Aufgaben zur VL 131207

Übungen zu Mathematik I – WS 2007/08
8. Vorlesungsstunde (13.12.2007)
23) a) Beschreiben Sie in Worten was das totale Differential einer Funktion z = f(x;y) ist.
b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen g(x;y) und h(x;y) wenn dz ein totales
Differential ist?
dz = g( x; y) ⋅ dx + h ( x; y) ⋅ dy
c) Wie lässt sich prüfen, ob dz der angegebenen Gleichung tatsächlich ein totales
Differential darstellt?
24) a) n Mol eines idealen Gases werden bei konstantem Volumen erwärmt, wobei die
Temperatur T um dT zunimmt. Dabei ändert sich dessen Wärmemenge um den Betrag
q1 :
q 1 = n ⋅ c v ,m ⋅ dT
Nun wird das Volumen isotherm um dV ausgedehnt, wobei die Wärmemenge q2
aufgenommen wird (q2 entspricht der vom System geleisteten Arbeit):
q 2 = p ⋅ dV =
nRT
⋅ dV
V
Insgesamt ändert sich die Wärmemenge also um dq:
dq = q 1 + q 2 = n ⋅ c v ,m ⋅ dT +
nRT
⋅ dV
V
Untersuchen Sie, ob es sich bei dem Ausdruck für dq um ein totales Differential
handelt. Ist die Wärme q(T;V) eine Zustandsfunktion?
b) Im unter a) beschriebenen Experiment ändert sich mit der Wärme auch die
Entropie, wobei gilt:
dq
dS =
T
Untersuchen Sie, ob dS ein totales Differential ist. Ist die Entropie S(T;V) eine
Zustandsfunktion?
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25) a) Bilden Sie das totale Differential dz der folgenden Funktion
f ( x; y) = z = ln (2 x 2 + 4 y 2 ) 3
Hinweis: bringen Sie die gegebene Funktionsgleichung erst in eine günstigere
Form durch Anwendung der Potenzregeln und der Rechenregeln für logarithmische
Ausdrücke.
b) Wie lautet das totale Differential dz an der Stelle (x;y) = (-1,0; 2,0)?
c) Berechnen Sie das totale Differential dz für den Übergang von der Stelle (x;y) = (-1.0;
2.0) zur Stelle (x;y) = (-1,1;2,2) sowie zur Stelle (- 2.0; 4,0). Wie groß ist jeweils die
Änderung des Funktionswertes ∆z? Vergleichen Sie die für dz erhaltenen Werte mit
den entsprechenden ∆z-Werten. Ist dz eine gute Näherung für die tatsächliche
Änderung ∆z des Funktionswertes?
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