Fachbereich Physikalische Technik Prof. Dr. Klaus Morawetz

Fachbereich Physikalische Technik
Prof. Dr. Klaus Morawetz
Zusatzaufgaben (Tutorien) mit * gekennzeichnet
Übungen Mathematik I-9
IA Differentialrechnung (20+10 Punkte)
1. Wie muß b in der Funktion y = 2x3 + bx2 + 6x + 1 gewählt werden, damit eine Tangente
an das Schaubild nirgends zur x-Achse parallel ist? (2 Punkte)
2. Differenzieren Sie die folgenden Umkehrfunktionen (3+3 Punkte)
1
1 − x2 ; f (x) = arctan2 ; f (x) = arcsin(sin x)
x
√
2x − 1
arcsin x
; ∗ f (x) = arccos √ ; ∗ f (x) = arctan(x − 1 − x2 )
∗f (x) = √
1 − x2
3
f (x) = x arcsin x +
√
3. Bestimmen Sie den jeweiligen Grenzwert. (3+3 Punkte)
lim ( 1
x→1 ln x
x
;
lim ln cos
x
x→0
∗ lim (1 +
x→∞
1 x
) ;
x2
−
x
);
ln x
∗ lim (x2 + sinh x)(ln sinh x)
x→0+
lim (ex + x)(1/x)
x→0
−1
∗ lim
x→±∞
(x+1)(x−1)
;
2x2 +1
4. Geben Sie das Taylorsche Polynom 3− ten Grades für die Funktion
y = − sin x
entwickelt an der Stelle x0 = 0 an und skizzieren Sie die Graphen von Funktion und
Polynom im Intervall [−π, +π] .(3 Punkte)
IB Lineare Algebra
1. *Wie lautet die Gleichung der Schnittgeraden der Ebenen E1 und E2 mit
E1 :
E2 :
x1 + x2 + x3 = 0
2x1 + 2x2 + x3 = 1
und welchen Winkel schließt diese Gerade mit der Ebene x3 = 0 ein? (2 Punkte)
2. Es sei

1 0 1
−
→→
−
→
→
y1 = f1 (−
x ) = A−
x mit A =  0 1 0 
1 0 1


0 1 0
−
→→
−
→
→
y2 = f2 (−
x ) = A−
x mit A =  1 1 1 
0 1 0


1
→
und −
x = 1 
1

(a) *Stellen Sie die Gleichung der Ebene auf, die durch den Punkt P = (1, −1, 1) geht
→
→
und −
y1 und −
y2 als Richtungsvektoren besitzt.(2 Punkte)
(b) *Geben Sie die Gleichung der Ebene an, die den Koordinatenursprung enthält und
→
orthogonal zu −
x orientiert ist.(2 Punkte)
(c) Geben Sie die Matrix für die Abbildung
−
→−
→→
−
→
y3 = f2 ( f1 (−
x ))
an und prüfen Sie mit Hilfe der Determinantenbildung, ob die inverse Abbildung
existiert.(2 Punkte)
√
√
3. Man betrachte die Menge der Zahlen, die sich durch a + b 2 + c 4 mit den rationalen
Zahlen a, b, c darstellen lassen. Durch jede Multiplikation von zwei Zahlen dieser Menge
bleibt man in dieser Menge, warum? Zeigen Sie, daß die inverse Zahl
eine beliebige
√ d.h. √
Division ebenfalls in dieser Menge bleibt. Bringen Sie dazu 1/(a + b 2 + c 4) auf einen
rationalen Nenner. (5 Punkte)