R3 x2 + y 2 + z 2 = 1 ⊆ R3 nicht durch eine einzige lokale
Parametrisierung überdeckt werden kann.
Hinweis: Nutzen Sie die Kompaktheit der S2 .
Seite XIV
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Übungsblatt 2
Übungen
Aufgabe 4
Ein topologischer Raum X heißt lokal homöomorph zu Rn , wenn gilt:
Für jeden Punkt x ∈ X existiert eine offene Umgebung U ⊆ X von x, die homöomorph zu einer
offenen Teilmenge V ⊆ Rn ist, das heißt es existiert ein Homöomorphismus ϕ : U −→ V .
(i) Sei k ≥ n. Beweisen Sie, dass jede n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rk lokal homöomorph zu Rn ist.
(ii) Beweisen Sie, dass folgende Teilmengen nicht lokal homöomorph zu R bzw. R2 sind:
o
n
(x, y) ∈ R2 x2 − y 2 = 0 ,
o
n
(x, y, z) ∈ R3 x2 + y 2 − z 2 = 0 .
SS 2015
Seite XV
Übungsblatt 3
Übungen
Übungsblatt 3
Aufgabe 1
Es seien M, N Untermannigfaltigkeiten des R2 , die als Mengen durch



 x cos(y)





M =  x sin(y) 





y





x, y ∈ R ,







 cosh(x) cos(y)





N =  cosh(x) sin(y) 





x





x, y ∈ R




gegeben sind. Man nennt M das Helikoid und N das Katenoid. Sei z = sinh−1 (x). Beweisen Sie,
dass die Abbildung

f : M −→ N,


cosh(z) cos(y)








 x sin(y)  7−→  cosh(z) sin(y) 




y
z
x cos(y)

eine lokale Isometrie von M nach N ist.
Aufgabe 2
Sei I ∈ R ein offenes Intervall, r ≥ 1 und f : I → R eine C r -Funktion. Die Rotationsfläche Rot(f ) ⊆
R3 des Graphen von f ist als Menge gegeben durch
Rot(f ) :=
n
o
(x, y, z)t ∈ I × R2 ⊆ R3 y 2 + z 2 = f (x)2 .
Finden Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung an f , sodass Rot(f ) eine C r -Untermannigfaltigkeit des R3 ist und berechnen Sie den Tangentialraum von Rot(f ) an jedem Punkt.
Aufgabe 3
Seien I, J ∈ R offene Intervalle, r ≥ 1 und α : I → Rk eine C r -Kurve. Eine C r -Kurve β : J → Rk
heißt Reparametrisierung von α, falls ein C r -Diffeomorphismus ϕ : J → I existiert, sodass β = α ◦ϕ
gilt.
Beweisen Sie: Eine Reparametrisierung β : J → Rk von α mit der Eigenschaft kβ 0 (s)k = 1 für alle
s ∈ J existiert genau dann, wenn α0 (t) 6= 0 für alle t ∈ I.
Seite XVI
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Übungsblatt 3
Übungen
Aufgabe 4
Betrachten die S2 mit der Parametrisierung Ψ : (−π, π) × − π2 , π2 −→ S2 , gegeben durch
(ϕ, ϑ) 7−→ (cos(ϕ) cos(ϑ), sin(ϕ) cos(ϑ), sin(ϑ))t .
Auf dem Bild dieser Parametrisierung definiere zwei reellwertige Funktionen f, g : S2 −→ R durch
f : (cos(ϕ) cos(ϑ), sin(ϕ) cos(ϑ), sin(ϑ))t 7−→ ϕ,
g : (cos(ϕ) cos(ϑ), sin(ϕ) cos(ϑ), sin(ϑ))t 7−→ ϑ.
Überprüfen Sie, ob f und g zu C ∞ -Funktionen auf S2 fortgesetzt werden können. Beachten Sie
hierbei, dass im(Ψ) dicht in S2 liegt und jede stetige Fortsetzung auf S2 daher eindeutig ist.
SS 2015
Seite XVII
Übungsblatt 4
Übungen
Übungsblatt 4
Aufgabe 1
Betrachte die S2 . Die nördliche und südliche Hemisphäre sind definiert als
S2+ = S 2 ∩ (x, y, z)t ∈ R3 | z > 0 ,
S2− = S 2 ∩ (x, y, z)t ∈ R3 | z < 0 .
f±
Diese Mengen können als Graphen der Funktionen (x, y) 7−→ ±
p
1 − x2 − y 2 geschrieben werden.
2
Nutzen Sie diese Darstellung, um den Flächeninhalt (dh. das 2-dimensionale Volumen µS (S2 )) von
S2 zu berechnen.
Aufgabe 2
Sei α : I → R3 eine dreimal differenzierbare Kurve, sodass kα0 k ≡ 1 auf I. Seien des Weiteren κ(t)
die Krümmung und τ (t) die Torsion von α am Parameterwert t (siehe Übungsblatt 2, Aufgabe 2).
Sei κ(t) 6= 0. Definiere den Tangentenvektor, Normalenvektor und den Binormalenvektor von α in
t als
V(t) := α0 (t),
N (t) :=
α00 (t)
,
κ(t)
B(t) := α0 (t) × N (t).
(i) Zeigen Sie, dass die geordnete Menge {V(t), N (t), B(t)} eine positiv orientierte Orthonormalbasis des R3 bildet.
(ii) Zeigen Sie, dass die Frenet-Gleichungen gelten:

