Analysis I (WS 2011/12) — Blatt 8

Prof. Dr. M. Griesemer, Dr. J. Wirth
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Abgabetermin: 12.12.2011
Analysis I (WS 2011/12) — Blatt 8
Divergent series are the invention of the devil,
and it is shameful to base on them any demonstration whatsoever.
(Niels Henrik Abel; 1802–1829)
Belegaufgaben (Abgabe in der Vorlesung am 12.12.2011)
8.1. (a) Wir betrachten die Reihe
1−
1 1 1 1 1
+ − + − + −···
2 3 4 5 6
und ihre Umordnung
1+
1 1
−
3 2
1 1 1
+ −
5 7 4
+
+
··· .
Begründen Sie, dass beide Reihen konvergent sind, und zeigen Sie, dass der Grenzwert der
ersten Reihe kleiner als 56 ist, der der zweiten aber echt größer als 65 .
P
(b) Sei nun n an eine beliebige (nicht notwendig absolut) konvergente Reihe. Beweisen Sie,
dass für jede jede Bijektion
σ : N → N mit |σ(n) − n| ≤ M für eine Konstante M auch die
P
umgeordnete Reihe n aσ(n) konvergent ist und gegen denselben Grenzwert strebt.
8.2. Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen
(a)
∞
X
n!z n ,
(b)
n=0
∞
X
(−1)n n
√ z ,
n
n=1
(c)
∞
X
z n!
n=0
Votieraufgaben (Übung am 14./15.12.2011)
8.3. (a) Sei z ∈ R, z > 0, gegeben und sei weiter
z n
an = 1 +
.
n
Zeigen Sie, dass an monoton wachsend ist.
(b) Beweisen Sie, dass
z n+1
bn = 1 +
n
für 0 < z ≤ 2 monoton fällt und gegen denselben Grenzwert wie an strebt.
8.4. Sei an eine monoton wachsende Folge positiver Zahlen. Beweisen Sie, dass dann die Reihe
∞ X
an+1
−1
an
n=1
genau dann konvergiert, wenn die Folge an beschränkt ist.
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Abgabetermin: 12.12.2011
Zusatzaufgaben:
8.5. Manchmal ist es sinnvoll, auch unbestimmt divergenten Reihen (also solchen, die im Reellen
nach dem Riemannschen Umordnungssatz durch beliebiges Umordnen zu beliebigen Grenzwerten gezwungen werden können) eine ‘Summe’ zuzuordnen. Dazu kann man verschieden sogenannte Summationsverfahren nutzen und anstatt von Konvergenz spricht von V-Summierbarkeit
falls das Verfahren (V) die Summe bestimmt. Es gibt gewisse Minimalforderungen solcher Verfahren, so sollte
X
X
X
(an + bn ) =
an +
bn
(V )
X
X
λan = λ
an
(V )
X
X
an
(V )
an = a1 +
n≥2
gelten. Falls das Verfahren zusätzlich allen konvergenten Reihen ihren Grenzwert zuordnet,
spricht man von einem regulären linearen Summationsverfahren.
P
n
(a) Für jedes Verfahren (V), welches ∞
n=1 (−1) summiert gilt
∞
X
(−1)n =
n=1
(b) Sei an eine Folge und sn =
Cesaro-Summe s, falls
Pn
k=1 ak
1
2
(V ).
die n-te Partialsumme. Wir sagen,
P
n an
habe die
s1 + s2 + · · · + sn
=s
n→∞
n
gilt und sagen entsprechend die Reihe sei Cesaro-summierbar und
X
an = s
(C).
lim
n
Zeigen Sie, dass Cesaro-Summierbarkeit ein reguläres Summationsverfahren ist.
P
n
(c) Sei an eine Folge, so dass die Potenzreihe A(z) = ∞
n=1 an z Konvergenzradius größer
oder gleich 1 besitzt. Existiert dann
s = lim A(z),
z→1
so heißt
P
n an
Abel-summierbar und
s=
∞
X
an
(A)
n=1
die Abel-Summe der Reihe
Summationsverfahren ist.
P
an . Zeigen Sie, dass Abel-Summierbarkeit ein reguläres
(d) Jede Cesaro-summierbare Reihe ist Abel-summierbar.
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