end L2 start A L1 - Institut für Theoretische Physik I

Universität Stuttgart
Institut für Theoretische Physik 1
Apl. Prof. Dr. J. Main
Übungen zur Vorlesung „Statistische Mechanik“, WS 2015/16
4. Übungsblatt vom 04. November 2015
Abgabe: 11.11.2015
Besprechung: 18./19.11.2015
Aufgabe 1: schriftliche Aufgabe
3 Punkte
a) Sei x ∈ R3 . Zeigen Sie, dass die Gültigkeit der Integrabilitätsbedingungen
∂fj
∂fi
=
∂xj
∂xi
(1)
P
für das Differential df = i fi dxi in einem einfach zusammenhängenden Raum hinreichend dafür ist, dass f (x) eine Zustandsfunktion ist.
Hinweis: Da der Wert einer Zustandsfunktion unabhängig vom Integrationsweg df ist,
können Sie den Satz von Stokes benutzen.
L2
end
A
start
L1
b) Welche Beziehungen sind demnach z. B. zwischen der Temperatur und dem Druck gültig
(dU = T dS − P dV + µdN )?
p
c) Sei g = eφ /2πr mit eφ = (−y, x)T /r und r = x2 + y 2 . Zeigen Sie, dass rot g = 0 für
rH 6= 0. Wählen Sie als Integrationspfad einen Kreis um den Ursprung und berechnen Sie
g dx. Ist der Satz von Stokes anwendbar?
Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten.
Aufgabe 2: Votieraufgabe
Für die Entartungsfunktion g eines Spinsystems in einem Magnetfeld gilt
r
2 −U 2 /2m2 B 2 N
g(U, N ) =
e
.
πN
2 Punkte
(2)
Bestimmen Sie die Entropie S = kB · ln g(U, N ) und skizzieren Sie sie in einem S-U -Diagramm.
Widersprechen sich das Ergebnis und Postulat III (die Entropie ist eine monoton ansteigende
Funktion der inneren Energie)? Berechnen Sie zur Beantwortung dieser Frage die Temperatur
des Systems. Überprüfen Sie die Gültigkeit des Nernst-Postulates.
Bitte wenden!
Aufgabe 3: Votieraufgabe
2 Punkte
Zeigen Sie, dass folgender Zusammenhang gilt:
cP = cV +
T V α2
.
N κT
(3)
a) Beginnen Sie mit dem vollständigen Differential von S = S(T, V ). Wechseln Sie zu den
Variablen
(T, P ), indem Sie V als Funktion von T und P auffassen: V (T, P ). Berechnen
∂S Sie ∂T
und ersetzen Sie die bekannten Ableitungen.
P
∂S b) Bestimmen Sie ∂V
: Die Integrabilitätsbedingung für die freie Energie (die sie später in der
T
∂S = ∂P
Vorlesung kennenlernen werden) erzwingt, dass ∂V
∂T V . Um den Zusammenhang (3)
T
zu zeigen, muss nun noch bewiesen werden, dass
∂P α
=
.
(4)
∂T V
κT
Vergleichen Sie hierzu die Koeffizienten des Differentials von T = T (P, V (T, P )) und ersetzen Sie dV wie in Teilaufgabe a).
Hinweis: Die in (3) enthaltenen Koeffizienten sind folgendermaßen definiert:
• Isobare spezifische Wärme: cP =
T
N
• Isochore spezifische Wärme: cV =
∂S
∂T P
T
N
∂S
∂T V
• Thermischer Ausdehnungskoeffizient: α =
• Isotherme Kompressibilität: κT = − V1
1
V
∂V
∂P T
∂V
∂T P