Einführung in die numerische Mathematik

Bergische Universität Wuppertal
Prof. Dr. M. Günther
K. Gausling, M.Sc.
C. Hendricks, M.Sc.
Sommersemester 2014
Fachbereich C – Mathematik und Naturwissenschaften
Angewandte Mathematik / Numerische Analysis
Einführung in die numerische Mathematik
Aufgabenblatt 12 - Große LGS, Nichtlineare Gleichungen
Bitte beachten Sie, dass die Punkte der Hausaufgabe für die Berechnung der
Bonuspunkte relevant sind.
Präsenzaufgabe 1: Gedämpfte Iterationsverfahren
Es soll das Gleichungssystems Ax = b mit




1 −2
2
2
1 −1  , b =  −1 
A =  −1
−2 −2
1
1
näherungsweise gelöst werden. Zur Lösung sollen das gedämpfte Jacobi und Gauß–Seidel–
Verfahren genutzt werden
x
k+1
xk+1
L + R xk + ωD−1 b
= 1 − ω I − ωD
−1
−1
= 1 − ω I − ω D + L R xk + ω D + L b
−1
(gedämpftes Jacobi-Verfahren),
(gedämpftes Gauß–Seidel–Verfahren).
Führen Sie jeweils drei Schritte mit Dämpfung ω = 1/2 ausgehend von x0 = (1, 0, 0)t aus.
Konvergieren die Folgen der so erzeugten Iterierten xk für k → ∞ gegen die exakte Lösung?
Präsenzaufgabe 2: Newton-Verfahren
Die Nullstelle von f (x) =
1
x
− a soll mit Hilfe des Newton-Verfahrens berechnet werden.
a) Zeigen Sie :
Die Iterationsvorschrift lautet
xk+1 = xk + xk (1 − axk ) für k = 0, 1, 2, . . . .
b) Zeigen Sie :
Für den Fehler εk := xk −
1
a
gilt die Rekursion
εk+1 = −aε2k .
Beweisen Sie außerdem mit vollständiger Induktion
1 k
εk = − ρ2
a
für k = 1, 2, . . .
mit ρ := |ax0 − 1|.
Welche Bedingung an ρ bzw. x0 ist notwendig und hinreichend für die globale Konvergenz
des Iterationsverfahrens ?
Aufgabenblatt 12
c) Es sei 0.5 ≤ a ≤ 1 und x0 := 1.5.
Bestimmen Sie die maximale Anzahl der erforderlichen FLOPs (entspricht einer Addition
samt Multiplikation) zur Berechnung einer Näherung xk für a1 durch das Newton-Verfahren
mit 24 bzw. 56 Dualstellen als Genauigkeit.
Hausaufgabe 1: Berechnung der Spektralradien
Gegeben seien die Matrizen


1 −2 2
A =  −1 1 −1 
−2 −2 1
(10 Punkte)


2 1 1
1
und B =  −2 2 −2  .
2
−1 1 2
Untersuchen sie durch Berechnung der Spektralradien der Iterationsmatrizen, ob das JacobiVerfahren und das Gauß-Seidel-Verfahren zur Lösung der Gleichungssysteme Ax = b bzw. Bx =
b, b ∈ R3 beliebig, konvergieren.
Hausaufgabe 2: vereinfachtes Newtonverfahren
(10 Punkte)
Das nichtlineare Gleichungssystem F (x) = 0 mit
4x1 − x2 e(1−x2 )
F (x) =
x1 − 10x2 + 8
soll näherungsweise mit dem vereinfachten Newtonverfahren
(∗)
x(k+1) = x(k) − DF (x(0) )−1 F (x(k) ),
k = 0, 1, . . .
zum Startwert x(0) = (1, 1)> gelöst werden.
a) Zeigen Sie:
Sei U ⊂ Rn offen und konvex und f : U → Rm eine stetig differenzierbare Abbildung auf
dem Abschluss U von U . Für alle x, y ∈ U gilt dann mit M := sup kDf (z)k
z∈U
kf (x) − f (y)k ≤ M kx − yk.
Hinweis: Verwenden Sie den Mittelwertsatz im mehrdimensionalen Fall.
b) Schreiben Sie das Verfahren (∗) als Fixpunktiteration, d.h. in der Form
x(k+1) = Φ(x(k) ),
k = 0, 1, 2 . . .
und zeigen Sie, dass die Iteration für den gegebenen Startwert x(0) = (1, 1)> konvergiert,
indem Sie den Banachschen Fixpunktsatz auf D := R × [0, 1] anwenden.
Hinweis: Benutzen Sie Aufgabenteil (a) mit der Norm k.k∞ .
Bemerkung: Man kann auch nachweisen, dass die Iteration (∗) für beliebigen Startwert
x(0) ∈ D konvergiert. Zur Vereinfachung soll dies hier nicht durchgeführt werden.
c) Bestimmen Sie die Näherung x(1) zum gegebenen Startwert. Wie viele Schritte des Verfahrens sind erforderlich, um mit dem gegebenen Startwert x(0) eine Genauigkeit von
kx(k) − x̂k∞ ≤ 10−3 mit der Nullstelle x̂ zu garantieren?
d) Bestimmen Sie x(2) und x(3) (mit Taschenrechner oder Computer). Schätzen Sie den Defekt
kx(3) − x̂k ohne Kenntnis von x̂ ab. Mit welcher Genauigkeit approximiert x(3) daher bereits
die Nullstelle?
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