Die Einsteinschen Feldgleichung

Die Einsteinschen Feldgleichung
Thomas Lottner
14. November 2013
1
Inhaltsverzeichnis
1
Mathematische Grundlagen
3
2
Die Feldgleichung
6
3
Die EG in der RW-Metrik
7
4
Exkurs: Gravitationsstrahlung
10
2
1
Mathematische Grundlagen
Im folgenden Abschnitt soll eine kurze Einführung in die mathematische Theorie der Mannigfaltigkeiten (speziell Riemannsche Mannigfaltigkeiten), gegeben
werden, sowie einei Konzepte der Dierentialgeometrie erläutert werden. Dieser
Abschnitt soll als Erinnerung bzw. Klärung der Begriichkeiten dienen, um die
nachfolgenden Teile nachvollziehen zu können. Für weitere Interessierte sei auf
die entsprechenden Kapitel in Lehrbüchern zur Allgemeinen Relativitätstheorie
(z.B. R. Wald, General Relativity) verwiesen.
Anders als die klassische Physik verfolgt die Allgemeine Relativitätstheorie den
Ansatz, die Gravitationr nicht mehr als Kraft zu beschrieben, die auf die Massen
wirkt. Hier verzerren die Massen (dargestellt durch den Energie-Impuls Tensor)
den Raum, der dann nicht mehr einer euklidischen Geometrie folgt. Dies führt
zu folgendem Grundsatz:
Die Raumzeit wird durch eine 4-dimensionale pseudoriemannsche Mannigfaltigkeit beschrieben (R.Wald, General Relativity)
Es sei darauf hingewiesen, dass hier nicht mehr von Raum und Zeit getrennt
gesprochen wird, die Sonderstellung der Zeit wird aufgehoben, was zu einem
4-dimensonalen Raum führt. Einige Begriichkeiten:
ˆ
M ist ein topologischer Raum, der lokal-homöomorph
x ∈ Mexisitiert eine oene
n
in den R eingebettet werden kann. Wichtig ist hier
Eine Mannigfaltigkeit
zum
Rn
ist, d.h. es existiert zu jeden Punkt
Umgebung die stetig
die Eigenschaften der Lokalität.
ˆ
Die Abbildungen (Homöomorphismen), die Teilmengen der Mannigfaltigkeit in den
Rn
(die Tangentialräume) überführen, werden Karten genannt.
Auch diese Abbildungen gelten nur für eine Teilmenge der Mannigfaltigkeit. Ein vollständiger Satz Karten, der die Mannigfaltigkeit überdeckt,
heiÿt Atlas.
ˆ
ein pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit besitzt zudem eine Skalarprodukt (wird über die Tangentialräume deniert), dass aber nicht positiv
denit sein muss - die Metrik
gµν .
Die Metrik ist die Vorschrift, wie Ele-
mente der Manigfaltigkeit (die zunächst nur ganz rudimentäre Eigenschaften haben und i.A. keine Vektoren sind) mit einander miltipliziert werden.
Somit können auch auf gekrümmten Flächen Begrie wie Winkel, Abstände oder Flächen ganz natürlich eingeführt werden.
3
Abbildung 1: Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit
Riemannsche Geometrie
Weiter benötigen wir noch einige Begrie aus der Dierentialgeometrie, da Begrie wie Ableitungen, Geraden, usw. nicht mehr klar deniert sind:
