V2 Felder (Funktionen mehrerer unabhängigen Variablen) Orts- und zeitabhängige physikalische Größen werden durch "Felder" beschrieben. Beispiel: Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik: Vektor-Analysis: nützlichen Identitäten Ziel der folgenden Abschnitte ist, elementare Rechenoperationen für Felder einzuführen. Beispiel 1: Temperatur im Zimmer Menge aller Punkte im Zimmer = Temperatur am Punkt Beispiel 2: Zeitabhängige Temperatur im Zimmer Zeitintervall = Temperatur am Punkt zur Zeit Beispiel 3: Luftfluss durch Tunnel = Luftgeschwindigkeit am Punkt Beispiel 4: Ferromagnet zur Zeit Menge aller Vektoren mit Betrag = 1 = 'Magnetisierung' am Punkt zur Zeit Allgemeine mathematische Struktur eines 'Feldes': 'Basismannigfaltigkeit' 'Zielmannigfaltigkeit' 'Skalarfeld' Beispiele: Temperatur, Druck, Dichte 'Vektorfeld' Beispiele: Luftfluss, Magnetfeld, Elektrisches Feld, Gravitationskraftfeld Skalarfeld: (z.B. Höhe eines Gebirges) Vektorfeld: (z.B. Stromfluss im Wassertank) Vektorfeld: (z.B. Stromfluss an Wasseroberfläche) Wie ändern sich Felder als Funktion v. Wie bildet man Ableitungen von Feldern? ? C3: Partielle Ableitungen C3 Partielle Ableitungen Betrachte (Skalarfeld) z.B. für d=3, mit C3.1 Partielle Ableitung: wie ändert sich als Funktion v. nur einer der Variablen, , wenn die anderen Variablen festgehalten werden? Wie ändert sich als Funktion v. nur einer der Variablen, Definition: 'Partielle Ableitung von am Punkt nur ? ': , nach ändert sich, um In Vektornotation: eher unüblich Alternative Notationen: Lieblingsnotation von JvD Merkregel: Index oben 'im Nenner der Ableitung' = Index unten in Kurznotation! Beispiele: [Index, nicht Potenz!] C3.2 Mehrfache partielle Ableitungen (rekursive Definition) Gemischte partielle Ableitungen: Beispiel v. Seite C3a: gleich! (falls f stetige Ableitungen bis mindestens zur 2.ten Ordnung besitzt) Satz v. Schwarz: Für hinreichend glatte Funktionen sind part. Ableitungen vertauschbar: V3 Skalare Felder Beispiel: Höhenfeld Kontur-Linien: Dort, wo Konturlinien dicht liegen, ist es "steil". Funktion ändert sich am schnellsten in Richtung senkrecht zu den Konturlinien. Frage: Welcher Vektor gibt diese Richtung an? Antwort: Gradient: (wird im Folgenden eingeführt) [für Figur wurde c=1 gewählt] V3.1 Totales Differential Wie ändert sich eine Funktion an einem gegebenen Punkt ? in eine vorgegebene Richtung 'totales Differential' liefert die Antwort: vergleiche "Mutter aller Ableitungen", (C1b.3) ist eine 'Maschine', definiert bei Das totale Differential , die einen Vektor und als Antwort eine Zahl 'ausspuckt', nämlich die differenzielle Änderung v. f bei einem 'frisst' -Schritt. Falls (Begründung: Seite 3d) Allgemein gilt: Beispiel: Höhenfeld nachdifferenziert nach Anmerkung: trotz des "d" in der Notation, ist das totale Differential im Allgemeinen nicht infinitessimal klein! Es ist nur dann klein, wenn der Vektor im Argument klein ist: falls z.B.: Noch ein Beispiel: Volumen als Funktion v. Temperatur und Druck: Physikersprech: wenn der Druck sei die 'infinitesimale Zunahme' des Volumens zunimmt um : Gemeint ist: Fazit: dV ist das totale Differential angewendet auf den infinitesimalen Vektor Begründung für (V3b.3): explizit für : subtrahiere und addiere dieselbe Größe vernachlässigbar! (5) eingesetzt in (2) Analog folgt (V3b.3) für beliebiges d Kompaktnotation: (C3a.3) V3.2 Gradient Das totale Differential 'wirkt linear auf seinen Argument-Vektor': (1) und (2) lassen sich kompakt schreiben, wenn wir der Funktion f einen neuen Vektor zuordnen: Def: 'Gradient v. am Punkt : Beispiel: Höhenfeld: mit Skalarproduktnotation: vergleiche (VC3.1) für (1): für (2): (siehe Fig, Seite V3a !) Geometrische Interpretation des Gradienten-Vektors Skizze in d = 2 Dimensionen, zur Veranschaulichung: (sei ein Einheitsvektor, Richtung beliebig) zeigt in Richtung maximaler Steigung Steigung in -Richtung Höhen-, Konturlinien: = konst. maximal falls zeigt in Richtung maximaler Steigung v. 0 falls steht Beispiel: (allgemeiner: Höhenflächen) auf den Höhenlinien v. Sei mit = nach 'aussen' gerichteter Vektor Für Skizze für Zusammenfassung C3: Partielle Ableitungen Partielle Ableitung: Satz v. Schwarz: Totales Differential: Kettenregel: Zusammenfassung V2: Konzept eines Feldes Zusammenfassung V3: Skalarfelder, Gradient Totales Differential: differentielle Änderung von bei durch einen -Schritt: Gradient: zeigt in Richtung maximaler Steigung v. steht auf den 'Höhenflächen' v.