7. Übungs-/Wiederholungsblatt zu „Einführung in die Numerik

Technische Universität München
Zentrum Mathematik, M1
Prof. Dr. Boris Vexler
Dr. Ira Neitzel
Dipl.-Math. Alana Kirchner
7. Übungs-/Wiederholungsblatt zu „Einführung in die Numerik“ (SS 2012)
Diese Auswahl an Themen/Aufgabentypen soll Ihnen zur Wiederholung des Stoffes aus „Einführung
in die Numerik“ und zur Vorbereitung auf die Klausur dienen, wobei wir keine vollständige
Themenabdeckung bzgl. der Klausur garantieren. Wir empfehlen Ihnen, sich bereits vor der letzten
Tutorübung mit den Aufgaben zu beschäftigen, um entstandene Fragen vor der Klausur klären
zu können. Außerdem kann sich so Ihr Tutor/Ihre Tutorin auf die Aufgaben konzentrieren, die
Sie für schwierig erachten. Da keinesfalls alle Aufgaben in den Tutorübungen besprochen werden
können, wird es zu diesem Blatt Lösungsvorschläge online geben.
Aufgabe W 7.1: Es seien b = 2, t = 4, m, e ∈ Z.
G := {g = m · be | bt−1 ≤ |m| < bt ∨ m = 0}
M := {g = m · be ∈ G| − 6 ≤ e ≤ −2}
a) Bestimmen Sie die größte und kleinste positive Zahl von M.
b) Markieren Sie M qualitativ auf der Zahlengeraden.
c) Bestimmen Sie den maximalen relativen und absoluten Abstand zweier aufeinanderfolgender
positiver Zahlen von M.
d) Bestimmen Sie den minimalen relativen und absoluten Abstand zweier aufeinanderfolgender
positiver Zahlen von M.
e) Versuchen Sie die Zahlen x1 = 1.625, x2 = 3.7, x3 = 0.02 und x4 = 4.2 als Maschinenzahl
aus M darzustellen. Falls das nicht geht, welche Maschinenzahlen ergeben sich bei Rundung,
welche bei Abbrechen der Mantisse? Das heißt berechnen Sie f l(xi ) für i = 1, 2, 3, 4.
Aufgabe W 7.2: Berechnen Sie die absolute und relative Kondition der Probleme
x ∈ R+
a) f (x) = ln(x),
b) g(x) = 2x2 + 3x + 1,
x∈R
Handelt es sich um gut oder schlecht konditionierte Probleme?
Aufgabe W 7.3: Für welche x sind folgende Ausdrücke für die Funktionen f und g auslöschungsbehaftet? Finden Sie gegebenenfalls auslöschungsfreie Formeln für f bzw. g.
√
√
a) f (x) = x + 1 − x , x ∈ [0, ∞)
b) g(x) = arcsin
2(1−cos(x))
x2
,
x∈R
Seite 1 von 6
Aufgabe W 7.4: Gesucht ist eine Nullstelle des Polynoms f (x) = x2 + 10x − 2.
a) Man zeige, dass f genau eine Nullstelle x∗ in (0, 1) besitzt.
b) Konvergiert das Newton-Verfahren mit dem Startwert x0 = 1 gegen x∗ ?
c) Wie lauten die ersten beiden Iterierten des Newton-Verfahrens zum Startwert x0 = 1?
Aufgabe W 7.5: Für f : R → R, f (x) = cos(x) − 2x sollen alle Nullstellen mit Hilfe einer
Fixpunktiteration und des Newton-Verfahrens bestimmt werden.
a) Wie viele Nullstellen besitzt f ?
b) Wählen sie ein Intervall I ⊂ R geeignet, so dass die Voraussetzungen des Banach’schen
Fixpunktsatzes auf I für die Fixpunktiteration xk+1 = φ(xk ) = 21 cos(xk ) erfüllt sind.
c) Leiten Sie Fehlerabschätzungen für den Fehler in der k-ten Iteration des Fixpunkt-Verfahrens
xk+1 = 12 cos(xk ) der Form |xk − x∗ | ≤ C|x0 − x∗ | und |xk − x∗ | ≤ C|x1 − x0 | her und
berechnen Sie die Fehlerschranke für k = 5 und x0 = 0.
d) Berechnen Sie ausgehend von x0 = 0 die fünfte Iterierte der Fixpunktiteration.
e) Konvergiert das Newton-Verfahren mit dem Startwert x0 = 0 gegen eine Nullstelle x∗ von
f?
f) Führen Sie zur näherungsweisen Bestimmung von x∗ zwei Schritte des Newton-Verfahrens
zum Startwert x0 = 0 durch.
Aufgabe W 7.6: Es sei f : R → R beliebig oft stetig differenzierbar und x∗ eine doppelte
Nullstelle von f (d.h. f (x∗ ) = f 0 (x∗ ) = 0 und f 00 (x∗ ) 6= 0). Zu zeigen ist:
a) Das Newton-Verfahren xk+1 = φ(xk ) mit
φ(x) =