Ableitung
Tν,δ =
∂Tν
∂xδ
Kovariante Ableitung:
T;δµ =
∂T µ
∂xδ
+ Γµδλ T λ
Γµνδ die Cristoelsymbole darstellen, mit
µ
1 µσ
Γνδ = 2 g (gσν,δ + gσδ,ν − gδν,σ )
Die Christoelsymbole sind die Komponenten des Levi-Chivita-Zusammenhangs,
Wobei
der die lokalen Tangentialräume in Zusammenhang bringen, und somit die Parallelverscheibung entlang einer beliebigen Kurve auf der Mannigfaltigkeit beschreiben. Sie enthalten somit Information über die Krümmung und sind Abhängig von der Metrik des Raumes.
Auch Geraden auf der Mannigfaltigkeit müssen nun nicht immer die kürzeste
Strecke in der Mannigfaltigkeit sein. Deswegen muss man nun die Geodäten
einführen. Sie sind Kurven über die Mannigfaltigkeit, die die folgende Variationsbedingung erfüllen:
´B
ds = 0 oder δ A ds2 = 0
A
Im euklidischen sind die Geodäten einfach die Geraden. Diese Variation führt
δ
´B
zur Geodätengleichung:
4
d2 xµ
dxν dxδ
+ Γµνδ
=0
2
ds
ds ds
Im achen Raum fällt diese Gleichung auf die bekannte Bewegungsgleichung
a(t) = ẍ(t) = 0
zusammen.
Abbildung 2: Ein Dreieck im gekrümmten Raum
In Abb. 2 sind zwei Dreiecke angebildet (die kürzesten Verbindungslinien zwischen zwei Punkten). Es sei darauf hingewiesen, dass die Winkelsumme nicht
mehr 180° entspricht.
Nun können wir uns einigen Begrien und Konstrukten der Riemannschen Geometrie zuwenden:
Zunächst benötigen wir den Riemannsche Krümmungstensor, der folgendermaÿen deniert ist:
µ
R̂νδλ
= Γµνλ,δ − Γµδν,λ + Γρνλ Γµδρ − Γρνδ Γµλρ
Er ist ein (1,3)-Tensor, und enthält alle (relevanten) Informationen über die
Krümmung des Raumes. Er ist aus den ersten Ableitungen der Christoelsymbole aufgebaut, und damit höchstens linear in den zweiten Ableitungen der
Metrik.
Wenn wir den kontravarianten Index mit dem zweiten kovarianten kontrahieren,
erhalten wir den Ricci-Tensor:
µ
R̂νλ = R̂νµλ
= Γµνλ,µ − Γµµν,λ + Γρνλ Γµµρ − Γρνµ Γµλρ
gµν von der Minkowski-Metrik
ηµν an und beschreibt sozusagen die Krümmung in die verschiedenen RaumrichEr gibt anschaulich die Abweichung der Metrik
tungen.
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Kotrahieren wir nun nocheinmal die verbleibenden Indizes, so erhalten wir die
Skalarkrümmung:
R̂ = R̂δδ
Hier wird die Krümmung nun auf einen skalar reduziert, wir haben keine Richtungsabhängigkeit mehr, der Krümmungsskalar bezieht sich nurnoch auf den
Ort. Bei einer Kugel mit Radius
2
r
ist die Skalarkrümmung z.B.
R̂ ∝
1
r2 .
Die Feldgleichung
Nun haben wir alle mathematischen Konstrukte eingeführt, die wir benötigen
und können uns an die Feldgleichungen herranwagen. Dafür benötigen wir einige Vorüberlegungen, welche Gestalt die Feldgleichungen besitzen müssen. Diese