0


(V 0 (t), N 0 (t), B 0 (t)) = (V(t), N (t), B(t)) · κ(t)

0
−κ(t)
0
τ (t)
0



−τ (t)

0
Aufgabe 3
Sei r ∈ (0, ∞). Beantworten Sie folgende Fragen und begründen Sie Ihre Antwort.
(i) Hat jede k − 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit M ⊂ Rk mit M ⊂ B1 (0) endliches Volumen? (Hinweis: Betrachten Sie den Fall k = 2.)
Seite XVIII
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Übungen
Übungsblatt 4
(ii) Gibt es für jede k − 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit M ⊂ Rk mit endlichem Volumen
ein r > 0 sodass M ⊂ Br (0)? (Hinweis: Betrachten Sie Rotationsflächen in R3 .)
Aufgabe 4
Seien M ⊂ Rk eine m-dimensionale und N ⊂ Rk eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des
Rk . Beweisen Sie: Gelten n < m und N ⊂ M , dann ist N eine Nullmenge in M .
SS 2015
Seite XIX
Übungsblatt 5
Übungen
Übungsblatt 5
Aufgabe 1
Integrieren Sie folgende Funktionen über S2 (z.B. unter der Verwendung von Kugelkoordinaten):
f (x, y, z) = x2 ,
p
f (x, y, z) = x2 + y 2 ,
f (x, y, z) = x7 + x5 yz + x3 z 10 ,
f (x, y, z) = x13 + y 2 z 2 .
Hinweis: Eigenschaften 1.3.13 (vi) kann zur Vereinfachung genutzt werden.
Aufgabe 2
Seien I ⊂ R ein Intervall, κ : I −→ (0, ∞) und τ : I −→ R, glatte Funktionen und t0 ∈ I.
(i) Zeigen Sie: Ist (V(t0 ), N (t0 ), B(t0 )) ∈ SO(3) vorgegeben (hierbei werden V, N , B als Spalten einer Matrix aufgefasst), dann existiert eine eindeutige Abbildung f : I −→ SO(3) mit
Anfangswert f (t0 ) = (V(t0 ), N (t0 ), B(t0 )) , die die Frenet-Gleichungen

