Ubungen zu Fana2 WS11, 2. ¨Ubung

Übungen zu Fana2 WS11, 2. Übung
1. Seien X, Y Banachräume und u : X → Y beschränkt und linear. Angenommen
es gibt einen abgeschlossenen Teilraum Z von Y, sodass Y = u(X)+̇Z, so zeige
man, dass u(X) abgeschlossen ist, und dass es eine beschränkte lineare Projektion
p : Y → Y gibt, dh. pp = p, die u(X) als Bild hat.
Zeigen Sie weiters, dass für lineare und beschränkte u : X → Y mit
codimY u(X) < +∞ das Bild u(X) immer abgeschlossen ist.
Hinweis: Betrachten die die Abbildung (X/ ker u) × Z → Y, (x + ker u, z) 7→
u(x) + z.
2. Seien X, Y Banachräume. Eine lineare und beschränkte Abbildung u : X → Y
heißt Fredholmsch, wenn u einen endlichdimensionalen Kern und einen Bildbereich mit endlicher Kodimension hat.
Man zeige, dass alle Fredholmschen u : X → Y eine Quasiinverse v : Y →
X im folgenden Sinn haben: v ist linear, beschränkt und Fredholmsch derart,
dass sowohl IY − uv als auch IX − vu sind endlichdimensionale Operatoren, dh.
haben einen Kern mit endlicher Kodimension, oder äquivalent dazu, haben einen
Bildbereich mit endlicher Dimension. IX bzw. IY stehen für die Identitäten auf X
bzw. Y.
Bemerkung: Aus der Funktionalanalysis ist bekannt, dass alle Operatoren der
Form λI + K : X → X mit λ ∈ C \ {0} und kompakten K : X → X Fredholmsch
sind.
3. Sei X ein Banachraum und bezeichne K(X) den Raum aller kompakten Operatoren K : X → X.
Zeigen Sie, dass K(X) ein abgeschlossenes Ideal der Banachalgebra B(X) ist.
Für ein u ∈ B(X) definiert man σess (u) als das Spektrum σ(u + K(X)) von u +
K(X) in der Banach-Algebra B(X)/K(X).
Man zeige, dass σess (u) ⊆ σ(u), und dass folgende Aussagen äquivalent sind
• λ < σess (u).
• Für geeignete v ∈ B(X) und K1 , K2 ∈ K(X) gilt (λI − u)v = I + K1 . und
v(λI − u) = I + K2 .
• (λI − u) ist Fredholmsch.
4. Betrachte die Abbildung f 7→ f¯ auf A(T) und (an )n∈Z 7→ (ā−n )n∈Z auf ℓ1 (Z).
Man zeige, dass dann θ((ān )n∈Z ) = θ((an )n∈Z ) und dass A(T) und ℓ1 (Z) mit dieser
Abbildung beide Banach-∗-Algebren aber keine C ∗ -Algebren sind.
5. Zeigen Sie, dass für jedes η ∈ T die Abbildung mη : A(T) → C, f 7→ f (η) ein
multiplikatives lineares Funktional ist.
Zeigen Sie umgekehrt, dass jedes multiplikative lineare Funktional auf A(T) von
der Bauart ist.
Bestimmen Sie dann σ( f ) für jedes f ∈ A(T), und geben Sie an, ob A(T) halbeinfach ist, dh. es gilt x , 0 ⇒ r(x) > 0. Zeigen Sie auch, dass wenn f (ζ) , 0
für alle ζ ∈ T, f in A(T) invertierbar ist.
Schließlich beschreibe man Mℓ1 (Z) !
Hinweis: Ist m ∈ MA(T) , so betrachte die Abbildung f (ζ) = ζ ∈ A(T) und setze
η := m( f ). Zeige dann m = mη .
Bemerkung: Dass aus f (ζ) , 0 für alle ζ ∈ T die Invertierbarkeit folgt, besagt
insbesondere, dass mit f auch 1f auch absolut summierbare Fourierkoeffizienten
hat!
6. Sei A eine kommutative C ∗ -Algebra mit Eins und sei a = a∗ ∈ A sowie t ∈ R.
Zeigen sie, dass a positiv ist, falls ka − tek ≤ t. Zeigen sie auch, dass ka − tek ≤ t,
falls a positiv ist und kak ≤ t erfüllt.
7. Sei A eine C ∗ -Algebra mit Eins – im allgemeinen nicht kommutativ. Zeigen Sie,
dass die Summe positiver Element wieder positiv ist.
8. Sei (X, T ) ein topologischer Raum, und sei C(X) die C ∗ -Algebra aller komplexwertigen, beschränkten und stetigen Funktionen darauf. Sei M der Gelfandraum
dieser C ∗ -Algebra.
Man zeige, dass ι : X → M definiert durch x 7→ m x , wobei m x ( f ) = f (x), f ∈
C(X) eine stetige Abbildung ist, die dichtes Bild hat.
Man beweise schließlich, dass ι surjektiv ist, falls X kompakt ist.
Hinweis:
Für die Stetigkeit verwende man die Charakterisierung der w∗ -Topologie als Initiale Topologie bzgl. der Abbildungen m 7→ m( f ), f ∈ C(X).
Für die Dichtheit wende man das Lemma von Urysohn an auf die abgeschlossenen Teilmengen ι(X) und {m} von M, wobei m ein fiktiver Punkt aus M \ ι(X)
ist.