Serie 8: Partielle Integration

Übungen zur Quantenphysik
Serie 8: Partielle Integration
1. Lektüre im Ergänzungsskript und ein Einstiegsbeispiel
Studieren Sie den gesamten Abschnitt 2.4.3 im Ergänzungsskript (= Seite 22).
Berechnen Sie anschliessend – ganz analog zum im Skript vorgezeigten Beispiel – das folgende bestimmte Integral:
Z π
x sin x dx
0
2. Ein Beispiel und drei Aufgaben zur partiellen Integration
Nochmals ein Musterbeispiel:
Z
e
x ln x dx =?
1
Gedankenschritte:
i. Zunächst bemerken wir, dass es sich beim Integranden (= Funktion, über die integriert wird) um
ein Produkt zweier Funktionen von x handelt, nämlich x und ln x.
ii. Es wäre schön ln x irgendwie loszuwerden, denn das Produkt mit diesem Logarithmus sieht echt
schwierig zu integrieren aus.
2
iii. Idee: Wir erkennen x als Ableitung von u(x) = x2 . D.h., wir können diesen Teil der Gesamtfunktion partiell integrieren und müssen dafür beim Restterm die Funktion v(x) = ln x ableiten. Das
stört uns aber überhaupt nicht, denn genau so werden wir ln x los, weil [ln x]′ = x1 .
2
Hier nun die konkrete Ausführung mit u(x) = x2 und v(x) = ln x:
Z b
Z b
b
′
−
u(x)v ′ (x)
Allgemein:
u (x)v(x) = u(x)v(x)
a
a
In dieser Aufgabe:
a
e Z e
e
x2
x ln x dx =
· ln x −
2
1
1
1
Z e
2
e
1
=
·1− ·0 −
2
2
1
Z
=
e2
2
x
dx
2
e2 + 1
x2 e
=
.
.
.
=
−
4 1
4
Berechnen Sie nun die folgenden Integrale mittels partieller Integration:
Z ∞
Z e
2
xe−x dx
x ln x dx
(b)
(a)
0
1
x2 1
· dx
2 x
(c)
Z
1
x2 ex dx
0
Tipp zu (b): Betrachten Sie e−x als Ableitung von u(x) = −e−x .
Tipp zu (c): ex bringen Sie durch partielle Integration nicht weg! Also sollten Sie so partiell integrieren,
dass Sie x2 ableiten können. Damit sind Sie aber noch nicht ganz fertig. Es braucht noch eine zweite
partielle Integration!
Resultate zum Überprüfen:
2e3 + 1
9
(a)
1
(b)
1
(c)
e−2
3. Zusatzaufgabe (fakultativ): Partielle Integration in der Quantenmechanik
In der Quantenmechanik haben wir es mit Wellenfunktionen Ψ (x, t) zu tun, die im Prinzip über den
ganzen Raum verteilt sind. Unsere Integrale laufen demzufolge in der Regel von −∞ bis +∞.
Allerdings müssen alle Wellenfunktionen der Normierungsbedingung
Z +∞
|Ψ (x, t)|2 dx = 1
−∞
genügen. Als Folge davon müssen sowohl die Wellenfunktion, wie auch alle ihre Ableitungen im Unendlichen verschwinden:
lim Ψ (x, t) = 0
x→±∞
∂Ψ (x, t)
=0
x→±∞
∂x
lim
∂ 2 Ψ (x, t)
=0
x→±∞
∂x2
lim
etc.
Diese Aussage brauchen Sie im Moment nicht ganz genau zu verstehen. Es genügt, wenn Sie Ihnen
plausibel vorkommt.
Aufgrund dieser Gesetzmässigkeit vereinfacht sich die partielle Integration bei Wellenfunktionen in der
Regel ganz enorm, was im QM-Buch von Griffiths oftmals zur Vereinfachung eines Terms ausgenutzt
wird. Z.B. wird so auf Seite 37 die Gleichung (1.30) zur Gleichung (1.31) umgeformt:
Z +∞ Z
∂Ψ ∗
dhxi (1.31) i~ +∞ ∗ ∂Ψ
dhxi (1.30) i~
∗ ∂Ψ
−
Ψ dx
⇒
dx
Ψ
= −
= −
Ψ
dt
2m −∞
∂x
∂x
dt
m −∞
∂x
Überzeugen Sie sich von der Richtigkeit dieser Umformung.
Tipps:
• Die linke Seite der Gleichung bleibt ja dieselbe. Um diese brauchen Sie sich also nicht zu kümmern.
Zu zeigen ist, dass die beiden rechten Seiten von (1.30) und (1.31) gleich sind.
• Lassen Sie sich nicht durch das Zeichen ∂ für die partielle Ableitung verwirren. Die Wellenfunktion
Ψ ist nun mal eine von x und von t abhängige Funktion. Somit muss bei der Ableitung nach x
eben stets das ∂-Zeichen anstelle des d’s notiert werden.
• Fassen Sie Ψ und Ψ ∗ als zwei ganz verschiedene Funktionen von x auf. D.h., die Funktion Ψ hat
hier gar nichts mit der Funktion Ψ ∗ gemeinsam.
• Trennen Sie das Integral in (1.30) in zwei Integrale auf und betrachten Sie dann das Zweite:
Z +∞
∂Ψ ∗
Ψ dx
∂x
−∞
Führen Sie damit eine partielle Integration durch. (N.B.: Die Stammfunktion von
natürlich Ψ ∗ !)
2
∂Ψ ∗
∂x
lautet