−κ
0


((V 0 )t , (N 0 )t , (B 0 )t ) = (V t , N t , B t ) · κ

0
0
τ
0



−τ 

0
löst.
(ii) Zeigen Sie: Es gibt eine glatte Kurve α : I −→ R3 mit kα0 k ≡ 1 (d.h. α ist nach Bogenlänge
parametrisiert) mit Krümmung κ und Torsion τ . Diese ist bis auf Dahinterschalten von
orientierungserhaltenden euklidischen Bewegungen eindeutig.
Aufgabe 3
Seien X, Y ∈ X(Rn ).
(i) Zeigen Sie, dass es genau ein Vektorfeld Z gibt, sodass
∂X (∂Y f ) − ∂Y (∂X f ) = ∂Z f
Seite XX
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Übungsblatt 5
Übungen
P
für alle f ∈ C ∞ (Rn ) gilt. Schreiben Sie dazu X, Y, Z in der Standardbasis als X = i X i ei , Y =
P i
P i
i
i Y ei , Z =
i Z ei und geben Sie eine Formel für die Koeffizienten Z an. Dieses Vektorfeld
heißt die Lie-Klammer von X und Y und wird geschrieben als Z = [X, Y ].
(ii) Beweisen Sie, dass die Formeln
[X, Y ] = −[Y, X],
[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0
für alle X, Y, Z ∈ X(Rn ) gelten.
(iii) Beweisen Sie, dass
[f · X, g · Y ] = f · g · [X, Y ] + f · ∂X g · Y − g · ∂Y f · X
für alle X, Y, Z ∈ X(Rn ) und f, g ∈ C ∞ (Rn ) gelten.
Aufgabe 4
Sei M ⊂ Rk eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit, I ∈ R ein Intervall und γ : I −→ M eine
C ∞ -Kurve. Dann heißt γ eine Geodätische, falls γ 00 (t) ∈ Nγ(t) für alle t ∈ I gilt.
(i) Zeigen Sie, dass der Geschwindigkeitsvektor einer Geodätischen konstante Länge besitzt, dh.
kγ 0 k ≡ const.
(ii) Sei ϕ : M ⊃ U −→ V ⊂ Rm eine Karte und γ : I −→ U . Sei des Weiteren c(t) = (c1 (t), . . . , cm (t))t :=
ϕ ◦ γ(t). Zeigen Sie, dass γ genau dann eine Geodätische ist, wenn die Gleichung
(ck )00 (t) +
m
X
Γkij (c(t)) · (ci )0 (t) · (cj )0 (t) = 0
i,j=1
für alle k gilt.
(iii) Zeigen Sie, dass es zu jedem Punkt p ∈ M und v ∈ Tp M ein ε > 0 und eine Geodätische
γ : [0, ε) −→ M gibt, die die Anfangsbedingungen γ(0) = p und γ 0 (0) = v erfüllt.
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Seite XXI
Übungsblatt 6
Übungen
Übungsblatt 6
Aufgabe 1
Sei F : Rk −→ R eine glatte Funktion und 0 ein regulärer Wert von F . Der Gradient ist der Vektor
gradF (p) := F 0 (p)t ∈ Rk und die Hessesche Hessp F ist die bilineare Abbildung Rk × Rk −→ R, die
2 F definiert ist.
bezüglich der Standardbasis des Rk durch die Matrix ∂x∂i ∂x
j
p
i,j
(i) Zeigen Sie, dass für alle p ∈ M der Vektor gradF (p) senkrecht auf Tp M steht und deswegen
gradF
−1
ν = − kgradF
(0) ist.
k ein Einheitsnormalenfeld von M = F
(ii) Zeigen Sie, dass Hessp F |Tp M ×Tp M : Tp M × Tp M −→ R die zweite Fundamentalform von M
an der Stelle p bezüglich ν ist, falls kgradF (p)k = 1.
Aufgabe 2
Sei M ⊂ Rk eine Untermannigfaltigkeit. Der Riemannsche Krümmungstensor ist eine Abbildung
R : X(M ) × X(M ) × X(M ) −→ X(M ), definiert als
R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z + ∇∇Y X Z − ∇∇X Y Z.
Beweisen Sie, dass diese Abbildung C ∞ (M )-linear in allen Argumenten ist, dh. dass