 x − f (x)
falls f 0 (x) 6= 0


falls f 0 (x) = 0
f 0 (x)
x
konvergiert für jeden Startwert lokal nur linear und nicht mehr quadratisch.
Hinweis: Betrachten Sie limx→x∗ φ0 (x) und wenden Sie zweimal die Regel von l’Hospital an.
b) Folgende leicht veränderte Version des Newton-Verfahrens xk+1 = ψ(xk ) mit
ψ(x) =


 x − 2f (x)
falls
f 0 (x) 6= 0


falls
f 0 (x) = 0
f 0 (x)
x
konvergiert lokal quadratisch.
Seite 2 von 6
Aufgabe W 7.7: Gegeben seien

d1
e2
f3



A=



d2
e3
..
.
d3
..
.
.
en dn
fn
b1
b 
 2
 
b 
b=
 3
 .. 
.



,



..



bn
mit di 6= 0 für i = 1, . . . , n.
a) Formulieren Sie den Algorithmus der Vorwärtssubsitution zur Lösung von Ax = b mit Hilfe
von di , ei und fi .
b) Geben Sie die Arbeitsschritte zur effizienten Berechnung von α := bT (AAT )−1 b unter
Verwendung des Algorithmus aus a) an.
Aufgabe W 7.8: Es sei das Gleichungssystem
A
sT
s
α
!
x
ξ
!
b
β
=
!
mit A ∈ Rn×n symmetrische positiv definite Tridiagonalmatrix, s, x, b ∈ Rn , α, ξ, β ∈ R. y = A−1 b
und L,D,LT gegeben mit

1

 l2
A=


|

1
..
.
..
.
ln
{z
L
1
d1
d2





..
.
dn
}|
{z

1 l2



1



}|
D

..
.
..
.



.

ln 
1
{z
LT
}
a) Man formuliere einen effizienten Algorithmus zur Lösung des linearen Gleichungssystems
Lz = s.
b) Man formuliere einen effizienten Algorithmus zur Berechnung von ρ := α − sT A−1 s.
c) Man vervollständige die Blockdreieckszerlegung von
A
sT
AM :=
s
α
!
=
I 0
? 1
!
A s
0 ?
!
Unter welcher einfach zu überprüfenden Bedingung ist AM positiv definit?
Hinweis:
A s
0 ∗
!
=
A 0
0 ∗
!
I A−1 s
0
1
!
d) Man formuliere einen effizienten Algorithmus zur Berechnung von ξ und x = y − ξA−1 s.
Seite 3 von 6
Aufgabe W 7.9: Gegeben sei die Matrix
A=
R̃
uT
v
0
!
∈ R(n+1)×(n+1) ,
wobei R̃ ∈ Rn×n eine reguläre obere Dreiecksmatrix sei und u, v ∈ Rn .
a) Man bestimme die LR-Zerlegung von A.
b) Man zeige: A regulär ⇔ uT R̃−1 v 6= 0.
Aufgabe W 7.10: Gegeben sei die Tridiagonalmatrix


a1,1 a1,2
 a
 2,1 a2,2 a2,3

..
..

.
.
A=

..

.

..
.
..
.




.


an−1,n 
an,n−1
an,n
a) Zunächst wird die LR-Zerlegung A = L · R ohne Pivotisierung berechnet (Annahme: Alle
Pivots sind ungleich Null) Wie vereinfacht sich der LR-Algorithmus aus der Vorlesung in
diesem Spezialfall? Welche Struktur haben L und R?
b) Falls Spaltenpivotsuche angewandt wird, erhält man die Zerlegung P A = LR mit einer
Permutationsmatrix P . Haben L und R dieselbe Struktur wie in Fall a)?
Aufgabe W 7.11: Gegeben sei die symmetrische Tridiagonalmatrix


