Blatt 8 - Universität Stuttgart

Prof. Dr. Jürgen Pöschel
M.Sc. Jan Köllner
Dr. Anda Degeratu
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Woche: 12. Türchen - 18. Türchen 2016
HM I (WS 2016/17) — Blatt 8
Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, dass man keine Gelegenheit
versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.
(Blaise Pascal, 1623-1662)
Aufgaben zur Abgabe in der Übung
8.1. Bestimmen Sie die Häufungspunkte der komplexen Folge (zn )n∈N mit
(a) zn = (−1)n +
(c) zn =
1+i
4
ni
n+1
(b) zn =
√
n
n
(d) zn =
n2 in
1+
√
3i
!n
2
Welche der Folgen sind konvergent?
Votieraufgaben
8.2. (a) Vergewissern Sie sich, dass für z = x + iy ∈ C durch
kzk1 := |x| + |y|,
kzk2 =
p
x2 + y 2
zwei Normen auf C gegeben sind und zeigen Sie, dass
√
kzk2 ≤ kzk1 ≤ 2 kzk2
(1)
für alle z ∈ C gilt.
(b) Hat man für zwei gegebene Normen eine Ungleichung wie in (1) gefunden, so nennt man die
beiden Normen äquivalent. Damit meint man vor allem, dass der durch die beiden Normen
induzierte Konvergenzbegriff derselbe ist: Sei eine komplexe Folge (zn )n∈N gegeben, so
zeigen Sie, dass Sie genau dann im normierten Raum (C, k · k1 ) konvergiert, wenn Sie im
normierten Raum (C, k · k2 ) konvergiert.
8.3. (a) Zeigen Sie, dass eine komplexe Folge (zn )n∈N genau dann in C konvergiert, wenn die beiden
reellen Folgen (Re zn )n∈N und (Im zn )n∈N in R konvergieren.
(b) Sei (zn )n∈N eine Folge komplexer Zahlen und z ∈ C. Zeigen Sie, dass
z = lim zn
n→∞
⇔
z = lim zn
n→∞
(c) Bestimmen Sie die Grenzwerte der komplexen Folge (zn )n∈N mit
(i) zn =
(n − i)2
n3
(ii) zn =
(n + i)(1 + n i)
n2
(iii) zn =
n2 + 2 n i
2n + 1
(iv) zn =
n + in
n
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8.4. Auf der Menge aller reellen Folgen können wir durch
(an )n∈N + (bn )n∈N := (an + bn )n∈N
eine Addition und für λ ∈ R durch
λ · (an )n∈N := (λ · an )n∈N
eine skalare Multiplikation definieren.
(a) Zeigen Sie, dass die Menge
c := {(an )n∈N : (an )n∈N ist konvergent}
mit obiger Addition und skalaren Multiplikation zu einem Vektorraum wird.
(b) Welche der Mengen sind zusammen mit obiger Addition und skalaren Multiplikation ebenfalls Vektorräume?
(i) d := {(an )n∈N : (an )n∈N ist divergent}
(ii) b := {(an )n∈N : (an )n∈N ist beschränkt}
(iii) p := {(an )n∈N : an ≥ 0 für alle n ∈ N}
(iv) m := {(an )n∈N : an ≤ an+1 für alle n ∈ N}
Zusatzaufgaben
8.5. Für eine gegebene Zahl c ∈ C betrachten wir die rekursiv definierte, komplexe Folge mit
zn+1 = zn2 + c
für n ∈ N und z0 = 0. Zeichnen Sie (z.B. mit einem Rechner) alle c ∈ C für welche die relle
Folge (|zn |)n∈N beschränkt bleibt.
(Hinweis: Ansprechend eingefärbt ist das entstehende Bild ein schönes Motiv für Weihnachtsgrußkarten.)
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