Analysis I (WS 2011/12) — Blatt 4

Prof. Dr. M. Griesemer, Dr. J. Wirth
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Abgabetermin: 14.11.2011
Analysis I (WS 2011/12) — Blatt 4
Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf
zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.
(Jean-Baptist le Rond d’Alembert; 1717–1783)
Belegaufgaben (Abgabe in der Vorlesung am 14.11.2011)
4.1. Beweisen Sie
(a)
n
X
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
,
k =
6
2
(c)
(b)
m+1
n+1
n X
n k n−k
(a + b) =
a b
,
k
n
m
m
=
+
,
n
n+1
a, b ∈ C.
k=0
Hinweis: Bei (a) und (c) ist ein Induktionsbeweis angebracht, (b) beweist man besser direkt.
4.2. Ein Ausdruck der Form
[a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] := a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
..
. + a1n
für natürliche Zahlen ak ∈ N wird als normierter Kettenbruch bezeichnet.
(a) Geben Sie eine rekursive Definition des Kettenbruchs [a0 ; a1 , . . . , an ].
(b) Beweisen Sie, dass a0 < [a0 ; a1 , . . . , an ] < a0 + 1 falls an 6= 1.
(c) Es gelte
[a0 ; a1 , . . . , an ] = [b0 ; b1 , . . . , bm ]
mit an 6= 1, bm 6= 1. Beweisen Sie, dass dann m = n und aj = bj für j = 0, 1, . . . n.
Votieraufgaben (Übung am 16./17.11.2011)
4.3. Die Folge der Fibonacci-Zahlen Fn wird rekursiv durch F1 = 1, F2 = 1 und Fn+1 = Fn + Fn−1
definiert. Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion
Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n ,
n ≥ 2.
4.4. Beweisen Sie, dass jede endliche Teilmenge von R ein kleinstes und ein größtes Element besitzt.
4.5. Beweisen Sie für beliebige reelle Zahlen a, b ∈ R und n ∈ N die Identität
an+1 − bn+1 = (a − b)(an + an−1 b + · · · + bn ).
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Prof. Dr. M. Griesemer, Dr. J. Wirth
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Abgabetermin: 14.11.2011
Zusatzaufgaben:
4.6. Sei ak ∈ N, k = 0, 1, . . ., eine beliebige Folge natürlicher Zahlen und cn = [a0 ; a1 , . . . , an ].
(a) Beweisen Sie, dass die Folge der Intervalle Ik = [c2k , c2k+1 ] eine Intervallschachtelung
bilden. Die dadurch definierte reelle Zahl wird mit [a0 ; a1 , . . .] bezeichnet.
(b) Beweisen Sie, dass jede so definierte Zahl irrational ist.
(c) Seien ak und bk zwei solcher Folgen und gelte
[a0 ; a1 , a2 , . . .] = [b0 ; b1 , b2 , . . .].
Zeigen Sie, dass dann ak = bk für alle k gilt.
(d) Berechnen Sie
[1; 2, 2, . . . , 2, . . .].
(e) Beweisen Sie, dass die so konstruierte Abbildung, welche jeder Folge natürlicher Zahlen
eine Irrationalzahl größer als 1 zuordnet, bijektiv ist.
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