Serie 4 - D-MATH

D-BAUG
Dr. Meike Akveld
Analysis I
HS 2013
Serie 4
1. Untersuchen Sie die nachstehenden Zahlenfolgen. Sind sie beschränkt? Sind sie monoton? Konvergieren sie, und falls ja, wie lautet ihr Grenzwert?
a) an = cos πn
3
b) an =
1
n2
c) an =
3n4 −5n2 +2
7n4 −4n3
+
2
n2
+
3
n2
+ ··· +
n−1
n2
+
n
n2
d) a1 = 0, a2 = 1, an = 12 (an−1 + an−2 ) für n ≥ 3
√
√
e) an = n + 1 − n
p
f) an = (n + 1)n − n
2.
a) Sei an = a1 +(n−1)d mit a1 ∈ R eine arithmetischeP
Folge reeller Zahlen. Finden
Sie eine explizite Formel für die n-te Partialsumme ni=1 ai einer arithmetischen
Reihe.
b) Sei an = a1 q n−1 mit a1 ∈ R eine geometrische Folge reeller Zahlen mit |q| < 1.
Zeigen Sie: {an } konvergiert gegen 0.
3. Die Eulersche Zahl:
Wir definieren zwei Folgen {an } und {bn } durch
n
1
an := 1 +
n
und
−n
1
bn := 1 −
.
n
Ziel dieser Aufgabe ist zu zeigen, dass diese beiden Folgen gegen denselben Grenzwert konvergieren. Dieser wird in der Vorlesung e, die Eulersche Zahl, genannt werden.
Bitte wenden!
bn = (1 − n1 )−n
b
b
e
b
b
bc
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
|
|
b
an = (1 + n1 )n
|
|
|
|
|
|
|
|
a) Zeigen Sie
bn+1 = an
1
1+
n
.
b) Zeigen Sie mit der Ungleichung von Bernoulli (siehe Serie 2 Aufgabe 1), dass
1
an
>1−
bn
n
und folgern Sie, dass die Folge {an } monoton wächst.
c) Zeigen Sie auf ähnliche Weise, dass {bn } monoton fällt.
d) Folgern Sie, dass
lim an = lim bn .
n→∞
n→∞
4. Die Folge der DIN A - Papierformate ist wie folgt definiert :
√
DIN A0 ist ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 2 : 1 und der Fläche 1 m2 .
DIN Ak, k ≥ 1, entsteht aus DIN A(k − 1), indem die längere Seite des Rechtecks
halbiert wird. Berechnen Sie die Länge lk und die Breite bk des DIN Ak - Formates.
Berechnen Sie lk /bk .
Siehe nächstes Blatt!
5. Online-Abgabe
1. Welche der Aussagen sind richtig?
(a) Eine divergente Folge ist nicht beschränkt.
(b) Jede beschränkte Folge ist konvergent.
(c) Jede konvergente Folge ist beschränkt.
(d) Eine nicht beschränkte Folge divergiert.
(e) Die Summe zweier divergenter Folgen ist divergent.
(f) Jede konvergente Folge ist monoton.
(g) Sei an eine konvergente Folge. Dann ist auch bn = (an )2 konvergent.
2. Gegeben sei die Folge an =
ist falsch?
n
n+1
, n = 1, 2, 3, . . .. Welche der folgenden Aussagen
(a) Die Folge ist monoton wachsend.
(b) Die Folge ist beschränkt.
(c) Die Folge ist eine Nullfolge.
(d) Die Folge ist konvergent.
(e) Der Limes der Folge ist 1.
Bitte wenden!
3. Gegeben sei die Folge an =
ist falsch?
n2
n+1
, n = 1, 2, 3, . . .. Welche der folgenden Aussagen
(a) Die Folge ist monoton wachsend.
(b) Die Folge ist beschränkt.
(c) Die Folge ist divergent.
(d) Die Folge besitzt keinen Limes in R.
4. Welche der folgenden Aussagen ist dazu äquivalent, dass die Folge {an } nicht in
R konvergiert?
(a) ∃a ∈ R ∀n ∈ N : |an − a| > 1/n
(b) ∀a ∈ R ∃ > 0 ∀N () ∈ N ∃n ≥ N () : |an − a| > (c) ∀a ∈ R ∃ > 0 ∃N () ∈ N ∃n ≥ N () : |an − a| > 5. Der Grenzwert der
Folge
qunendlichen
p √
p √
√
2, 2 2, 2 2 2, 2 2 2 2, . . . ist
(a) 0.
(b)
√
2.
(c) 2.
(d) 4.
(e) ∞.
Siehe nächstes Blatt!
6. Prüfungsaufgabe 5a)
nSommer 2013:
Die Folge an = 1 + n1 konvergiert, weil
(a) sie streng monoton wachsend und von oben durch 3 beschränkt ist.
(b) sie streng monoton wachsend und von unten durch 2 beschränkt ist.
(c) sie streng monoton fallend und von oben durch 3 beschränkt ist.
(d) sie streng monoton fallend und von unten durch 2 beschränkt ist.
Abgabe der schriftlichen Aufgabe: Donnerstag den 17. Oktober 2013 in der Übungsstunde oder bis spätestens 13:00 im Fach Ihres Assistenten im HG J 68.