2 −1 0


A = −1 2 −1 .
0 −1 2
a) Berechnen Sie die LR-Zerlegung von A.
b) Berechnen Sie die Cholesky-Zerlegung von A.
Aufgabe W 7.12: Es sollen n Maschinenzahlen ai , i = 1, . . . , n, aufsummiert werden:
s :=
n
X
ai .
i=1
Die Aufgabe wird durch den seriellen Summationsalgorithmus
s := s + ai ,
i = 2, . . . , n
mit Startwert s = a1 gelöst.
Seite 4 von 6
a) Zeigen Sie, dass für die Näherung xn zu s =
xn − s =
n
X

ai 
i=1
n
Y
Pn
i=1 ai
für n die Fehlerformel

(1 + εj ) − 1 ,
|εj | ≤ ε0
j=i
mit ε1 = 0 gilt.
b) Berechnen Sie die Fehlerverstärkung der seriellen Summation.
Hinweis: Linearisieren Sie hierzu die Fehlerformeln in a), indem Sie quadratische und höhere
Terme in ε∗ vernachlässigen. Setzen Sie dabei voraus, dass alle |ai | durch a0 > 0 nach oben
beschränkt sind.
c) Kann man durch geeignete Anordnung der ai den absoluten Fehler verringern?
Aufgabe W 7.13: Es seien x, y ∈ R mit xy ≥ 0. Leiten Sie eine obere Schranke für den
Gesamtfehler ∆b her, wenn b = (x + y)2 wie folgt schrittweise berechnet wird:
a = x + y,
b=a·a
Aufgabe W 7.14: Es sei A eine reguläre Matrix, die durch eine Störung ∆A zu à = A + ∆A
verfälscht wurde. Zeigen Sie: Falls kA−1 ∆Ak ≤ ε < 1, so gilt für die Konditionszahlen
cond(Ã) ≤
1+ε
cond(A) .
1−ε
Aufgabe W 7.15: Gegeben seien die Punkte (xi , yi ), 1 ≤ i ≤ n paarweise verschieden mit
y(x) = ax + b im Sinne der kleinsten Quadrate,
i=1 xi = 0. Gesucht wird eine Ausgleichsgerade
Pn
d.h. a und b sollen so bestimmt werden, dass i=1 |y(xi ) − yi |2 minimal wird.
Pn
a) Stellen Sie die Geradengleichung der Ausgleichsgerade in Abhängigkeit von xi , yi auf.
b) Wie lautet die Geradengleichung für das folgende Beispiel?
xi
yi
-5
1
-1
4
0
5
1
6
5
9
Aufgabe W 7.16: Gegeben seien die 5 Punkte (xi , yi ), i = 1, . . . , 5:
xi
yi
-2
0
-1
-1
0
-6
1
-1
2
0
Bestimmen Sie mit Hilfe der Normalengleichung eine Parabel f (x) = α + βx2 derart, dass die
P
Fehlerquadratsumme 5i=1 (f (xi ) − yi )2 minimal wird.
Seite 5 von 6
Aufgabe W 7.17: Gegeben seien ein Vektor v ∈ Rm mit v 6= 0 und eine Matrix A ∈ Rm×n mit
m ≥ n ≥ 1. Die Householder-Spiegelung orthogonal zu v ist gegeben durch
Hv = I − 2
vv T
∈ Rm×m .
vT v
Untersuchen Sie die zwei Algorithmen zur Berechnung des Produktes à = Hv A:
A1: Berechne γ := v T v. Berechne η := γ2 . Stelle die Matrix Hv := I − ηvv T auf. Multipliziere
à := Hv A.
A2: Berechne γ := v T v. Berechne η :=
à := A − ηvwT (Rang-1 Update).
2
γ.
Berechne den Vektor w := AT v ∈ Rn . Setze
a) Vergewissern Sie sich, dass beide Algorithmen korrekt sind (in exakter Arithmetik), das
heißt, dass auch bei A2 Ã = Hv A gilt.
b) Stellen sie den Rechenaufwand, also die Anzahl der benötigten Fließkommaoperationen, für
eine direkte Implementierung beider Algorithmen in Abhängigkeit von n und m auf.
Hinweis:
i) Überlegen Sie sich, dass Sie die Berechnung eines Skalarprodukts xT y für x, y ∈ Rn
mit 2n − 1 Operationen implementieren können.
ii) Überlegen Sie sich, dass Sie die Berechnung eines Matrix-Vektor-Produkts M x für
M ∈ Rm×n , x ∈ Rn mit m(2n − 1) Operationen implementieren können.
iii) Überlegen Sie sich, dass Sie die Berechnung eines Matrix-Matrix-Produkts M B für
M ∈ Rm×n , B ∈ Rn×d mit md(2n − 1) Operationen implementieren können.
iv) Überlegen Sie sich, dass Sie die Berechnung eines Vektor-Vektor-Produkts xy T für
x, y ∈ Rn mit n2 Operationen implementieren können.
c) Vergleichen Sie die Effizienz der beiden Algorithmen.
Aufgabe W 7.18:
Es seien f : R → R, f (x) = cos2 (x) und xi für i = 0, . . . , 2 gegeben durch
i
xi
0
0
1
π/4
2
π/2
a) Bestimmen Sie das (quadratische) Interpolationspolynom p zu f durch (xi , yi ), i = 0, . . . , 2.
b) Schätzen Sie den Interpolationsfehler.
Seite 6 von 6