¨Ubungen zur Vorlesung Riemannsche Flächen H. Klein Blatt 4,29

Übungen zur Vorlesung Riemannsche Flächen
H. Klein
Blatt 4,29. November 2016
(13) Seien X ein T1 -Raum (d.h. ein topologischer Raum in dem jede einelementige Teilmenge abgeschlossen ist, oder gleichwertig so dass für alle x, y ∈ X mit x 6= y
stets eine in X offene Menge U ⊆ X mit x ∈ U und y ∈
/ U existiert), n ∈ N,
x1 , . . . , xn ∈ X paarweise verschieden und A1 , . . . , An komplexe Algebren. Weiter
bezeichne F die zugehörige Wolkenkratzergarbe über X. Berechne für jeden Punkt
x ∈ X den Halm Fx von F in x.
(14) Seien X ein topologischer Raum, F, G zwei Garben über X und f : F → G ein
Homomorphismus von Garben über X. Zeigen Sie:
(a) Genau dann ist f injektiv wenn fU : F (U ) → G(U ) für jede in X offene Menge
U ⊆ X injektiv ist.
(b) Genau dann ist f ein Isomorphismus wenn f injektiv und surjektiv ist.
(15) Sei Λ ein Gitter in C und bezeichne p : C → C/Λ die Projektion. Zeigen Sie:
(a) Ist S eine Riemannsche Fläche so ist eine Abbildung f : C/Λ → S genau dann
holomorph wenn f ◦ p : C → S holomorph ist.
(b) Ist Λ0 ein weiteres Gitter in C mit Λ ⊆ Λ0 so ist die Abbildung f : C/Λ →
C/Λ0 ; z + Λ 7→ z + Λ0 holomorph.
(16) Sei Λ ein Gitter in C. Zeigen Sie:
(a) Für jedes k ∈ N mit k ≥ 3 ist
f : C\Λ → C; z 7→
1
(z − ω)k
ω∈Λ
X
eine bezüglich Λ elliptische Funktion deren Pole genau in den Elementen von
Λ liegen und alle Vielfachheit k haben.
(b) Die Weierstraßsche ℘-Funktion
X 1
1
1
− 2
℘ : C\Λ → C; z 7→ 2 +
2
z
(z
−
ω)
ω
06=ω∈Λ
ist eine bezüglich Λ elliptische Funktion deren Pole genau in den Elementen
von Λ liegen und alle doppelt sind.
Abgabe: Donnerstag, den 1. Dezember in der Vorlesung.