Funktionalanalysis (WS 2013/14) — Blatt 11

Priv.-Doz. Dr. Jens Wirth, Dr. James Kennedy
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Übung am 8. Januar 2014
Funktionalanalysis (WS 2013/14) — Blatt 11
At Christmas I no more desire a rose,
Than wish a snow in May’s new-fangled mirth;
But like of each thing that in season grows.
(William Shakespeare, 1564–1616, Love’s Labour’s Lost, Akt 1 Szene 1)
Votieraufgaben:
11.1. (a) Sei V normierter Raum und U ⊂ V Untervektorraum. Zeige, dass U genau dann in V
dicht ist, wenn φ = 0 das einzige φ ∈ V 0 mit U ⊂ ker φ ist.
(b) Eine Teilmenge A eines normierten Raumes V heiße schwach beschränkt, falls
sup |hφ, xi| < ∞
x∈A
für alle φ ∈ V 0 . Beweise, dass jede schwach beschränkte Teilmenge (norm-) beschränkt ist.
11.2. Let E and F be normed spaces and A ∈ L(E, F ) such that dim A(E) < ℵ0 . Show that A is
compact.
11.3. Sei der Operator T ∈ L(`2 ) durch die unendliche Matrix (ti,j ) ∈ `2 (N × N) gegeben, das heißt,
für (xj ), (yj ) ∈ `2 gelte
T (xj ) = (yj )
⇐⇒
yi =
∞
X
ti,j xj
j=0
sowie
P∞
2
i,j=0 |ti,j |
< ∞. Zeige, dass dann T kompakt ist.
11.4. In dieser Aufgabe betrachten wir von Monomen tk aufgespannte Teilräume des C[0, 1]. Wir
wissen schon, dass C[0, 1] = span{1, t, t2 , t3 , . . .} (vgl. Bsp. 1.3.5); es stellt sich damit auf
natürliche Weise die Frage, ob die Menge aller Monome eine Schauderbasis von C[0, 1] darstellt (vgl. Aufg. 10.5), oder ob sie zumindest eine Schauderbasis enthält.
Dass dem nicht so ist, besagt folgender Satz.
Satz (Müntz–Szasz). Sei 0 = λ0 < λ1 < λ2 < . . . eine beliebige Folge reeller Zahlen und
bezeichne X = span{1, tλ1 , tλ2 , tλ3 , . . .} ⊂ C[0, 1] den von den Potenzen tλn erzeugten Teilraum.
P
(i) Ist ∞
n=1 1/λn = ∞, dann gilt C[0, 1] = X.
P∞
(ii) Ist n=1 1/λn < ∞ und λ ∈ R+ \ {λn : n ∈ N}, dann enthält X nicht die Funktion tλ .
In (a)-(c) beweisen wir die Aussage (i); ein Literaturverweis auf (ii) wird in der Übung mitgeteilt.
c
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Priv.-Doz. Dr. Jens Wirth, Dr. James Kennedy
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Übung am 8. Januar 2014
(a) Ordne einem beliebigen Radonmaß µ auf [0, 1] (vgl. Satz 2.2.5) eine durch
Z
1
z
Z
t dµ(t) =
f (z) :=
1
ez ln t dµ(t)
0
0
definierte Funktion f zu. Zeige, dass f eine beschränkte holomorphe Funktion auf der
rechten Halbebene C+ = {z ∈ C : Re z > 0} ist, und dass f (λn ) = 0 für alle n ≥ 1, falls
hµ, hi = 0 für alle h ∈ X.
P
(b) Angenommen,
1/λn = ∞. Nutze den folgenden Satz, um zu zeigen, dass f = 0 auf C+ ,
falls hµ, hi = 0 für alle h ∈ X.
Satz. Sei g eine beschränkte holomorphe Funktion auf der
P offenen Einheitskreisscheibe
D = {z ∈ C : |z| < 1} mit Nullstellen αn , n ≥ 1. Falls n≥1 (1 − |αn |) = ∞, dann ist
g ≡ 0 auf D.
Dieser Satz muss nicht bewiesen werden.
1+z
Hinweis: Betrachte die Funktion g(z) := f ( 1−z
) auf D.
(c) Beweise nun, dass X = C[0, 1].
Hinweis: Zu zeigen ist µ = 0, falls hµ, hi = 0 für alle h ∈ X.
(d) Zeige als Folgerung des Satzes, dass insbesondere
{f ∈ C[0, 1] : f (0) = 0} = span{tp : p prim}.
(e) Folgere aus dem Satz, dass keine Teilmenge der Monome eine Schauderbasis von C[0, 1]
bildet.
Zusatzaufgaben:
11.5. Seien x1 , x2 , x3 ∈ V := R3 × R+ die heiligen drei Könige und B ∈ V Bethlehem. Beweise oder
∗
widerlege: xn * B.
c
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