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Prof. Dr. T. Guhr, Dr. S. Krause
7. November 2016
Theoretische Physik 5: Statistische Physik — Hausübung 4
Abgabe: 14. November 2016 bis 10:15 Uhr, entweder vor der Vorlesung oder in MG 324
H7. Diffusion
Betrachten Sie die zeitabhängige Gaußverteilung
1
x2
√
,
P (x, t) =
exp −
4Dt
4πDt
welche eine Diffusion mit der Diffusionskonstanten D beschreibt.
Zeigen Sie, dass eine zeitabhängige Wahrscheinlichkeitsdichte mit der normierten Anfangsbedingung W0 (x) sich diffusiv entwickelt, wenn sie durch die Faltung
Z∞
W (x, t) =
dx0 P (x − x0 , t)W0 (x0 )
−∞
gegeben ist. Zeigen Sie, dass W (x, t) die Diffusionsgleichung, die Anfangsbedingung und die
Normierung für alle Zeiten erfüllt. (6 P)
H8. 1-dim Diffusion von Teilchen
Betrachten Sie N nichtwechselwirkende identische, aber unterscheidbare Teilchen in einer
Dimension.
a) Zur Zeit t = 0 befinde sich das n-te Teilchen im Intervall [−a, +a], kein Ort xn ∈ [−a, +a]
sei ausgezeichnet (n = 1, 2, . . . , N ). Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte wn,0 (x) an.
(2 P)
b) Was ist die Wahrscheinlichkeitsdichte W0 (x1 , . . . , xN ), die Teilchen zur Zeit t = 0 an
den Orten x1 , . . . , xN zu finden? (2 P)
c) Jedes einzelne Teilchen bewegt sich diffusiv, so dass sich die Wahrscheinlichkeitsdichten
der Orte durch die in Aufgabe (H7) angegebene Faltung entwickeln. Geben Sie die
Wahrscheinlichkeitsdichte W (x, t) an, die Teilchen zur Zeit t an den Orten x1 , . . . , xN
zu finden. Drücken Sie W (x, t) mit Hilfe der Fehlerfunktion
2
erf(z) = √
π
Zz
2
e−ξ dξ
0
aus. (3 P)
d) Zusatzaufgabe (+3 P)
Berechnen Sie den Mittelwert und die Varianz des Ortes eines Teilchens sowie des
Schwerpunktes aller Teilchen.
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7. November 2016
H9. Gesetz der großen Zahl
a) Sie würfeln N mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Pn , genau n-mal eine Sechs zu
werfen? (1 P)
b) Bestimmen Sie die Halbwertsbreite ∆FWHM der Verteilungskurve Pn für N = 10, 100,
1000 und vergleichen Sie diese mit der zugehörigen Standardabweichung ∆n(N ) . Für
N = 10 kann ∆FWHM graphisch aus dem Verlauf von P bestimmt werden, für N = 100
bzw. N = 1000 kann man die Gauß-Näherung für Pn verwenden. (3 P)
c) Vergleichen Sie die Formabhängigkeit der Verteilungskurven von N , indem Sie die auf
den Bereich [0, 1] projizierte Verteilung P̃xn = N · Pn mit xn = n/N für N = 10, 100,
1000 graphisch darstellen, wobei für N = 100 bzw. 1000 wiederum die Gauß-Näherung
für Pn völlig ausreicht. Wie ändert sich die Halbwertsbreite der P̃xn mit N ? Welche
Form nimmt P̃xn für N → ∞ an? (3 P)
H10. Zusatzaufgabe: Beweis der Stirling–Formel mittels Sattelpunktnäherung
Die Sattelpunktnäherung ist ein weit verbreitetes mathematisches Hilfsmittel zur Berechnung
des asymptotischen Verhaltens einiger Integrale. Die Stirling–Formel,
√
N ! → 2πN N N e−N , für sehr große N,
ist ein weiteres Hilfsmittel in der Asymptotik großer Zahlen. Beweisen Sie mit Hilfe der Sattelpunktsnäherung die Stirling–Formel. Gehen Sie dabei wie folgt vor.
a) Benutzen Sie für N ! die Gammafunktion (+1 P)
Z∞
Γ(z) =
ξ z−1 e−ξ dξ
0
und schreiben Sie den gesamten Integranden als Exponentialfunktion
Z∞
e−L(ξ) dξ .
0
b) Berechnen Sie das Extremum ξ0 von L bezüglich der Integrationsvariablen ξ und entwickeln Sie L bis zur zweiten Ordnung um ξ0 , (+2 P)
1
L(ξ) ≈ L(ξ0 ) + L0 (ξ0 )(ξ − ξ0 ) + L00 (ξ0 )(ξ − ξ0 )2 .
2
c) Integrieren Sie dann über ξ. Beachten Sie bei der Berechnung des Integrals, dass N sehr
groß sein soll und im Grenzfall gegen unendlich geht. (+2 P)
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