R(f · X, Y )Z = R(X, f · Y )Z = R(X, Y )f · Z = f · R(X, Y )Z
für alle f ∈ C ∞ (M ) und X, Y, Z ∈ X(M ) gilt.
Aufgabe 3
Eine Fläche M 2 ⊂ R3 heißt Regelfläche, falls um jeden Punkt eine lokale Parametrisierung der
Form
α : (a, b) × (c, d) −→ R3 ,
(x, y) 7−→ u(x) + y · V (x)
möglich ist, wobei u, V : (a, b) −→ R3 glatt sind. Beweisen Sie, dass die Gauß-Krümmung jeder
Regelfläche nichtpositiv ist, dh. dass Kp ≤ 0 für alle p ∈ M gilt.
Seite XXII
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Übungen
Übungsblatt 6
Aufgabe 4
Berechnen Sie die Koeffizienten hij der zweiten Fundamentalform, die mittlere Krümmung und
die Gauß-Krümmung des Helikoids und des Katenoids (siehe Übungsblatt 3, Aufgabe 1 für deren
Definition).
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Seite XXIII
Übungsblatt 7
Übungen
Übungsblatt 7
Aufgabe 1
Sei M ⊂ Rk eine Untermannigfaltigkeit und ϕ : U −→ V eine Karte von M . Beweisen Sie, dass die
Koeffizientenfunktionen Rijk ` : V −→ R des Riemannschen Krümmungstensors aus Definition 1.6.1
durch die Formel
Rijk ` =
∂Γ`jk
∂Γ`ik
`
m
`
−
+ Γm
jk · Γim − Γik · Γjm
∂xi
∂xj
gegeben sind.
Aufgabe 2
Seien V, W, X, Y endlich-dimensionale K-Vektorräume und f : V −→ X, g : W −→ Y lineare Abbildungen. Zeigen Sie, dass es eine eindeutige lineare Abbildung f ⊗ g : V ⊗ W −→ X ⊗ Y gibt,
sodass (f ⊗ g)(v ⊗ w) = f (v) ⊗ g(w) für alle v ∈ V und w ∈ W gilt.
Aufgabe 3
Sei (V, h•, •i) ein endlich-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt und B : V × V −→ R eine
Bilinearform. Dann kann die Spur von B auf drei verschiedene Arten einführt werden:
(i) Ist {e1 , . . . , en } eine Orthonormalbasis von V , dann definiere die Spur als
Tr(B) :=
n
X
B(ei , ei ).
i=1
(ii) Ist {f1 , . . . , fn } eine beliebige Basis von V und gij = hfi , fj i, bij = B(fi , fj ), dann ist Tr(B) :=
bij g ij wobei g ij die Einträge der zu (gij )1≤i,j≤n inversen Matrix sind.
(iii) Sei B̃ : V −→ V die lineare Abbildung, die durch B̃(x), y = B(x, y) für alle x, y ∈ V
eindeutig bestimmt ist. Dann setze Tr(B) := Tr(B̃).
Beweisen Sie, dass diese drei Definitionen übereinstimmen und daher insbesondere die Definitionen
in (i) und (ii) nicht von der Wahl der Basis abhängen.
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Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Übungsblatt 8
Übungen
Übungsblatt 8
Aufgabe 1
Sei f : R −→ R>0 eine glatte Funktion und
Rot(f ) =
o
n
(x, y, z)t x2 + y 2 = f (z)2 ⊂ R3
die Rotationsfläche des Graphen von f . Berechnen Sie die Koeffizienten der zweiten Fundamentalform, die mittlere Krümmung und die Gauß-Krümmung an jedem Punkt von Rot(f ).
Aufgabe 2
Sei Rot(f ) wie in Aufgabe 1 und γ : [a, b] −→ Rot(f ) eine glatte Kurve.
(i) Finden Sie ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür, dass die Rotationskurve t 7−→
(cos(t) · f (z), sin(t) · f (z), z)t eine Geodätische ist.
