Blatt 0 - Universität Stuttgart
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Prof. Dr. Timo Weidl PD Dr. Jens Wirth, Dipl.-Math. Jochen Schmid FB Mathematik, Universität Stuttgart Seite 1 von 2 Woche: 16.–18. Okt. 2013 Analysis I (WS 2013/14) — Blatt 0 ’Obvious’ is the most dangerous word in mathematics. (Eric Temple Bell; 1883–1960) Präsenzaufgaben Die folgenden Aufgaben sind zur Bearbeitung in der ersten Übung bestimmt. Gruppenarbeit ist (in dieser Übung) zulässig. Alle Aufgaben beschäftigen sich mit logischem Denken und sauberem formulieren von Argumenten. 1. Worin genau bestehen die Fehler in den folgenden Begründungen? Satz. Die größte natürliche Zahl ist 1. Beweis. Sei n die größte der natürlichen Zahlen. Angenommen, n > 1. Dann wäre n2 > n aber größer. Widerspruch! Also gilt n = 1. Satz. Alle Billiardkugeln besitzen dieselbe Farbe. Beweis. Bezeichne B die Menge aller Billiardkugeln. Wir beweisen die Aussage mit Induktion über die Anzahl der Elemente von B. i) Hat B ein Element, so ist die Aussage offensichtlich. ii) Angenommen, die Aussage ist für n-elementige Mengen von Billiardkugeln gezeigt. Besitze nun B genau n + 1 Elemente. Dann ist jede n-elementige Teilmenge von B von gleicher Farbe. Nach folgender Skizze sieht man, dass auch alle Elemente von B dieselbe Farbe besitzen müssen. Satz. Alle Dreiecke sind gleichschenklig. Beweis. Wir bezeichnen das Dreieck mit 4ABC. Und betrachten (wie in nachfolgender Skizze) die Mittelsenkrechte m auf der Strecke AB, die Winkelhalbierende w des Winkels ∠BCA. Vom Schnittpunkt D der Geraden m und w werden die Lote auf die Seiten BC und CA gefällt und die entsprechenden Schnittpunkte mit E und F bezeichnet. c [email protected] [email protected] [email protected] Prof. Dr. Timo Weidl PD Dr. Jens Wirth, Dipl.-Math. Jochen Schmid FB Mathematik, Universität Stuttgart Seite 2 von 2 Woche: 16.–18. Okt. 2013 i) Die Dreiecke 4DF C und 4DEC stimmen in drei Winkeln überein. Da der Punkt D auf w liegt, sind zudem die Strecken DE und DF gleich lang. Deshalb sind die Dreiecke 4DF C und 4DEC kongruent. Also sind CF und EC gleich lang. ii) Der Punkt D liegt auf m. Deshalb ist AD genauso lang wie BD. Also sind 4ADF und 4BDE kongruent (da sie in zwei Seiten und dem rechten Winkel übereinstimmen). Also ist AF genauso lang wie BE. iii) Aus i) und ii) folgt, dass AC und BC gleich lang sind und das Dreieck somit gleichschenklig ist. 2. Auf einem Planeten befinden sich Roboter mit folgenden Eigenschaften: i) Sie können sich gegenseitig sehen, aber nicht miteinander kommunizieren. ii) Sie denken logisch. iii) Wenn sie erkannt haben, dass sie einen Makel besitzen, so schalten sie sich zu Beginn des folgenden Tages ab. Eines Tages erscheint ein Raumschiff auf dem Planeten, beobachtet die Roboter und teilt den Robotern mit, dass es Roboter mit defekten Stellen auf ihrem Rücken gibt. Das Raumschiff fliegt wieder davon. Nach 400 Tagen schalten sich plötzlich alle Roboter ab. Wieviele Roboter waren auf dem Planeten? c [email protected] [email protected] [email protected]