Bedingungen schränken die Feldgleichung allerdings nur ein, beliebig kompliziertere Versionen wären theoretisch denkbar, allerdings sehen wir die Einfachstmögliche reicht - fast (s. Vortrag Die kosmologische Konstante) - aus.
Bedingungen an die Feldgleichung
Zunächst fordern wir in Analogie zu den Maxwellgleichungen, dass die Masse die
Quelle des Gravitationsfeldes ist. Wir erinnern uns and die klassische Elektrodynamik in der wir für das elektrische Feld nden:
~ = ρ, die Ladungsdichte
∇·E
ist die Quelle des elektrischen Feldes. Aus der speziellen Relativitätstheorie wissen wir um die Äquivalenz von Masse und Energie, also fordern wir, dass der
Energie-Impuls-Tensor die Quelle des Gravitationsfeldes ist, oder kurz:
Gµν = a · Tµν
Hier sei nocharauf hingewieÿen, dass
Tµν wie ein Tensor transformiert, d.h. Gµν muss,
um für ein beliebiges Koodinatensystem zu gelten, ebenfalls wie ein Tensor
transformieren. Auÿerdem ist
muss auch
Gµν
Tµν symmetrisch in seinen Lorentzidizes, insofern
µ und ν sein.
symmetrisch in
Auÿerdem wollen wir
Gµν
nur aus der Metrik aufbauen, da wir annehmen, die
Gravitationkraft lässt sich vollständig als Änderung der Geometrie verstehen,
und wollen zunächst versuchen es nur mit ihrer ersten und zweiten Ableitung
und in letzterer nur linear zu erreichen.
Weiter fordern wir noch, dass Energie-Impulserhaltung gilt, also
∇Tµν = 0 ⇒
∇Gµν = 0.
Hier sei noch gesagt, dass es nicht viele Tensoren gibt, die die Obigen Forderungen v.a. das Transformationsverhalten sowie die Symmetrie der Indizes, erfüllen.
der Ricci-Tensor und die Skalarkrümmung gehören jedoch dazu.
Schlussendlich wollen wir die klassische Gravitationsmechanik noch im Grenzfall
geringer Geschwindigkeiten und schwacher Felder erhalten (4U
6
= 4πGρ).
Beachtet man all diese Forderungen, so lässt sich als einfachst mögliche Feldgleichung postulieren:
1
8πG
R̂µν − gµν R̂ = 4 Tµν
2
c
Wobei
Gµν = R̂µν − 12 gµν R̂
Einsteintensor genannt wird. Man beachte, dass
beide Seiten Tensoren sind und symmetrisch sind. Für
µ, ν ∈ {0, 1, 2, 3}
erge-
ben sich damit 10 unabhängige gekoppelte nicht-lineare Dierentialgleichungen
für die Komponenten der Metrik. Wir wollen im foglenden versuchen, diese abstrakte und unhandliche Gleichung für die bekannte Robertson-Walker-Metrik
zu lösen.
3
Die EG in der RW-Metrik
Wir betrachten wieder das Linienlement der RW-Metrik:
"
dr2
+ r2 dΩ
ds = c dt −
r2
1 − κ R(t)
2
2
2
#
2
R(t) = R · a(t) die Ausdehnung des Universums angibt und dΩ = dθ +
sin2 (θ)dφ das Raumwinkelelement.
0
Wir substituieren r −→ r · R und schreiben aus Bequemlichkeit wieder r .
"
#
dr2
2
2 2
2
2
ds = c dt − R(t)
+ r dΩ
1 − κr2
wobei:
Somit lässt sich der metrische Tensor (deniert durchdx
2
= gµν dxµ dxν )
leicht
angeben:
g µν