(ii) Beweisen Sie: Ist γ eine Geodätische, dann ist der Ausdruck
I(t) = hγ(t) × γ̇(t), (0, 0, 1)t i
konstant in t.
Aufgabe 3
Sie M ⊂ Rk eine glatte Untermannigfaltigkeit und γ : [a, b] −→ M eine glatte Kurve. Beweisen Sie
die Gültigkeit der Formel
~IIγ(t) (γ̇(t), γ̇(t)) = π N (γ̈(t)).
γ(t)
Aufgabe 4
(i) Sei M 2 ⊂ R3 eine Fläche, r > 0 und p ∈ M derart, dass kpk = r und kqk ≤ r für alle q ∈ M .
Zeigen Sie, dass Tp M = Tp ∂Br (0) und dass
hp, ~IIM,p (X, X)i ≤ hp, ~II∂Br (0),p (X, X)i
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Seite XXV
Übungsblatt 8
Übungen
für alle X ∈ Tp M gilt.
Hinweis: Sind f1 , f2 : Rk −→ R glatte Funktionen, sodass f1 (p) = f2 (p) und f1 (q) ≥ f2 (q) für
alle q ∈ Rk gilt, dann folgt Hess(f1 )p (X, X) ≥ Hess(f2 )p (X, X) für alle X ∈ Rk .
(ii) Beweisen Sie: Ist M 2 ⊂ R3 eine kompakte Fläche, dann gibt es einen Punkt p ∈ M , an dem
Kp > 0 gilt.
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Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Übungsblatt 9
Übungen
Übungsblatt 9
Aufgabe 1
(i) Auf Rn sei eine Äquivalenzrelation durch x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Zn definiert. Beweisen Sie,
dass der daraus entstehende Quotientenraum Tn = Rn /Zn so mit einer glatten Struktur
ausgestattet werden kann, dass die kanonische Projektion pr : Rn −→ Rn /Zn , x 7−→ [x] ein
lokaler Diffeomorphismus ist.
(ii) Es sei RPn die Menge aller 1-dimensionalen Untervektorräume des Rn+1 . Beweisen Sie, dass
RPn so mit einer glatten Struktur ausgestattet werden kann, dass die Abbildung pr : Rn+1 \
{0} −→ RPn , x 7−→ R · x glatt ist.
Aufgabe 2
Seien p, q ∈
/ R \ {0} und p 6= q. Geben Sie einen Atlas der Menge M = R \ {0} ∪ {p} ∪ {q} an, so
dass die durch den Atlas induzierte Topologie nicht Hausdorffsch ist.
Aufgabe 3
Beweisen Sie, dass der abgeschlossene Ball B 1 ⊂ Rn und die obere Hemisphäre Sn+ Mannigfaltigkeiten mit Rand sind, indem Sie jeweils einen Atlas explizit angeben. Sei π : Rn+1 −→ Rn die
Projektion auf die ersten n Komponenten. Ist
π|Sn+ : Sn+ −→ B 1
glatt? Ein Homöomorphismus? Ein C 1 -Diffeomorphismus? Gibt es einen glatten Diffeomorphismus
von Sn+ nach B 1 ?
Aufgabe 4
Betrachten Sie die Menge R mit den Atlanten A = {idR } und A0 = ϕ : R −→ R, x 7−→ x3 .
(i) Ist ϕ mit dem Atlas A C ∞ -verträglich?
(ii) Definieren A und A0 dieselbe C ∞ -Struktur auf R?
(iii) Sind die Mannigfaltigkeiten (R, Amax ) und (R, A0max ) diffeomorph?
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Seite XXVII
Übungsblatt 10
Übungen
Übungsblatt 10
Aufgabe 1
Konstruieren Sie auf dem Würfel
x ∈ Rn maxi |xi | = 1 einen glatten Atlas von Dimension
n − 1, sodass die durch den Atlas induzierte Topologie mit der durch Rn induzierten Topologie
übereinstimmt.
Aufgabe 2
Seien M und N Mannigfaltigkeiten. Eine Abbildung f ∈ C k (M, N ) (k ≥ 1) nennt man Einbettung,
