Numerische Mathematik I 10. ¨Ubungsblatt

Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. J. Stöckler
Dipl.-Wirt.-Math. T. Springer
Dortmund, 13.12.2012
Numerische Mathematik I
10. Übungsblatt
Aufgabe 37
Zu a ∈ R sei das Intervall I = [a, ∞) sowie eine zweimal differenzierbare
Funktion f : I → R gegeben. Weiterhin sei bekannt, dass f auf I eine streng monoton
wachsende, strikt konvexe Funktion mit mindestens einer Nullstelle ist. Beweisen Sie die
folgenden beiden Aussagen:
a) Die Nullstelle x∗ ist eindeutig.
b) Das Newton-Verfahren konvergiert für einen beliebigen Startwert x0 ∈ I gegen x∗ . Die
Folge der Iterierten (xk )k∈N = (x1 , x2 , . . .) ist dabei monoton fallend.
Aufgabe 38
a) Berechnen Sie drei Iterationsschritte des Newton-Verfahrens zur Funktion f (x) = x2 − 2
zum Startwert x0 = 1 und fertigen Sie eine Skizze zur Veranschaulichung des Verfahrens
in dem gegebenen Fall an.
√
b) Zeigen
Sie,
dass
das
Heron-Verfahren
zur
Berechnung
von
2, beschrieben durch xk+1 =
1
2
xk +
mit Startwert x0 > 0, quadratisch konvergiert, genauer
2
xk
√ xk+1 − 2
1
lim sup √ 2 = √ .
xk − 2
8
k→∞
Aufgabe 39
Gegeben sei eine monoton fallende Nullfolge (hk )k≥0 mit der Eigenschaft
hk+1 ≤ hk hk−1 hk−2 für k ≥ 2.
a) Zeigen Sie, dass mit den Zahlen
G0 = G1 = G2 = 1,
Gk+1 = Gk + Gk−1 + Gk−2 , k ≥ 2,
k
die Beziehung hk ≤ hG
0 für k ≥ 0 gilt.
b) Weisen Sie nach, dass mit den Fibonacci-Zahlen F0 = F1 = 1 und Fk+1 = Fk + Fk−1 ,
k ≥ 1, gilt, dass
Fk ≤ Gk ≤ 2k ,
k ≥ 3.
Aufgabe 40
Schreiben Sie zwei Octave-/Matlab-Programme regula.m und sekant.m,
die die Regula Falsi und das Sekantenverfahren realisieren. Input-Parameter sind jeweils eine
Funktion f und Startwerte (x0 , y0 ) bei regula.m bzw. (x0 , x1 ) bei sekant.m. Die Iterationen
sollen abbrechen, wenn der Funktionswert |f (xk )| < 10−6 erfüllt. Output sollen die letzten
Iterierten (xr , yr ) bzw. (xr , xr−1 ) und die Anzahl der Iterationen r sein. Schreiben Sie anschließend ein Skript, welches die Programme zu den Startwerten (0, 2) und der Funktion f
aus Aufgabe 38 aufruft.
Hinweise:
• Die Eingabe der Funktion f kann wie in Aufgabe 36 erfolgen.
• Schicken Sie das lauffähige Programm bitte per Mail an Ihren Übungsleiter mit dem
Betreff ”Numerik Programmieraufgabe <Namen der Gruppenmitglieder>“.
• Programme, die nicht funktionieren, werden nicht gewertet.
Abgabe: Donnerstag, den 20.12.2012, bis 12 Uhr in den Briefkästen im Mathematikgebäude.