1
0
=
0
0
0
2
−R
1−κr 2
0
0
0
0
−R2 r2
0

0

0


0
2 2
−R r sin(θ)
Der Energie-Impuls-Tensor
Wir betrachten nun die Materie im Universum als klassische ideale Flüssigkeit,
deren Druck isotrop im Ruhesystem eines jeden Teilchens ist. Man beachte, dass
hier jede Galaxie als einzelnes Atom angenommen wird, da man sonst Probleme
bekommt, die mit Bewegungen zusammenhängen, die nicht in Richtung der
Ausdehnung verlaufen.
Damit erhalten wir den folgenden Energie-Impuls-Tensor aus der Hydrodynamik:
T µν = ( + p)uµ uν − p · g µν
7
wobei:
= ρ die Energiedichte
p der Druck
uµ das Vektorfeld der lokalen
Strömungsgeschwindigkeit
sind
Der Einfachheit halber verwenden wir hier natürliche Einheiten (~
= c = kB =
1).
Im Ruhesystem eines mitbewegten Beobachters (eines der Teilchen) vereinfacht
sich dies, da:
uµ = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) und gµν = ηµν
Damit erhalten wir (wieder in natürlichen Einheiten):


p

T µν = 




p
p
Hier sei noch angemerkt, dass diese Näherung für ein Universum erst ab
∼100
MPc sinnvoll ist, man muss also tatsächlich das ganze Universum betrachten
(∼15GPc).
Der Ricci-Tensor und die Skalarkrümmung
Nun müssen wir noch den Richi-Tensor berechnen, was ungleich mehr Arbeit
bedeutet, da wir nun die Christoelsymbole benötigen. Wir erinnern uns:
R̂νλ = Γµνλ,µ − Γµµν,λ + Γρνλ Γµµρ − Γρνµ Γµλρ
Wobei die Christoelsymbole sich wiederum zusammensetzen:
gσδ,ν − gδν,σ )
Γµνδ = 21 g µσ (gσν,δ +
Wir wissen glücklicherweise, dass sowohl Metrik als auch Energie-Impuls-Tensor
diagonal sind, und somit muss auch
Rµν symmetrisch
sein, und wir müssen nur
4 Elemente berechnen.
Einigen Rechenaufwand später erhält man:
R̂00 = −3
R̂11 =
R̂22 =
R̂33 =
R̈
c2 R
RR̈ + 2Ṙ2 + 2cκ
c2 (1 − κr2 )
r2
(RR̈ + 2Ṙ2 + 2cκ)
c2
r2
sin2 (θ)(RR̈ + 2Ṙ2 + 2cκ)
c2
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Die Skalarkrümmung erhalten wir nun als Summe der obeigen Ausdrücke:
R̂ = R̂µµ = −6
Hierbei benötigten wir
g µµ
(RR̈ + Ṙ2 + c2 κ)
c2 R2
für die gilt:
g µµ =
1
gµµ
Nun können wir die Ergebnisse gemäÿ der Einsteinschen Feldgleichung zusammenfügen und erhalten zwei alte Bekannte: die Friedmann-Gleichungen.
Die (00)-Komponente bestimmt die Hubble-Konstante:
8πG
ȧ(t)2
c2 κ
=
= H2
ρ
−
a(t)2
3
a(t)2
Und die (11)-Komponente gibt die Beschleunigung der Ausdehnung des Universums an:
Ḣ + H 2 =
¨
a(t)
4πG
= − 2 (ρc2 + 3p)
a(t)
3c
Wir haben also nun nur aus dem allgemeineren Ansatz der Mannigfaltigkeiten
bzw. gekrümmten Räumen, die Gravitationskraft auf eine Änderung der Geometrie reduziert und eine Gleichung hergeleitet, die uns eine Beziehung zwischen
Energie/Masse und der resultierenden Metrik gibt.
Abschlieÿend haben wir die Friedmann-Gleichungen aus der Einsteinschen Feldgleichung hergeleitet, die sich nun ganz natürlich in der Robertson-WalkerMetrik ergibt.
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4
Exkurs: Gravitationsstrahlung
Wir betrachten eine relativ ache Raumzeit. Dies ist global im Universum, abgesehen von schwarzen Löchern, Quasaren etc. eine relativ gute Näherung. Damit
lässt sich die Metrik folgendermaÿen aproximieren lässt:
gµν = ηµν + γµν
Also eine kleine Abweichung von der Minkowski-Metrik.
Damit ergibt sich für den Ricci-Tensor:
1
(1)
Rµν
= ∂ δ ∂κ γλδ + ∂ δ ∂λ γκδ − ∂ δ ∂δ γµν − ∂µ ∂ν γ δδ
2
Mit noch einigen (unanschaulichen) Umformungen und einer Eichung analog zur
Lorenz-Eichung der Elektrodynamik (siehe R. Wald, General Relativity S.75 )
erhalten wir dann eine Wellengleichung (vgl. kovariante Maxwell-Gleichung:
∂µ ∂ µ Aλ = −4πjλ ):
∂ δ ∂δ γ̄ = −16πTµν
Dies beschreibt genau ein masseloses Spin 2 - Teilchen (Fierz, Pauli 1936) - das
Graviton.
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