Thermodynamik und Statistisch - Institut für Theoretische Physik

Goethe-Universität Frankfurt
Fachbereich Physik
Prof. Dr. Roser Valentı́
Dr. Harald O. Jeschke
Frankfurt, 15. Oktober 2013
Übungen zur Vorlesung
Theoretische Physik V – Thermodynamik und Statistische Mechanik
Wintersemester 2013/14
Blatt 1
(Abgabetermin: Montag, 21. 10. 2013)
Name(n), Übungsgruppe
Verwendete
Hilfsmittel
Aufgabe 1 (Exakte Differentialform) (12 Punkte)
Der Differentialausdruck
df = a(x, y)dx + b(x, y)dy
sei gegeben.
(a) Finden Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung an a(x, y) und b(x, y), so dass
df ein exaktes Differential ist, d.h. dass es eine Zustandsfunktion f(x, y) gibt, die
∂f(x, y)
= a(x, y) ,
∂x
erfüllt.
(b) Bestimmen Sie die Zustandsfunktion f für
h x i
y
df = dx + ln α+1 dy ,
x
y
∂f(x, y)
= b(x, y)
∂y
x, y > 0 , α = const
(c) Sei nun df kein exaktes Differential. Es existiere eine Funktion g = g(y) mit der Eigenschaft
∂b(x, y) ∂a(x, y)
−
= g(y)a(x, y)
∂x
∂y
Zeigen Sie, dass jede nichttriviale Lösung µ = µ(y) von
µ 0 (y) = g(y)µ(y)
ein sogenannter integrierender Faktor ist, d.h., das Produkt µ(y)df ist ein exaktes Differential.
(d) Bestimmen Sie die integrierenden Faktoren µ(x, y) für
df = αydx − βxdy ,
α, β = const
df = y3 dx + (2xy2 + 1)dy .
Aufgabe 2 (Partielle Ableitungen) (8 Punkte)
Gegeben sei eine glatte Funktion f(x, y, z) mit der Eigenschaft, dass in einem geeigneten
Gebiet die Gleichung f(x, y, z) = 0 nach jeder der drei Variablen x, y oder z eindeutig als
glatte Funktion der beiden anderen Variablen aufgelöst werden kann. Das heißt insbesondere,
dass die partiellen Ableitungen der Funktionen x(y, z), y(x, z) und z(x, y) auf dem Gebiet
existieren und ungleich Null sind. Zeigen Sie
∂y
∂x
= 1,
(a)
∂y z ∂x z
∂y
∂z
∂x
= −1 .
(b)
∂y z ∂z x ∂x y
Überprüfen Sie diese beiden Beziehungen für das ideale Gas, das durch die ideale Gasgleichung
pV = RT , also f(p, V , T ) = pV − RT = 0 charakterisiert ist.