9. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung Analysis III - Ruhr

9. Übungsblatt zur Vorlesung Analysis III
Prof. Dr. Angelika Rohde, Kamil Jurczak WiSe 2014/2015
Aufgabe 1.
(2 Punkte)
Sei X ein metrischer Raum, der abzählbar im Unendlichen ist. Man zeige: Ist X homöomorph zu
einer offenen Teilmenge V ⊂ Rn , dann ist X eine topologische Mannigfaltigkeit und es existiert
ein differenzierbarer Atlas auf X.
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
a) Sei ω eine Volumenform auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit (X, A). Zeigen Sie, dass
die Eigenschaften ω verschwindet in a“, ω ist nicht negativ in a“, ω ist positiv in a“ für
”
”
”
a ∈ X nicht von der Wahl der Karte abhängen.
b) Zeigen Sie: Ist ω eine positive Volumenform auf (X, A), dann existiert zu jeder Volumenform
ω 0 auf (X, A) eine Funktion f : X → R, so dass ω 0 = f ω.
Bemerkung: f ω ist kartenweise definiert durch (f ω)ϕ ϕ(x) = f (x)·ωϕ ϕ(x) , x ∈ Uϕ , ϕ ∈ A.
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
In der Situation von Aufgabe 3 auf Blatt 7 sei Y := γ({r} × (−π, π] × (−π, π]) die Oberfläche
des Torus T = γ([0, r) × (−π, π] × (−π, π]). Zeigen Sie, dass Y eine eingebettete Mannigfaltigkeit
ist. Sei außerdem I das Radonmaß auf Y aus Satz 7.34. Zeigen Sie, dass I(1) = vol(X), wobei
X als die Oberfläche des geschlitzten Torus definiert ist.
Aufgabe 4.
(6 Punkte)
n
n
Die Menge R /Z
n
:= {x + Z
n
: x ∈ R } sei versehen mit der Quotientenmetrik bzgl. der
euklidischen Norm || · || gegeben durch
d([x], [y]) := inf{||x − y + z|| : z ∈ Zn }, [x], [y] ∈ Rn /Zn .
a) Zeigen Sie, dass d eine Metrik auf Rn /Zn definiert.
b) Zeigen Sie, dass die Abbildung
γ : Rn −→ Rn /Zn , x 7−→ x + Zn
stetig und offen ist, wobei die letztere Eigenschaft bedeutet, dass das Bild γ(U ) einer jeden
offenen Menge U ⊂ Rn ebenfalls offen ist.
c) Zeigen Sie, dass Rn /Zn eine topologische Mannigfaltigkeit ist und geben Sie einen differenzierbaren Atlas an.
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Bemerkung: Der Torus (damit ist hier die eingebettete Mannigfaltigkeit Y gemeint) aus Aufgabe
3 kann topologisch auch folgendermaßen verstanden werden: Man betrachte das Einheitsquadrat
[0, 1] × [0, 1]. Wir identifizieren gegenüberliegende Kanten miteinander. Dann ist die euklidische
Metrik kein sinnvoller Abstandsbegriff auf diesem Raum, denn über die Ränder können Punkte
häufig auf kürzerem Wege erreicht werden, als über die üblichen Strecken auf [0, 1] × [0, 1]. Insbesondere ergibt sich für eine vernünftige Metrik auf diesem Raum auch eine andere Topologie als
die durch den R2 induzierte, weswegen es durchaus sinnvoll ist den Torus auch als abstrakte Mannigfaltigkeit zu betrachten. Durch Verkleben“ der Kanten wird zumindest heuristisch deutlich,
”
dass der Torus aus Aufgabe 3 zu dem hier betrachteten, aber nicht genauer spezifizierten Raum
homöomorph ist. In dieser Aufgabe soll das Konzept des (topologischen) Torus formalisiert und
auf den n-dimensionalen Fall verallgemeinert werden.
Abgabetermin: Freitag, 12. Dezember 2014, 8:15 Uhr, im Zettelkasten auf NA 02.
Hinweis: Die Zettel sind in Gruppen von bis zu drei Studierenden abzugeben. Bitte notieren Sie
auf Ihren Lösungen auch Ihre Übungsgruppe (Nummer und Leiter), dort erfolgt die Rückgabe
der korrigierten Aufgaben.
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