Analysis I (WS 2011/12) — Scheinklausur 1

Prof. Dr. M. Griesemer, Dr. J. Wirth
FB Mathematik, Universität Stuttgart
Termin: 16. Dezember 2011, 16:00 Uhr
Analysis I (WS 2011/12) — Scheinklausur 1
Termin:
Hilfsmittel:
Bearbeitungszeit:
16. Dezember 2011, 16:00 Uhr
keine
110 min
Aufgabe 1. (4 Punkte)
Beweisen Sie per Induktion, dass für alle positiven reellen Zahlen x1 , . . . , xk > 0, k ≥ 2,
(1 + x1 )(1 + x2 ) · · · (1 + xk ) > 1 + x1 + x2 + · · · + xk
gilt.
Aufgabe 2. (6 Punkte)
(a) Nennen Sie die -N -Definition für die Konvergenz einer Folge (an ) komplexer Zahlen gegen einen
Grenzwert a ∈ C.
(b) Beweisen Sie, dass jede konvergente Folge eine Cauchy-Folge ist.
(c) Wann genau ist eine Zahl b ∈ C ein Häufungspunkt einer Folge (bn ) komplexer Zahlen?
Aufgabe 3. (6 Punkte)
Entscheiden Sie, welche der folgenden Grenzwerte existieren und berechnen Sie diese im Falle der Existenz.
n
2n + 1
5n2 − 6n sin n + 7
(b)
lim
1
+
(a)
lim
n→∞
n→∞
n2 + cos n
n2 − 1
p
√
(c)
lim n + 1( n2 − 3n + 1 − n)
n→∞
Aufgabe 4. (6 Punkte)
Bestimmen Sie jeweils die Menge aller z ∈ C, für die nachfolgende Reihen konvergieren.
(a)
∞
X
z
n
(b)
n=0
∞ n
X
z
n=1
(c)
n
∞
X
e−nz
n=0
Aufgabe 5. (4 Punkte)
Wie aus der Vorlesung bekannt, ist die Menge der reellen Zahlen und damit auch die Menge der (offenen)
Intervalle überabzählbar. Worin also besteht der Fehler in folgendem ‘Beweis’ ?
Es bezeichne J die Menge der offenen Intervalle in R. Sei weiter (rn ) eine fest vorgegebene Abzählung
der rationalen Zahlen Q. Mit Hilfe der Folge (rn ) definieren wir nun eine Abzählung der Menge J , indem
wir jedem Intervall I ∈ J den kleinsten Index der in ihm enthaltenen rationalen Zahlen zuordnen, d.h.,
I 7→ min{n ∈ N : rn ∈ I}.
Aufgabe 6. (4 Punkte)
Sei (an ) eine monoton fallende Folge positiver Zahlen. Beweisen Sie folgende Äquivalenz
∞
X
an < ∞
⇐⇒
n=1
c
[email protected]
∞
X
√
an an+1 < ∞.
n=1
[email protected]