5.¨Ubung zur Statistischen Mechanik 19. Druck des Van-der

Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln - WS 2013/2014
Prof. Dr. J. Krug
Dr. I. Szendro
5. Übung zur Statistischen Mechanik
Abgabe: Freitag 22. November bis 12:00 Uhr im Kasten vor dem Institut für Theoretische
Physik
19. Druck des Van-der-Waals-Gases
(9 Punkte)
Die Entropie des Van-der-Waals Gases ist gegeben durch
( (
)
))
(
V − Nb
3
E + aN 2 /V
S(E, V, N ) = kB N ln
+ ln
,
V0
2
E0
wobei a und b positive Parameter geeigneter Dimension sind. V0 und E0 sind Konstanten, die
aus der Rechnung herausfallen. Berechnen Sie den Druck in Abhängigkeit der Temperatur.
Hinweis: Berechnen Sie zunächst T (E, V, N ) und lösen Sie nach E auf.
20. Negative Temperaturen
(5+4 = 9 Punkte)
Betrachten Sie zunächst noch einmal den Paramagneten aus Aufgabe 18 und machen Sie sich
klar, daß das System bei positiven Energien eine negative Temperatur aufweist und umgekehrt!
Dieses Phänomen kann allgemein bei Systemen mit nach oben beschränkter Energie auftreten1 .
Die Frage ist nun, wie “heiß” ein solches System mit negativer Temperatur ist. Dazu betrachten
wir zwei Systeme mit Anfangstemperaturen T1 und T2 , die in einem quasistatischen Prozess in
thermischen Kontakt miteinander gebracht werden.
a) Bestimmen Sie die Richtung des Energieflusses zwischen den beiden Systemen falls (i) T1 >
T2 > 0, (ii) T1 > 0 > T2 , (iii) 0 > T1 > T2 .
Hinweis: Benutzen Sie die differentielle Form des zweiten Hauptsatzes.
b) Welche ist die natürliche Anordnung der Temperaturachsen T > 0 und T < 0, wenn man
fordert, daß die Energie stets vom heißeren zum kälteren System fließt?
21. Mischentropie I
(5+5+5 = 15 Punkte)
Bei der Berechnung der Zustandssumme des idealen Gases mußte wegen der Ununterscheidbarkeit der Teilchen noch ein Korrekturfaktor 1/N ! eingeführt werden. Hier soll nun ein Gas
betrachtet werden, das aus n Teilchensorten besteht, die jedoch alle dieselbe Masse m haben.
Die Teilchen innerhalb einer Sorte seien ununterscheidbar,
die Sorten dagegen unterscheidbar.
∑n
Weiterhin sei die Gesamtzahl der Teilchen N = i=1 Ni , wobei Ni die Zahl der Teilchen der
Sorte i ist.
a) Wie lautet nun der Korrekturfaktor, der bei der Berechnung der Zustandssumme dieses
Systems zu berücksichtigen ist?
1
Auch in Köln wird zu negativen Temparaturen geforscht. Interessante Artikel hierzu finden Sie auf der
Webseite der Vorlesung.
1
b) Berechnen Sie unter der Annahme Ni ≫ 1 , ∀ i, die Zunahme der Entropie im Vergleich zum
Fall mit nur einer Teilchensorte.
c) Zeigen Sie weiterhin, daß die Entropiezunahme bei vorgegebenen Konzentrationen ci = Ni /N
extensiv, d.h. proportional zu N ist.
22. Mischentropie II
(10 Punkte)
Wir betrachten ein System bestehend aus zwei idealen Gasen unterschiedlicher Teilchensorten 1 und 2, die sich zunächst in getrennten Volumina V1 und V2 befinden. Druck und
Temperatur beider Gase seien gleich, d.h. T1 = T2 und E1 /V1 = E2 /V2 . Nach Entfernung der
Trennwand zwischen den beiden Gasen vermischen sich diese im Volumen V = V1 + V2 .
Berechnen Sie die Entropieerhöhung des Systems durch Anwendung der Sackur-Tetrode-Gleichung
[
(
)
( )
( 5 ( ) )]
3
3
V
1
e
m 3
S(T, V, N ) = kB N
ln
kB T + ln
+ ln
.
2
2
N
2
(3π)3 ~2
auf das System vor und nach Entfernung der Trennwand. Vergleichen Sie das Ergebnis auch mit
Aufgabe 21.
Hinweis: Schreiben Sie die Entropie des Gesamtsystems als Summe der Entropien der beiden
Gase.
23. Temperaturausgleich
(13+4 = 17 Punkte)
Zwei Körper mit Wärmekapazitäten C1 und C2 und Temperaturen T1 und T2 werden in thermischen Kontakt gebracht.
a) Bestimmen Sie die Temperatur T in dem sich einstellenden, neuen Gleichgewichtszustand des
Gesamtsystems und berechnen Sie die damit verbundene Entropiezunahme ∆S. Zeigen
Sie, daß immer ∆S > 0 gilt. C1 und C2 sollen in dieser Aufgabe als temperaturunabhängig
behandelt werden.
Tipp: Es gilt ln x ≤ x − 1.
b) Betrachten Sie nun zwei Wasserbehälter, die miteinander in thermischen Kontakt gebracht
werden. Der eine sei mit zwei Litern T1 = 20◦ C warmen Wassers gefüllt, der andere
mit einem Liter zu T2 = 20.001◦ C. Um welchen Faktor erhöht sich die Anzahl der
Mikrozustände?
Hinweis: Die spezifische Wärme von Wasser bei 20◦ C beträgt cW ≈ 4, 182 J/gK und der
Wert der Dichte ist ρ ≈ 998, 20 kg/m3 .
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