wenn sie injektiv, das Differential an jeder Stelle injektiv und f : M −→ f (M ) ein Homöomorphismus ist. Es seien RPn und Tn wie in Übungsblatt 9, Aufgabe 1 definiert. Zeigen Sie, dass folgende
Abbildungen wohldefiniert und Einbettungen sind:
(i) f : T2 −→ R3 , definiert durch
f (x, y) =
x
y x
y x R + r cos
cos
, R + r cos
sin
, r sin
2π
2π
2π
2π
2π
wobei 0 < r < R.
(ii) f : RP2 −→ RP5 , definiert durch f ([x, y, z]) := [xx, xy, xz, yy, yz, zz].
Aufgabe 3
Sei M eine m-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit und p ∈ M . Zeigen Sie, dass der Tangentialraum Tp M eine Vektorraumstruktur besitzt, die in folgendem Sinne natürlich ist: Für jede Karte
ϕ : U −→ V von M mit p ∈ U ist dp ϕ : Tp M −→ Rm ein linearer Isomorphismus.
Aufgabe 4
Der Tangentialraum einer C k -Mannigfaltigkeit M ist definiert als
TM :=
a
Tp M.
p∈M
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Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Übungsblatt 10
Übungen
Sei A = {ϕi : Ui −→ Vi }i∈I ein m-dimensionaler C k -Atlas von M . Schreibe Vektoren v ∈ Tp M als
(p, v). Dann kann man Abbildungen Φi durch
Φi : TUi :=
a
Tp M −→ Vi × Rm
p∈Ui
(p, v) 7−→ ϕi (p) , dp ϕi (v)
definieren. Zeigen Sie:
(i) Die Menge TA := {Φi : TUi −→ Vi × Rm }i∈I bildet einen 2m-dimensionalen C k−1 -Atlas von
TM .
(ii) Das Paar (M, (TA)max ) ist eine Mannigfaltigkeit, dh. die notwendigen Voraussetzungen an
(M, OA ) sind erfüllt.
(iii) Seien M, N glatte Mannigfaltigkeiten. Zeigen Sie: Ist f ∈ C k (M, N ), dann ist das Differential
df : TM −→ TN , definiert durch df (p, v) := f (p), dp f (v) , ein Element in C k−1 (TM, TN ).
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Übungsblatt 11
Übungen
Übungsblatt 11
Aufgabe 1
Sei A eine R-Algebra und D1 , D2 ∈ D(A) zwei Derivationen auf A, dann ist der Kommutator
[D1 , D2 ] := D1 ◦ D2 − D2 ◦ D1 wieder eine Derivation von A.
Aufgabe 2
Seien M und N glatte Mannigfaltigkeiten und φ ∈ C ∞ (M, N ). Man nennt Vektorfelder X ∈ X(M )
und X̃ ∈ X(N ) φ-verwandt, falls dφ(X) = X̃ ◦ φ. Sind X ∈ X(M ) und X̃ ∈ X(N ) φ-verwandt,
dann zeigen Sie:
(i) Es gilt für alle f ∈ C 1 (N ) die Gleichung ∂X (f ◦ φ) = ∂X̃ f ◦ φ.
(ii) Sei Y ∈ X(M ) und Ỹ ∈ X(N ) φ-verwandt, dann sind [X, Y ] und [X̃, Ỹ ] auch φ-verwandt.
Aufgabe 3
Seien U, V, W, X, Y jeweils endlich-dimensionale R-Vektorräume.
∼
(i) Konstruieren Sie einen Isomorphismus ϕ : Hom U, Hom(V, W ) −→ Hom(U ⊗ V, W ).
(ii) Konstruieren Sie mittel Übungsblatt 7, Aufgabe 2 einen Isomorphismus ϕ : Hom(V, X) ⊗
∼
Hom(W, Y ) −→ Hom(V ⊗ W, X ⊗ Y ).
V2 V 2
V4
(iii) Konstruieren Sie eine lineare Abbildung ϕ :
( V ) −→
V , so dass für alle v, w, x, y ∈ V
gilt, dass ϕ (v ∧ w) ∧ (x ∧ y) = v ∧ w ∧ x ∧ y. Ist diese Abbildung surjektiv? Ist sie injektiv?
Aufgabe 4
Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum, k ∈ N und f ∈ End(V ). Zeigen Sie:
(i) Es gibt eine eindeutige lineare Abbildung
