Harmonische Analysis — Blatt 11

Priv.-Doz. Dr. Jens Wirth
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Übung am 20. Januar 2015
Harmonische Analysis — Blatt 11
Es ist unglaublich, wie unwissend die studierende Jugend auf Universitäten kommt;
wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisiere, so schläft 1/4 derselben sanft ein.
(Georg Christoph Lichtenberg, 1742–1799)
Hausaufgaben:
11.1. Wir identifizieren die Euklidische Ebene R2 mit den komplexen Zahlen und betrachten eine spezielle
Gruppe G orthogonaler Transformationen. Sei dazu τ eine primitive dritte Einheitswurzel und G erzeugt
von den Reflektionen an den Geraden {z : Im z = 0}, {z : Im(τ z) = 0} und {z : Im(τ 2 z) = 0} in C.
(a) Bestimme alle irreduziblen Darstellungen der Gruppe G.
(b) Sei g ∈ G und x 7→ g · x die Aktion von G auf R2 . Dann ist Tg : L2 (R2 ) 3 f 7→ f (g·) ∈ L2 (R2 )
unitär und g 7→ Tg eine unitäre Darstellung von G in L2 (R2 ).
(c) Konstruiere die Symmetriezerlegung des L2 (R2 ) unter der Aktion von G und beschreibe damit alle
Operatoren A, die mit der Darstellung von G auf L2 (R2 ) kommutieren.
11.2. Auf der Sphäre Sn betrachten wir zu gegebenem δ ∈ (−1, 1) für stetige Funktionen f : Sn → C die
Transformation
Z
Fδ f (x) = cδ
f (y)dy,
{y : x·y=δ}
wobei bezüglich des induzierten Flächenmaßes auf den Kugelschalen {y : x · y = δ} integriert werde und
cδ so gewählt wird, daß Fδ 1 = 1 gilt.
(a) Die Abbildung Fδ ist stetig.
(b) Kann man δ so wählen, daß Fδ injektiv ist?
(c) Zeige, daß es eine stetige Fortsetzung Fδ : L2 (Sn ) → L2 (Sn ) gibt und diese selbstadjungiert und
kompakt ist.
Themen zur Vorbereitung:
11.3. Man zeige die Abelsummierbarkeit von Laplacereihen für Funktionen aus Lp (Sn−1 ), 1 ≤ p < ∞, und
C(Sn−1 ). Genauer, bezeichne X einen der genannten Räume und zu gegebenem f ∈ X und r < 1
Z
X
1
f (y)pk (x · y)dy
Ar (f ; x) =
rk Yk (f ; x),
Yk (f ; x) = n−1
|S
| Sn−1
k∈N0
sowie A(z) = Ar (f ; x) für z = rx ∈ Ω = {z ∈ Rn : |z| < 1} aus der Einheitskugel des Rn . Dann gilt
Satz. (a) A : Ω → C ist harmonisch, das heißt A ist glatt und es gilt ∆A = 0.
(b) Ist f ≥ 0 auf Sn−1 , so gilt A(z) ≥ 0.
(c) Es gilt kAr (f ; ·)k ≤ kf k für r < 1 sowie kAr (f ; ·) − f k → 0 für r → 1.
Literatur: Hubert Berens, Paul L. Butzer, and Siegfried Pawelke. Limitierungsverfahren von Reihen
mehrdimensionaler Kugelfunktionen und deren Saturationsverhalten. Publications RIMS 4/2 1968) 201–
268.
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Übung am 20. Januar 2015
11.4. Wir setzen die Untersuchung von Schrödingeroperatoren mit periodischem Potential fort und betrachten
auf L2 (R) den Operator
d
A = − + q(t)
dt
mit Definitionsbereich D(A) = H 2 (R) und periodischem reellwertigem Potential q ∈ L1loc (R) mit
Z π
q(t + π) = q(t),
und
q(t)dt = 0.
0
Dann ist das Spektrum von A rein wesentlich besitzt eine Bandstruktur. Es stellt sich die Frage, welche
Rückschlüsse aus der Struktur des Spektrums auf das Potential getroffen werden können.
Satz (Borg1 ). Angenommen, alle Spetrallücken sind geschlossen, σ(A) = [λ, ∞). Dann gilt q(t) = 0 fast
überall und λ = 0.
Satz (Hochstadt2 ). Angenommen, es gibt genau einen offene Spektrallücke, σ(A) = [λ, µ] ∪ [ν, ∞) mit
ν > µ ≥ λ. Dann stimmt q fast überall mit einer elliptischen Funktion überein.
Satz. Angenommen, es gibt nur endlich viele Spektrallücken. Dann ist q eine beliebig oft differenzierbare
Funktion.
Literatur: Harry Hochstadt, On the determination of a Hill’s equation from its spectrum, Arch. Rat.
Mech. Anal. 19/5 (1965) 353–362.
1 Goeran
2 Harry
Borg, 1913–1997
Hochstadt, 1925–2009
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