4. Implizit definierte Graphen Untersuchen Sie, ob eine Relation

Arbeitsblatt
1. Funktion
Einer der wichtigsten Begriffe der Mathematik ist der Funktionsbegriff. Immer dann, wenn zwei
Bereiche (seien es Zahlenbereiche oder Bereiche aus dem „normalen“ Leben aufeinander einwirken,
liegt eine Beziehung, eine Relation, zwischen ihnen vor. Der Mathematiker spricht von einer
Zuordnung, die zwischen den Elementen der beiden Bereiche definiert werden kann, und nennt die
beiden Bereiche Definitionsbereich
und Wertebereich
. Hat die Relation die Eigenschaft
eindeutig zu sein, d.h. zu jedem
gibt es genau ein
, so spricht man von einer Funktion
oder einem funktionalen Zusammenhang. Ist die Zuordnung in umgekehrter Richtung
ebenfalls eindeutig, ist die Funktion umkehrbar. Die Umkehrfunktion wird mit
bezeichnet.
Übung: Funktion oder nicht Funktion?
Kfz-Kennzeichen
 Besitzer des Kfz (amtsdeutsch: Halter des Kfz)
Haushalte von Bochum  Telefonnummern
Zahlen von -5,..., 5
 Quadratzahl
Monate eines Jahres  Studierenden der Kurse A/B,
die in dem Monat Geburtstag haben
Math. Definition:
Ja  Nein 
Ja  Nein 
Ja  Nein 
Ja  Nein 
ist eine Funktion
Mit den neu gewonnenen Mitteln der Mengenlehre kann man den Funktionsbegriff so definieren,
dass der Begriff Zuordnung nicht mehr auftaucht.
2. Definitionen:
Eine Funktion f ist eine Menge von geordneten Paaren
die Paarbildung rechtseindeutig sein, d.h.
aller Punkte
, wobei
und
gilt, dabei soll
impliziert
. Die Menge
heißt Graph der Funktion .
3. Graphen funktionaler Zusammenhänge
y
4
y
y
y
4
4
3
3
3
1.0
0.9
0.8
2
0.7
2
1
0.6
1
2
0.5
-3
-3
-2
-1
1
2
-1
1
3
0.4
-1
0.3
-1
-2
2
x
3
x
1
-2
-2
0.2
0.1
-3
-2
-1
1
2
3
x
-3
-3
-4
-4
0.0
0.0
-1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
x
4. Implizit definierte Graphen
Untersuchen Sie, ob eine Relation oder Funktion vorliegt. Geben Sie – falls möglich – jeweils
Funktionen für Teilbereiche an:
Arbeitsblatt
5. Eigenschaften / Definitionen von Funktionen
Eine Funktion heißt streng monoton steigend
Steht anstelle
das Zeichen , so heißt f monoton steigend. Entsprechend definiert man den Begriff
streng monoton fallend und monoton fallend.
Eine Funktion
heißt gerade (oder achsensymmetrisch zur y-Achse)
Eine Funktion
heißt ungerade (oder punktsymmetrisch zum Ursprung)
Eine Funktion
heißt injektiv
Eine Funktion
heißt surjektiv
.
.
.
.
Eine Funktion heißt bijektiv (oder umkehrbar) genau dann, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
6. Satz
a) Jede streng monotone Funktion
ist injektiv.
b) Jede streng monotone Funktion
ist bijektiv, also umkehrbar.
7. Beispiel (Umkehrung einer Parabel)
Sei
. Also hat der Graph einen Scheitelpunkt in
Leitkoeffizient ist positiv, also ist die Parabel nach oben geöffnet, somit ist
in
monoton steigend, nach dem obigen Satz also injektiv. Da der Wertebereich
auch surjektiv. (Genauer:
. Der
streng
ist, ist
ist bijektiv).
Zur Berechnung der Umkehrfunktion: Sei
. Dann gilt
.
Also ist
.
Bei dem direkten Nachweis der Definition der strengen Monotonie muss man etwas aufpassen:
Also ist
in
[ streng monoton steigend.
y
5
Im nebenstehenden Bild sind die Graphen von
und
dargestellt. Was fällt Ihnen auf?
4
3
Satz
Ist
streng monoton, so hat
strenge Monotonie.
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
Beweis: (als Übungsaufgabe) Q.E.D.
dieselbe