Serie 4 - D-MATH

D-BAUG
Dr. Meike Akveld
Analysis I
HS 2014
Serie 4
1. Untersuchen Sie die nachstehenden Zahlenfolgen. Sind sie beschränkt? Sind sie monoton? Konvergieren sie, und falls ja, wie lautet ihr Grenzwert?
a) an = cos πn
3
b) an =
1
n2
c) an =
3n4 −5n2 +2
7n4 −4n3
+
2
n2
+
3
n2
+ ··· +
n−1
n2
+
n
n2
d) a1 = 0, a2 = 1, an = 12 (an−1 + an−2 ) für n ≥ 3
√
√
e) an = n + 1 − n
p
f) an = (n + 1)n − n
2.
a) Sei an = a1 +(n−1)d mit a1 ∈ R eine arithmetischeP
Folge reeller Zahlen. Finden
Sie eine explizite Formel für die n-te Partialsumme ni=1 ai einer arithmetischen
Reihe.
b) Sei an = a1 q n−1 mit a1 ∈ R eine geometrische Folge reeller Zahlen mit |q| < 1.
Zeigen Sie: {an } konvergiert gegen 0.
3. Die Eulersche Zahl:
Wir definieren zwei Folgen {an } und {bn } durch
n
1
an := 1 +
n
und
−n
1
bn := 1 −
.
n
Ziel dieser Aufgabe ist zu zeigen, dass diese beiden Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren. Dieser wird in der Vorlesung e, die Eulersche Zahl, genannt werden.
Bitte wenden!
bn = (1 − n1 )−n
b
b
e
b
b
bc
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
|
|
b
an = (1 + n1 )n
|
|
|
|
|
|
|
|
a) Zeigen Sie
bn+1 = an
1
1+
n
.
b) Zeigen Sie mit der Ungleichung von Bernoulli (siehe Serie 2 Aufgabe 1), dass
1
an
≥1−
bn
n
und folgern Sie, dass die Folge {an } monoton wächst.
c) Zeigen Sie auf ähnliche Weise, dass {bn } monoton fällt.
d) Folgern Sie, dass
lim an = lim bn .
n→∞
n→∞
4. Untersuchen Sie die Konvergenz folgender Reihen:
P∞ √3k+5
a)
k=1
3k
b)
P∞
c)
P∞
d)
P∞
e)
P∞
1+2k
k=1 k+3k
k!
k=1 kk
√
k−√ k
k=1 (k+ k)2
k=1
ln (k−1 +7) cos (kπ)
√
k+π
Siehe nächstes Blatt!
5. Online-Abgabe
1. Welche der Aussagen sind richtig?
(a) Eine divergente Folge ist nicht beschränkt.
(b) Jede beschränkte Folge ist konvergent.
(c) Jede konvergente Folge ist beschränkt.
(d) Eine nicht beschränkte Folge divergiert.
(e) Zwischenprüfung Winter 2014. Die Summe zweier divergenter Folgen ist divergent.
(f) Jede konvergente Folge ist monoton.
(g) Sei an eine konvergente Folge. Dann ist auch bn = (an )2 konvergent.
2. Zwischenprüfung Winter 2014. Betrachten Sie die Folge
5n
(5 + n)100
·
.
an =
5n+1
(4 + n)100
Bestimmen Sie den Grenzwert a = lim an .
n→∞
(a) a =
1
5
(b) a = 1
(c) a =
(d) a =
5
4
5 100
4
(e) Diese Folge konvergiert nicht.
Bitte wenden!
3. Gegeben sei die Folge an =
ist falsch?
n
n+1
, n = 1, 2, 3, . . .. Welche der folgenden Aussagen
(a) Die Folge ist monoton wachsend.
(b) Die Folge ist beschränkt.
(c) Die Folge ist eine Nullfolge.
(d) Die Folge ist konvergent.
(e) Der Limes der Folge ist 1.
4. Gegeben sei die Folge an =
ist falsch?
n2
n+1
, n = 1, 2, 3, . . .. Welche der folgenden Aussagen
(a) Die Folge ist monoton wachsend.
(b) Die Folge ist beschränkt.
(c) Die Folge ist divergent.
(d) Die Folge besitzt keinen Limes in R.
5. Prüfungsaufgabe 5a, Sommer 2013. Die Folge an = 1 +
1 n
n
konvergiert, weil
(a) sie streng monoton wachsend und von oben durch 3 beschränkt ist.
(b) sie streng monoton wachsend und von unten durch 2 beschränkt ist.
(c) sie streng monoton fallend und von oben durch 3 beschränkt ist.
(d) sie streng monoton fallend und von unten durch 2 beschränkt ist.
Siehe nächstes Blatt!
6. Prüfungsaufgabe 5b, Sommer 2013. Welche der folgenden Begründungen für
Aussagen über eine Reihe ist logisch korrekt?
(a) Die Reihe hat unendlich viele Glieder, die alle grösser als Null sind; daher divergiert die Reihe.
(b) Bei jedem Schritt addiert man weniger dazu als beim vorangegangenen; daher
konvergiert die Reihe.
(c) Die Folge der Partialsummen der Reihe ist monoton; daher konvergiert die Reihe.
(d) Alle Glieder der Reihe sind positiv und die Reihe konvergiert; daher konvergiert
die Reihe absolut.
7. Zu einer Reihe
∞
X
ak betrachten wir folgende Aussagen:
k=1
1. Die Reihe
2. Die Reihe
∞
X
k=1
∞
X
k=1
ak konvergiert.
|ak | konvergiert.
3. Die Folge {ak } konvergiert gegen 0.
Welche der folgenden Implikationen sind korrekt?
(a)
(1.) ⇒ (2.)
(b)
(2.) ⇒ (1.)
(c)
(1.) ⇒ (3.)
(d)
(3.) ⇒ (1.)
(e)
(2.) ⇒ (3.)
(f)
(3.) ⇒ (2.)
Bitte wenden!
8. Welche der Reihen divergieren?
(a)
P∞
(b)
P∞
(c)
P∞
(d)
P∞
1
n=1 n! .
n=1
√1 .
n
1
n=1 n .
n=1
(
n
4n 2
n+1 n
2
)
.
(e) Keine der Reihen divergiert.
9. Die Reihe
P∞
k1
k=1 (−1) k
(a) konvergiert absolut.
(b) konvergiert, aber nicht absolut.
(c) divergiert.
Abgabe der schriftlichen Aufgabe: Donnerstag den 16. Oktober 2014 in der Übungsstunde oder bis spätestens 13:00 im Fach Ihres Assistenten im HG J 68.