Übungen zur Vorlesung Theoretische Physik IIa SS 2007 G. Mahler

Übungen zur Vorlesung Theoretische Physik IIa
G. Mahler
SS 2007
Blatt 8
Aufgabe 3. Information und Korrelation
oder
Aufgabe 1
w (A,B) (ij) = w (A) (i) · w (B) (j|i),
Ein Gefäß mit einem Volumen von 1 cm3 sei bei 0°C auf 10−9 bar evakuiert.
a) Wie groß ist die Zahl der Moleküle N ?
(1 Punkt)
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( Nx ), dass die Anzahl der Moleküle in der
einen Hälfte des Gefäßes nL = N2 + x beträgt.
(1 Punkt)
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit Pα , dass die Anzahl der Moleküle in der einen
Hälfte des Gefäßes die Anzahl in der anderen um mindestens α = 10−2 (10−4 , 10−5 )
der Gesamtzahl N übersteigt?
(2 Punkte)
Hinweis: Betrachten Sie die Gasmoleküle als (nicht-wechselwirkende) unterscheidbare Teilchen, Loschmidtsche Zahl L = 6 · 1023 . Nehmen Sie an, dass nL gaußverteilt
ist mit Mittelwert nL = N2 und quadratischer Schwankung σ 2 = N4
i ∈ A; j ∈ B
a) Berechnen sie die Shannon-Entropie σ (A,B) zu w (A,B) für den Fall, dass beide
Merkmale streng korreliert sind, d.h.
w (B) (j|i) = δij ; i, j = 1, 2 . . . n
(A)
Beachten Sie, dass wi
b) Berechnen Sie σ
sind.
(A,B)
=
P
j
w (A,B) (ij).
(3 Punkte)
für den Fall, dass beide Merkmale statistisch unabhängig
(3 Punkte)
Aufgabe 4. Anwachsen der Entropie
Für die Dynamik der Wahrscheinlichkeitsverteilung wi (t) gelte die Ratengleichung
(für isolierte Systeme)
Aufgabe 2
dwl X
[alm wm (t) − aml wl (t)]
=
dt
m6=l
Beim flüssig-Gas-Übergang von Wasser muss man eine latente Wärme = VerdampJ
fungswärme ∆Q von 4 · 104 mol
aufbringen (Siedepunkt TS = 400K).
a) Wie groß ist die Entropiezunahme ∆S pro Mol?
(schriftlich)
Laut Vorlesung ist die Wahrscheinlichkeit zu zwei Ereignismengen (Merkmalen) A,
B
w(A ∩ B) = w(A)w(B|A)
(0.5 Punkte)
b) Nehmen Sie an, dass das System Wasser vorher und nachher in einem wohldefinierten Zustand ist, die Entropiezunahme also auf eine Zunahme unseres Unwissens zurückzuführen wäre. Wieviele Ja/Nein-Fragen wären experimentell zu beantworten, um den damit verbundenen „Informationsverlust“ wieder zu beseitigen?
(1.5 Punkte)
mit den sogenannten Übergangsraten
alm = aml > 0.
P
Die Entropie sei σ(t) = − l wl (t)ln [wl (t)].
a) Bestimmen Sie für ein 2-Zustandsmodell die stationäre Verteilung
(1 Punkt)
b) Zeigen Sie, dass
1X
dσ
=
aml [wl − wm ] (ln [wl ] − ln [wm ]) ≥ 0
dt
2 l,m
J
Hinweis: kB = 1.38 · 10−23 K
(1)
(2 Punkte)
Aufgabe 5
befinde sich mit der WahrscheinEin System mit 2 Energiezuständen E± = ± ~ω
2
lichkeit p im Zustand E+ . Berechnen Sie die mittlere Energie U als Funktion von p
sowie als Funktion von α = 2k~ω
, wenn p = Z1 e−α
(2 Punkte)
BT