Analysis I

Analysis I
Wintersemester 2013/2014
Prof. Dr. D. Lenz
Blatt 6
(1) Sei
Abgabe 28.11.2013
a>0
und für
an =
√
n∈N
n+a−
deniere
√
Man zeige, dass für alle
n,
bn =
n > a2
q
√
√
n + n − n,
cn =
p
√
n + n/a − n.
gilt
an < bn < cn
n→∞
und für
gilt
an → 0,
(2) Sei
(xn )
1
bn → ,
2
eine Folge reeller Zahlen und
x
cn → ∞.
eine reelle Zahl. Weiterhin seien folgende
Aussagen gegeben:
∀k ∈ N
∀q ∈ Q \ {0}
∀ε > 0
∃n0 ∈ N
∀n0 ∈ N
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
∃n0 ∈ N
∃n0 ∈ N
∃n0 ∈ N
∀ε > 0
∃ε > 0
∀n ≥ n0
∀n ≥ n0
∀n ≥ n0
∀n ≥ n0
∀n ≥ n0
|xn − x| < k1 ,
|xn − x| < q 2 ,
|xn − x| ≤ ε,
|xn − x| < ε,
|xn − x| < ε.
(a) Schreiben Sie die Aussagen (i)-(v) als vollständige Sätze ohne Verwendung von
Quantoren.
(b) Untersuchen Sie, ob die Aussagen (i)-(v) jeweils dazu äquivalent sind, dass die
Folge
(xn )
gegen die reelle Zahl
x
konvergiert.
(3) Man beweise mit Hilfe der Grenzwertdenition folgende Aussagen:
(n+1)2 −n2
n
n
(b) n → 0
2
(a)
(c)
→ 2,
1+23 +...+n3
n4
→
1
.
4
Hinweis: Beginnen Sie Ihre Beweise mit Sei
für alle
n∈N
gilt:
ε > 0. . In (c) zeige man zunächst, dass
n
X
1
k 3 = n2 (n + 1)2 .
4
k=1
b.w.
(4) Untersuchen Sie mit Hilfe der Rechenregeln für konvergente Folgen die angegebenen
Folgen reeller Zahlen auf Konvergenz bzw. Divergenz:
(a)
Zusatzaufgabe:
Z → Z, x 7→ x(3x − 1)
a ∈ Q \ {0}
und
b∈Q
a ∈ Q \ {0} und b ∈ Q.
wenn b/a ∈ R \ Z.
(c) Sei
(b)
(−1)n n2
,
2n2 + 5
(c)
3n2 + n
.
n3 + n − 1
(Z1)
(a) Die Funktion
(b) Für alle
(n + 1)!
,
(n + 2)! − n!
ist injektiv.
ist die Funktion
Die Funktion
Q → Q, x 7→ x(ax + b)
Z → Z, x 7→ x(ax + b)
injektiv.
injektiv genau dann