Vk
f ◦ Altk = Altk ◦f ⊗k gilt.
(ii) Ist dim(V ) = k, dann gilt
Seite XXX
Vk
Vk
f:
Vk
V −→
Vk
V so, dass die Gleichung
f = det(f ) · idVk V .
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Übungsblatt 12
Übungen
Übungsblatt 12
Aufgabe 1
Die symplektische Form auf R2n = (x1 , y 1 , . . . , xn , y n ) ∈ R2n xi , y i ∈ R ist gegeben durch
ω = dx1 ∧ dy 1 + . . . + dxn ∧ dy n
wobei xi , y i : R2n −→ R als Funktionen aufgefasst werden. Zeigen Sie:
(i) dω = 0. (das heißt ω ist ein Kozykel)
(ii) Es gibt ein α ∈ Ω1 (R2n ) mit dα = ω. (das heißt ω ist ein Korand)
∼ R2n
(iii) ω ist in keinem Punkt entartet. Das heißt für alle p ∈ R2n und alle 0 6= X ∈ Tp R2n =
gibt es ein Y ∈ R2n mit ωp (X, Y ) 6= 0.
Aufgabe 2
Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit und α ∈ Ω1 (M ). Zeigen Sie, dass
dα(X, Y ) = X(α(Y )) − Y (α(X)) − α([X, Y ])
für alle X, Y ∈ X(M ) gilt.
Hinweis:
Für eine Karte x : U −→ V von M gilt stets
∂
∂
∂xi , ∂xj
= 0.
Aufgabe 3
(i) Berechnen Sie die äußere Ableitung von α ∈ Ω1 (Rn \ {0}) und β ∈ Ω1 (R2 ), gegeben durch
α=
1
dx1 , . . . , dxn ,
kxk
β = exp(x2 − y 2 ) dx + sin(x3 − y 5 ) dy.
(ii) Sei f : R2 −→ R2 gegeben durch f (r, φ) = r cos(φ) , r sin(φ) . Berechnen Sie f ∗ dx und
f ∗ dy.
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Seite XXXI
Übungsblatt 12
Übungen
Aufgabe 4
Definiert seien die Differentialoperatoren
∞
3
3
grad : C (R ) −→ X(R ),
rot : X(R3 ) −→ X(R3 ),
div : X(R3 ) −→ C ∞ (R3 ),
∂f ∂f ∂f
,
,
f 7−→ ∇f :=
∂x ∂y ∂z
∂X3
X 7−→ ∇ × X :=
−
∂y
∂X1
X 7−→ h∇, Xi :=
+
∂x
t
.
∂X2 ∂X1
∂X3 ∂X2
∂X1
,
−
,
−
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂X2
∂X3
+
.
∂y
∂z
t
Weiter seien die folgenden Abbildungen gegeben:
Φ1 : X(R3 ) −→ Ω1 (R3 ),
X 7−→ [ ◦ X,
Φ2 : X(R3 ) −→ Ω2 (R3 ),
X 7−→ ( dx ∧ dy ∧ dz)(X, •, •)
Φ3 : C ∞ (R3 ) −→ Ω3 (R3 ),
f 7−→ f · ( dx ∧ dy ∧ dz)
wobei [ wie in Korollar 2.6.7 definiert ist. Sei hier stets das Standard-Skalarprodukt gemeint.
Begründen Sie, dass Φ1 , Φ2 , Φ3 Isomorphismen sind und beweisen Sie
d
C ∞ (R3 )
= Φ1 ◦ grad,
d ◦ Φ1 = Φ2 ◦ rot,
d ◦ Φ2 = Φ3 ◦ div .
Nutzen Sie diese Formeln, um die Abbildungen
rot ◦ grad : C ∞ (R3 ) −→ X(R3 ),
div ◦ rot : X(R3 ) −→ C ∞ (R3 )
zu berechnen.
Seite XXXII
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Übungsblatt 13
Übungen
Übungsblatt 13
Aufgabe 1
Sei M eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Zusammenhangskomponenten M1 , . . . , M` . Zeigen
Sie, dass
H k (M ) =
`
M
H k (Mi )
i=1
für alle 1 ≤ k ≤ n gilt.
Aufgabe 2
Sei X ein topologischer Raum. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
(i) X ist homotopieäquivalent zu {∗}.
(ii) Es existiert x0 ∈ X und eine stetige Abbildung H : X × [0, 1] −→ X so dass H(x, 0) = x und
H(x, 1) = x0 für alle x ∈ X gelten.
(iii) Jede stetige Abbildung f : X −→ X ist homotop zu einer konstanten Abbildung.
Aufgabe 3
∼ R gilt.
Zeigen Sie, dass H 1 (S1 ) =
