Aufgaben zur Vorlesung Analysis I Prof. Dr. Holger Dette WS 2011

Aufgaben zur Vorlesung Analysis I
Prof. Dr. Holger Dette
WS 2011/2012
Blatt 9
Abgabe: Montag, 12. Dezember 2011, 10:00 Uhr in den Zettelkästen auf NA 02.
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
(a) P
Sei (an )n∈N eine monoton fallende Folge positiver reeller Zahlen.
die Reihe
P∞ Zeige:
∞
k
k=1 ak konvergiert (divergiert) genau dann, wenn die Reihe
k=1 2 a2k konvergiert
(divergiert).
(b) P
Gib ein Beispiel für eine positive,
P∞ k nicht monoton fallende Folge (an )n∈N an, für die
∞
a
konvergiert
aber
k=1 k
k=1 2 a2k divergiert.
P∞
(c) Existiert eine monoton
fallende,
aber
nicht
positive
Folge
(a
)
,
für
die
n
n∈N
k=1 ak
P∞ k
divergiert aber k=1 2 a2k konvergiert? (mit Beweis!)
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
(a) Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz (mit
Beweis!).
∞
∞
X
X
n5
(−1)n
(ii)
.
(i)
n1/10
7n
n=1
n=1
(b) Beweise unter Verwendung von Aufgabe 1 Teil (a) (dieser darf hier als wahr
P ange1
nommen werden auch wenn Aufgabe 1 nicht abgegeben wird): die Reihe ∞
n=1 na
mit a ∈ Q konvergiert genau dann, wenn a > 1.
Aufgabe 3.
Für n ∈ N0 = N ∪ {0} betrachte die Nullfolgen (pn )n∈N , (qn )n∈N mit
n
X
1
pn = e −
,
k!
k=0
a) Zeige, dass
P∞
b) Zeige, dass
P∞
n=0
n
1
qn = e − 1 +
n
(4 Punkte)
(q0 = e − 1).
pn absolut konvergiert und berechne den Wert der Reihe.
n=0 qn
divergiert.
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
P
α
(a) Gegeben sei die Reihe ∞
n . Beweise: existiert ein α > 1, so dass (n an )n∈N
n=1 a
P
beschränkt ist, so konvergiert ∞
n=1 |an |.
P
(b) Es sei (an )n∈N eine monoton fallende Nullfolge mit ∞
n=1 an < ∞. Man zeige, dass
auch (bn )n∈N mit bn = nan eine Nullfolge ist.
Hinweis: die Zettel sind aufgabenweise in Gruppen von bis zu drei Studierenden abzugeben. Bitte notieren Sie auf Ihren Lösungen auch Ihre Übungsgruppe (Leiter und Nummer),
dort erfolgt dann die Rückgabe der korrigierten Aufgaben.