Hinweis:
Schreiben Sie S1 = R/Z wie in Übungsblatt 9, Aufgabe 1. Die Form dx ∈ Ω1 (R) ist auf
S1 wohldefiniert. Eine 1-Form lässt sich dann als f · dx ∈ Ω1 (S1 ) schreiben und ist genau dann
R1
exakt, wenn 0 f ([x]) dt = 0 gilt.
Aufgabe 4
Sei Tn der n-dimensionale Torus aus Übungsblatt 9, Aufgabe 1. Beweisen Sie, dass dim(H 1 (Tn )) ≥
n gilt.
Hinweis:
Tn lässt sich als n-faches Produkt Tn = S1 × . . . × S1 schreiben. Sei nun π` : Tn −→ S1
die Projektion auf die `-te Komponente und ιr : S1 −→ Tn die Inklusion in die r-te Komponente,
gegeben durch [x] 7−→ [0, . . . , x, 0, . . . , 0]. Nutzen Sie diese Abbildungen und Aufgabe 3.
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Seite XXXIII
Übungsblatt 14
Übungen
Übungsblatt 14
Aufgabe 1
Sei M eine Mannigfaltigkeit, α ∈ Ω1 (M ) und γ, γ1 , γ2 : [0, 1] −→ M differenzierbare Kurven in M .
(i) Das Wegintegral von α entlang γ ist definiert durch
Z
Z
γ ∗ α.
α :=
γ
Zeigen Sie, dass
R
γ
R1
α=
0
[0,1]
αγ(t) (γ 0 (t)) dt.
(ii) Ist σ : [0, 1] −→ [0, 1] ein Diffeomorphismus und σ 0 > 0, so gilt
R
γ
α=
R
γ◦σ
α.
(iii) Ist α geschlossen und sind γ1 , γ2 homotop mit festen Endpunkten, dann gilt
R
γ1
α=
R
γ2
α.
∗
Wenden Sie dazu den Satz von Stokes auf die Form H α an, wobei H die Homotopie von γ1
nach γ2 ist.
(iv) Ist α exakt, dann gilt
R
γ1
α=
R
γ2
α, sofern γ1 (0) = γ2 (0) und γ1 (1) = γ2 (1).
Aufgabe 2
Sei f : [0, 1] × [0, 1] −→ R in C ∞ und sei Mf = {(x, y, z) | 0 ≤ x, y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ f (x, y)} das Volumen, das von der (x − y)–Ebene und dem Grahpen von f eingeschlossen wird.
(i) Zeigen Sie, dass
Z
3
µR (Mf ) =
ι∗ (z dx ∧ dy),
Graph(f )
wobei ι : Graph(f ) −→ R3 die Inklusionsabbildung bezeichnet.
3
(ii) Nutzen Sie diese Formel, um µR (Hf ) für
f : [0, 1] × [0, 1] −→ R,
f (x, y) = x2 + y 2
zu berechnen.
Seite XXXIV
Analysis auf Mannigfaltigkeiten
Übungsblatt 14
Übungen
Aufgabe 3
Sei F ∈ X(R3 ) gegeben durch:

y + (5 − x2 − y 2 )(z + 1)


F (x, y, z) :=  −x + (x2 + y 2 − 1)3 e2

2 2 log x +y2 +1



.

Berechnen Sie das Integral
Z
hrot(F ), νi d vol,
S2+
wobei S2+ die obere Hemisphäre und ν(x, y, z) := (x, y, z)t ein Einheitsnormalenfeld ist.
Hinweis: ??.
Aufgabe 4
Zeigen Sie:
(i) Eine Mannigfaltigkeit ist genau dann orientierbar, wenn jede ihrer Zusammenhangskomponenten orientierbar ist.
(ii) Falls f : M −→ N ein lokaler Diffeomorphismus und N orientiert ist, so trägt M genau eine
Orientierung, sodass f orientierungstreu ist (d.h. dass df positiv orientierte Basen auf positiv
orientierte Basen abbildet).
(iii) Der reell-projektive Raum RPn ist genau dann orientierbar, wenn n ungerade ist.
Hinweis:
Es gilt RPn = Sn / ∼, wobei x ∼ y :⇔ x = ±y. Überlegen Sie, dass RPn genau
dann orientiert ist, wenn die Antipodalabbildung x 7−→ −x auf Sn orientierungstreu ist.
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Seite XXXV